Рихва Н. В., вчитель математики icon

Рихва Н. В., вчитель математики




Скачати 140.55 Kb.
НазваРихва Н. В., вчитель математики
Дата10.08.2012
Розмір140.55 Kb.
ТипДокументи


Столярова О.О., вчитель біології;

Рихва Н.В., вчитель математики

Чернівецького міського

ліцею № 3 медичного профілю


вчителі-методисти


ВИКОРИСТАННЯ ОСНОВНОГО ПРАВИЛА КОМБІНАТОРИКИ

ТА ПРАВИЛ ДОДАВАННЯ І ДОБУТКУ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ГЕНЕТИЧНИХ ПОДІЙ

ПРИ МОНО- І ПОЛІГІБРИДНОМУ СХРЕЩУВАННІ


Із впровадженням профілізації навчання, появою ліцеїв, гімназій, класів різної допрофесійної спрямованості по-новому постають питання про місце, роль та зміст кожного предмету в системі середньої загальної освіти.

Чернівецький міський ліцей № 3 – навчальний заклад медичного профілю. Зв’язки між елементами знань і умінь з різних навчальних предметів покликані сприяти формуванню всебічно розвиненої, творчої особистості молодої людини, яка озброєна системними знаннями, загальнонауковими уміннями та навичками і вміє здійснювати міжпредметне перенесення цих знань і умінь у разі розв’язання нових пізнавальних задач.

Математика відіграє роль специфічного засобу для вивчення закономірностей навколишнього світу, а також є опорним предметом для вивчення базових природничих дисциплін, призначена забезпечити достатній фундамент для опанування учнями біології, фізики та хімії.

Отже, при вивченні профілюючих предметів ліцеїсти повинні не лише вміти застосовувати математичні методи і математичний апарат для опису природних процесів та явищ, але й сформувати єдину загальнонаукову картину світу та науковий світогляд.

Завдання даної роботи – показати, як вчитель біології може застосовувати математичні підходи, зокрема, основне правило комбінаторики та правила додавання ймовірностей несумісних подій та добутку ймовірностей незалежних подій при розв’язанні генетичних задач деяких типів.

Одна з найважливіших функцій генетики – це передбачення подій. ^ Подіями в генетиці вважаються:

  • утворення статевих клітин (гамет) у батьків, що характеризуються певними генетичними наборами (генотипами) та сукупностями ознак (фенотипами);

  • зустріч гамет батьків і, як наслідок, утворення нащадків із певними генотипами та фенотипами.

Отже, існує принциповий зв’язок між генотипами батьків та нащадків.

У загальноосвітній школі генетичні події звичайно розглядаються у формі генетичних задач, в яких дано фенотипи або генотипи одного покоління (батьків чи нащадків), а слід знайти фенотипи або генотипи іншого покоління (відповідно, нащадків або батьків). Проміжним етапом розв’язання генетичних задач є пошук генетичних наборів гамет батьків як зв’язуючої ланки між двома наступними поколіннями.

Якщо батьківські організми за умовами задачі відрізняються лише однією парою альтернативних ознак, таке схрещування є моногібридним, а якщо кількома парами – полігібридним.

Розглянемо, як можна застосовувати математичні підходи, а саме основне правило комбінаторики та деякі правила теорії ймовірностей при розв’язанні генетичних задач на моно- та полігібридне схрещування.

Як відомо, кожний ген в генотипі у більшості організмів знаходиться в двох екземплярах, тобто такі організми є диплоїдними (позначається як 2n). Конкретні прояви гена – алелі (або алельні гени), можуть бути домінантними (пригнічують прояв інших алелів, позначаються А, В, С, ...) або рецесивними (пригнічуються іншими алелями, позначаються а, b, с, ...). При цьому алелі гена в конкретному генотипі можуть бути однакові (організм гомозиготний: наприклад, АА, аа, ААВВ і т.п.) або різні (організм гетерозиготний: наприклад, Аа, АаВb і т.п.).

З точки зору теорії множин генотипи організмів є сукупностями множин, що складаються з окремих підмножин – пар алельних генів. При утворенні гамет з кожної пари алелів до даної гамети надходить лише по одному алельному гену, тому гамети мають одинарний набір генів, тобто гаплоїдні (позначається як n). Які саме алельні гени з кожної пари потраплять у ту чи іншу гамету, є явищем випадковим. Оскільки організм має багато пар алельних генів, то фактично при утворенні гамет відбувається утворення вибірок з цих підмножин (пар алельних генів).

Утворення вибірок в теорії множин досліджує комбінаторика. Кількість можливих вибірок (типів гамет), за умов наявності визначеної кількості підмножин (пар алельних генів), можна обчислювати, використовуючи основне правило комбінаторики:

Нехай задано множини: А1 з кількістю елементів n1, А2 з кількістю елементів n2, ..., Аs з кількістю елементів ns. Тоді кількість s-вибірок, при яких з кожної множини береться по 1 елементу, обчислюється за формулою: n1·n2·...·ns.


Основне правило комбінаторики дозволяє обчислити кількість всеможливих типів гамет (вибірок), що може утворити організм із заданим генотипом. Наголошуємо, що при використанні основного правила комбінаторики в генетиці враховується тільки кількість типів елементів множин: 1 тип для гомозигот та 2 типи для гетерозигот.

Наведемо приклади:

1) Генотип організма АА:

Підмножина алельних генів: АА – має 1 тип елементів (А).

Тоді кількість типів гамет дорівнює 1 (А).

2) Генотип організма Аа:

Підмножина алельних генів: Аа – має 2 типи елементів (А і а).

Тоді кількість типів гамет дорівнює 2 (А і а).

3) Генотип організма АаВВ:

Підмножини алельних генів: Аа – має 2 типи елементів (А і а)

ВВ – має 1 тип елементів (В)

Тоді кількість типів гамет дорівнює: 2·1 = 2 (АВ і аВ)

4) Генотип організма ААВВСс:

Підмножини алельних генів: АА – має 1 тип елементів (А)

ВВ – має 1 тип елементів (В)

Сс – має 2 типи елементів (С і с)

Тоді кількість типів гамет дорівнює: 1·1·2 = 2 (АВС і АВс)

5) Для випадку АаВbСсDd кількість типів гамет дорівнюватиме 2·2·2·2 = 16 і т.п.


Але при розв’язанні генетичних задач потрібно не лише визначити кількість типів гамет, а й записати конкретні типи гамет.

В разі полігібридного схрещування для цього доцільно використати схему “дерево перебору”, яка дозволяє визначити всі можливі вибірки із заданих підмножин за вищенаведеним принципом.

Приклади:

1) Для генотипу ААВbССDd кількість типів гамет повинна дорівнювати 1·2·1·2 = 4:

А

 

В b

 

С С

   

D d D d

Послідовно рухаючись за стрілками, отримуємо всі можливі сукупності алельних генів з різних пар генів: АВСD, ABCd, AbСD, AbСd, причому кожна сукупність (тип гамет) зустрічається тільки 1 раз.

2) Для генотипу АаВbСсDd кількість типів гамет повинна дорівнювати 16:

А а

   

В b В b

       

C c C c C c C c

               

D d D d D d D d D d D d D d D d

Отримуємо гамети у аналогічний спосіб: АВСD, ABCd, ABcD, AВcd і т.д.


Також для розв’язання генетичних задач необхідно визначати відносну кількість гамет певного типу серед усіх типів гамет або нащадків певного типу серед усіх типів нащадків. Для цього вводиться поняття ймовірності (або частоти).

Під імовірністю (частотою) події А, що належить до певного простору елементарних подій, розуміють відношення кількості тих подій, які сприяють події А, до загальної кількості усіх подій даного простору.

Отже, ймовірність (частоту) події А можна обчислити за формулою:

р(А) = n / N (·100%), де: n - кількість подій, що сприяють події А,

N - загальна кількість подій простору елементарних подій.


Аналіз реальних подій показує, що всі події за ймовірністю їх відбування можна поділити на 3 групи:

  • вірогідні – це події, які внаслідок певного процесу обов’язково відбудуться, тому ймовірність їх дорівнює 100% (або 1);

  • неможливі – це події, які внаслідок певного поцесу в жодному разі не можуть відбутися, тому їх ймовірність дорівнює 0% (або 0);

  • випадкові – це події, які внаслідок певного процесу можуть або відбутися, або не відбутися, тому їх ймовірність Х знаходиться в межах 0% < Х < 100% (або 0 < Х < 1).

Тоді ймовірністю (частотою) утворення гамет певного типу є відношення кількості гамет певного типу до загальної кількості типів гамет у даного організма.

При здійсненні обчислень у такий спосіб слід пам’ятати, що n (кількість гамет певного типу) завжди дорівнюватиме 1 (згідно до “дерева перебору”), а N (загальна кількість типів гамет) обчислюється за основним правилом комбінаторики.

Наприклад, для генотипу АаВbСсDd частота гамети АВСD дорівнює:

р(АВСD) = 1 / 16 = 0,0625 (6,25%).


В результаті злиття гамет утворюються нові сукупності підмножин (пар алельних генів) – генотипи нащадків. Тоді за основним правилом комбінаторики, кількість типів нащадків дорівнює добутку кількості типів гамет материнського і батьківського організмів.

Розглянемо генетичну схему схрещування двох організмів, де:

Р – батьки (♀ - жіноча особина, ♂ - чоловіча особина),

х – знак схрещування,

G – гамети,

F1 – перше покоління нащадків.


Р: ♀ ААВbCCDd x ♂ aaBBCcdd

G: (4) (2)


F1: 4·2 = 8

Отже, пара батьків із даними генотипами утворюватиме 8 типів нащадків.


Справедливим є і зворотнє твердження, тому знаючи загальну кількість типів нащадків, можна визначити кількість типів гамет у материнського і батьківського організмів.

Наприклад, вказано, що від схрещування батьків з генотипами aabb та А_bb отримано 2 типи нащадків. У записах генотипів вирази виду А_, В_, С_ тощо – це фенотипові радикали. Вони являють собою записи пар алельних генів АА або Аа, ВВ або Вb, СС або Сс тощо у загальному вигляді, адже за умов повного домінування зовнішніх (фенотипових) відмінностей між гомозиготами (АА, ВВ, СС тощо) та гетерозиготами (відповідно, Аа, Вb, Сс тощо) не спостерігається.

Нехай вимагається точно визначити генотип батька А_bb (тобто ААbb чи Ааbb). Зазначаємо, що 2 – це результат добутку двох цілих чисел – 2·1 (або 1·2). Це означає, що один з батьків утворює 1 тип гамет (в даному прикладі aabb), тоді другий (А_bb) – утворює 2 типи гамет. Але це можливо, тільки якщо його генотип Ааbb (гамети Аb і аb).

Частота (ймовірність) кожного типу нащадків виражатиметься дробом, у чисельнику якого – кількість нащадків певного типу, а у знаменнику – загальна кількість типів нащадків.

Розглянемо задачу: при схрещуванні двох гетерозиготних коричневих мишей в потомстві з’явилися коричневі та жовті мишата. Визначіть ймовірність народження жовтого мишати (жовтий колір – рецесивна ознака).

А – коричневий колір АА – гомозиготні коричневі миші

а – жовтий колір Аа – гетерозиготні коричневі миші

аа – гомозиготні жовті миші

Р: ♀ Аа х ♂ Аа n (аа) = 1

G: А а А а N = 4

F1: АА : Аа : Аа (тобто аА) : аа р(аа) = 1/4 (·100%) = 0,25 (25%)

к к к ж

Оскільки ймовірності (частоти) однакових генетичних подій є однаковими, то і ймовірність народження 2-го, 3-го тощо жовтих мишат, як і раніше, становить 25%.

Ймовірність повторення події А Х разів підряд обчислюється за формулою:

р(Ах) = (n / N)х (·100%) , де Х - кількість повторень підряд події А.

Наприклад, ймовірність народження двох підряд жовтих мишат становить: (1/4)2 (·100%) = 0,625 (6,25%)

Відомо, що деякі різні генотипи можуть проявлятися у зовнішніх ознаках (фенотипі) подібно. Наприклад, особини з генотипами ААbb та Ааbb мають однаковий фенотип за умов повного домінування. Тому для обчислення частоти нащадків з певним фенотипом можна скористатися правилом додавання ймовірностей:

^ Ймовірність суми несумісних подій (наприклад, подій А чи В, де А ∩ В = Ǿ) дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

р(А+В) = [ n/N + m/N ] (·100%) , де: n - кількість подій, які сприяють події А,

m - кількість подій, які сприяють події В,

N - загальна кількість подій.

Наприклад, ймовірність народження коричневого (гомозиготного чи гетерозиготного) мишати становить:

р (А_) = р(АА) + р(Аа) = [1/4 + 2/4] (·100%) = 3/4 (·100%) = 0,75 (75%)


В разі дослідження результатів полігібридного схрещування слід пам’ятати, що успадкування генів кожної пари відбувається незалежно від інших пар генів, якщо вказані гени є незчепленими. Цей факт був встановлений ще Г.Менделем і отримав назву закону незалежного успадкування ознак.

Тому обчислення ймовірності генетичних подій при полігібридному схрещуванні здійснюється за правилом множення ймовірностей:

^ Ймовірність одразу кількох незалежних подій (наприклад, обох подій А і В) дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

р(А·В) = [ n/N · m/N ] (·100%) , де: n - кількість подій, що сприяють події А,

m - кількість подій, що сприяють події В,

N - загальна кількість подій.


Наприклад, нехай необхідно визначити йомовірність утворення нащадка з генотипом A_B_сс, якщо обидва батьки є гетерозиготами за трьома парами ознак:

Р: ♀ АаВbCс x ♂ АaBbCc.

У гетерозигот розподіл ймовірностей різних генетичних комбінацій для кожної окремої пари алельних генів наступний:

  • для першої ознаки: АА Аа аа

1/4 2/4 1/4

  • для другої ознаки: BB Bb bb

1/4 2/4 1/4

  • для третьої ознаки: СС Сс сс

1/4 2/4 1/4

Обчислення частоти утворення нащадка з конкретним генотипом здійснюватиметься таким чином:

F1: A_B_сc: (1/4 + 2/4) · (1/4 + 2/4) · 1/4 = 9/64

Ймовірність утворення у цієї ж пари батьків нащадка з генотипом ааВВСс складає (1/4) · (1/4) · 2/4 = 2/64 і т.п.


Але подібне обчислення має місце, тільки якщо батьки є гетерозиготами за всіма досліджуваними ознаками, що рідко зустрічається в реальних умовах, і, відповідно, в умовах генетичних задач.

Наведемо приклад. Нехай потрібно обчислити ймовірність утворення нащадків з генотипом АаВb при таких заданих генотипах батьків: АаВb x АaBВ. Ймовірність (частота) типу нащадків, що вимагається знайти (АаВb), – це відношення кількості нащадків даного типу до загальної кількості типів нащадків. Складаємо генетичну схему схрещування:

Р: ♀ АаВb x ♂ АaBВ

G: АВ Аb аВ аb АВ аВ

  1. (2)

F1: 4·2 = 8


Для визначення конкретних фенотипів нащадків при всеможливих сполученнях гамет батьків використовуємо решітку Пенета:

G

АB

Ab

aB

ab

АB

ААВВ

ААВb

АаВВ

АаВb

аB

АаВВ

АаВb

ааВВ

ааВb


Ймовірність типу нащадків, що вимагається знайти (АаВb) буде виражатися дробом, в знаменнику якого число 8 (загальна кількість типів нащадків), а в чисельнику – число 2 (кількість нащадків заданого типу за складеною решіткою Пенета). Отже, р(АаВb) = 2/8 = 0,25 (25%).

Але для здійснення обчислень у такий спосіб необхідно спочатку виписувати всі типи нащадків і шукати серед них нащадків заданого типу, що не завжди зручно.

Щоби не виписувати всі типи нащадків, можна поступити таким чином:

  • виписати у стовпчики всеможливі гамети батьків,

  • обчислити ймовірність (частоту) гамет кожного типу,

  • знайти ті сполучення гамет, з яких утворюються задані генотипи нащадків,

  • використати правило добутку ймовірностей для знаходження ймовірності утворення кожного нащадка заданого типу,

  • якщо подібних сполучень гамет (отже, нащадків заданого типу) виявиться декілька, використати правило додавання ймовірностей.

Для вищенаведеного прикладу:

Р: ♀ АаВb x ♂ АaBВ

G: АВ (1/4) АВ (1/2)

Аb (1/4) аВ (1/2)

аВ (1/4)

аb (1/4)

р (АаВb) = 1/4·1/2 + 1/4·1/2 = 2/8 = 1/4 = 0,25 (25%)


Можна також обчислювати ймовірність (частоту) нащадків заданого типу, навіть не знаходячи відповідні типи гамет батьків. Для цього обчислюємо ймовірності (частоти) кожного алеля у генотипах батьків, після чого використовуємо правило множення ймовірностей отриманих частот алелів з усіх пар генів.

Використаємо цей принцип для наведеного прикладу.

Оскільки підмножини АА, Аа, аа, ВВ, Вb, bb складаються з 2-х елементів, то ймовірність (частота) кожного елементу (алеля) дорівнює ½.

Запишемо під генотипами батьків частоти алелів для кожної пари генів:

Р: ♀ А а В b x ♂ А a B В

½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½

При утворенні нащадків алелі від різних батьків сполучаються попарно. Тому при обчисленні ймовірності (частоти) певного генотипу нащадків ймовірності окремих алелів перемножуються. При цьому ураховується, в скількох випадках зустрічається певний алель в генотипі батька: 1-му (для гетерозигот) або 2-х (для гомозигот). Відповідно, ймовірність (частота) даного алеля у нащадка становитиме або ½ (для гетерозигот), або ½+½ = ½·2 (для гомозигот, за правилом додавання ймовірностей).

Оскільки гени А і а можуть бути взяті з рівною ймовірністю від обох батьків (тобто можливі комбінації Аа і аА), то добуток частот алелів А і а слід помножити на 2 (кількість перестановок в множині з 2-х елементів дорівнює 2). Оскільки можливе отримання b тільки від матері, то В – тільки від батька, тому тут єдина можлива комбінація (Вb), і множити добуток частот алелів В і b на 2 не потрібно. Але оскільки нащадок отримує від батька будь-який алель В з двох з рівною ймовірністю, то частоту алеля В слід помножити на 2.

Отже, запишемо під кожним алелем генотипу нащадка його частоту і виконаємо відповідні обчислення:

F1: А а В b

[2·(½·½)]·[(½·2)·½] = 1/4

Обчислимо для цієї ж пари батьків ймовірність утворення нащадка з генотипом ААВВ:

F1: А А В В

[½·½]·[½·(½·2)] = 1/8

Для знаходження ймовірності утворення у цієї ж пари батьків нащадків з генотипом А_ВВ (тобто ААВВ + АаВВ) використаємо спочатку правило множення, а потім – правило додавання ймовірностей:

F1: А А В В + А а В B

[½·½]·[½·(½·2)] = 1/8 [2·(½·½)]·[½·(½·2)] = 1/4

1/8 + 1/4 = 3/8

Здійснювати додавання ймовірностей можна і для кожної пари генів окремо, після чого отримані ймовірності перемножаються:

F1: (АА + А а) В В

[½·½+2·(½·½)]·[½·(½·2)] = ¾ · ½ = 3/8


Отже, для обчислення ймовірностей (частот) генотипів та фенотипів нащадків, а також знаходження типів гамет та генотипів батьків при моно- і полігібридному схрещуванні достатньо використовувати основне правило комбінаторики та правила додавання і множення ймовірностей.


Проблема навчання учнів розглянутим математичним підходам при розв’язанні генетичних задач полягає в тому, що розділ “Основи генетики” (за варіаціями діючих Програм з біології для загальноосвітніх та профільних шкіл) вивчається у 2-му семестрі 10-го класу або 1-му семестрі 11-го класу, а розділи “Основи комбінаторики” і “Теорія ймовірностей” (за Програмою з математики для загальноосвітніх шкіл) – в 2-му семестрі 11-го класу, тобто з явним запізненням.

Отже, необхідне узгодження вивчення змісту навчального матеріалу зазначених розділів як для забезпечення високої якості знань учнів з генетики, так і для підвищення мотивації вивчення школярами комбінаторики та теорії ймовірностей як таких, що розглядають не уявні, а реальні ситуації. Адже всі ці знання будуть їм необхідні для ґрунтовної підготовки до майбутньої професійної діяльності.

Пропозиціями щодо можливих шляхів такого узгодження є:

  • перенесення вивчення основ комбінаторики та теорії ймовірностей на 2-й семестр 10-го класу за рахунок перенесення деяких тем (що не мають такого безпосереднього використання у інших предметах) на 2-й семестр 11-го класу;

  • проведення вчителями біології та математики серії інтегрованих уроків при вивченні основ генетики в біології;

  • використання вчителями біології при вивченні генетичних подій зазначених правил комбінаторики та теорії ймовірностей, а вчителями математики при вивченні комбінаторики та теорії ймовірностей – прикладів генетичних задач (що потребує ґрунтовної міжпредметної підготовки вчителів).



Використана література:

  1. Бричикова Е.А., Гусак А.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – Изд-е 3-е, стереотип. – Мн.: Тетрасистема, 2002. – 288 с.

  2. Лобашев М.Е. Генетика. – 2-е изд. – Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1967. – 752 с., ил.

  3. Ясинський В.К. Вибрані лекції теорії ймовірностей для інженерних і природничих спеціальностей. – Чернівці: Прут, 2001. – 272 с., іл.



Схожі:

Рихва Н. В., вчитель математики iconПрограма державного екзамену з теорії та практики навчання І виховання та методики викладання математики Напрям підготовки
Кваліфікація: Вчитель математики І фізики; математики та основ економіки; математики та основ інформатики
Рихва Н. В., вчитель математики iconПрограма державного екзамену з теорії та практики навчання І виховання та методики викладання математики Напрям підготовки
Кваліфікація: Вчитель математики І фізики; математики та основ економіки; математики та основ інформатики
Рихва Н. В., вчитель математики iconВикористання елементів проблемного навчання під час викладання шкільного курсу математики Використання елементів проблемного навчання під час викладання шкільного курсу математики
Воврин Тетяна Миколаївна, вчитель математики, вчитель-методист Кострижівської зош І-ІІІ ступенів Заставнівського району
Рихва Н. В., вчитель математики iconУроки з інформатики та математики у знз
Зелінська Олена Петрівна, вчитель інформатики Кельменецького ліцею, спеціаліст вищої категорії, вчитель-методист
Рихва Н. В., вчитель математики iconІнститут інформатики пропонує вступ у 2014 році на державну і контрактну форми навчання
Спеціаліст інформатики, вчитель інформатики, адміністратор навчальних комп’ютерних систем, вчитель математики, економіки, фізики,...
Рихва Н. В., вчитель математики iconАкадемія логіки Логіка 5-9 кл
Буковська О. І. кандидат педагогічних наук, заступник директора з науково-методичної роботи ліцею «Престиж» м. Києва, вчитель-методист...
Рихва Н. В., вчитель математики iconТема уроку: Ознайомлення із поняттям площі
Вчитель математики, спеціальної загальноосвітньої школи інтернату №4 м. Чернівці, Заремба Л. Д
Рихва Н. В., вчитель математики iconДата оновлення 18 лютого 2014 року Відділ практики та працевлаштування
Секретарська зош І-ІІІ ступенів Кривоозерського району вчитель фізики, математики та інформатики
Рихва Н. В., вчитель математики iconПрограма державного екзамену з математики, методики навчання математики на 2012-2013 навчальний рік
Метою державного екзамену з математики, методики навчання математики є перевірка знань та умінь з фундаментальних розділів математики,...
Рихва Н. В., вчитель математики iconЧас Місце проведення заходу
...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи