29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу icon

29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу




Скачати 41.29 Kb.
Назва29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу
Дата09.09.2012
Розмір41.29 Kb.
ТипДокументи

Тема 29. Інтегрування раціональних дробів


  1. Поняття раціонального дробу.

Многочленом (поліномом) називається функція

, (1)

де - натуральне число, яке називається степенем многочлена;

- коефіцієнти многочлена, дійсні або комплексні числа;

незалежна змінна також може бути як дійсною, так і комплексною.

Надалі розглядатимемо лише многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Коренем многочлена (1) називається таке числове значення змінної (дійсне або комплексне), при якому многочлен перетворюється на нуль:

.

^ Теорема 1 (т. Безу).

Остача від ділення многочлена на різницю дорівнює .

Доведення.

При діленні многочлена -го степеня на двочлен першого степеня дістанемо деякий многочлен (-1) –го степеня і остачу - певне дійсне число. Тому

. (2)

Ця тотожність справедлива для всіх . Якщо в рівності (2) перейти до границі при , то дістанемо .

Якщо - корінь многочлена, то згідно з теоремою Безу , тому

. (3)

Теорема 2 (основна теорема алгебри). Всякий многочлен степеня має хоча б один корінь, дійсний або комплексний (Без доведення).

Теорема 3. Всякий многочлен -го степеня можна подати у вигляді

, (4)

де - корені многочлена, - коефіцієнт многочлена при .

Вираз (4) називається розкладом многочлена на лінійні множники.

Приклад. .

.

Множники у формулі (4) називають лінійними множниками. Якщо деякі з лінійних множників однакові, то їх можна об’єднати. Тоді формула (4) має вигляд:

, (5)

де - число різних коренів і .

У цьому випадку корінь - називається коренем кратності , - коренем кратності і т.д. Корінь кратності один називається простим коренем.

Відношення , де і — многочлени, називається раціональною функцією або раціональним дробом (,).

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника .

Якщо , то такий дріб називають неправильним. У такому разі, виконуючи ділення, знаходимо:

(6)

де - многочлени - го і - го степеня, причому , тобто дріб - правильний.

Приклад.

Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби. Вони бувають чотирьох типів:

І. ІІІ.

ІІ. ІV. .

Тут — дійсні числа, — ціле число.

Тричлен не має дійсних коренів, тобто .

  1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

Теорема 4. Нехай знаменник правильного раціонального дробу розкладено на множники за формулою (5):

,

тоді цей дріб можна подати у вигляді

(7)


де - деякі дійсні числа.

Вираз (7) називається розкладом правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

Для знаходження чисел можна скористатися методом порівняння коефіцієнтів.

Помножимо обидві частини рівності (7) на внаслідок чого дістанемо два тотожно рівні многочлени: відомий многочлен і многочлен з невідомими коефіцієнтами . Прирівнюючи їх коефіцієнти при однакових степенях , дістанемо систему лінійних рівнянь, з якої визначимо невідомі .

Приклад:

Виразити через елементарні дроби дріб

.

Помножимо обидві частини цієї рівності на . Дістанемо тотожність.



Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях у правій і лівій частинах, дістанемо систему рівнянь:



розв’язуючі яку знайдемо .

Отже, .

Крім методу порівняння коефіцієнтів, користуються також методом окремих значень аргументу. Нехай після множення обох частин рівності (7) дістаємо два тотожно рівні многочлени, один з яких відомий, а другий – з невідомими коефіцієнтами. Надаючи змінній конкретні значення стільки разів, скільки невідомих коефіцієнтів, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої і визначимо коефіцієнти.

Приклад.

Виразити через елементарні дроби дріб:

,

.

Якщо в цій тотожності покласти , то , звідки ; якщо , то ; якщо , то або .

Отже,


Схожі:

29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу icon13. Невизначений інтеграл. Основні поняття
Який раціональний дріб, де І – многочлени відповідно степеня І, називається неправильним? Яке співвідношення застосовується для інтегрування...
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconГрафічне інтегрування
Наближене обчислення інтеграла методом графічного інтегрування застосовується тоді, коли підінтегральна функція задана графічно....
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconПоложення В.І. Вернадського про біосферу та ноосферу, охарактеризувати основні етапи природокористування в Україні, розкрити суть основних принципів раціонального природокористування. Основні терміни й поняття
Сформувати поняття про екосистеми, ознайомитися з їхньою структурою. Засвоїти основні положення В.І. Вернадського про біосферу та...
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconЕкологія та охорона навколишнього середовища 040. 106
Тема Вступ. Предмет і завдання курсу. Проблеми охорони земель в Україні і світі. Поняття раціонального використання земель
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу icon29. Продовження
Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виділимо із тричлена у знаменнику повний квадрат
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconТема Загальне вчення про право План
Різні підходи до визначення поняття права: а) державно-організаційне поняття права; б) соціологічне поняття права; в) психологічне...
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconРегіональний коледж підприємництва та соціальної роботи
Цілі числа. Раціональні числа їх додавання, віднімання, множення, ділення. Порівняння раціональних чисел
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconУдк 340 С. В. Овчаренко
Адже будь-які тоталітарні виявлення ґрунтуються на раціональних міркуваннях та сциєнтистських моделях розвитку суспільства. Тоталітаризм...
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconXi міжнародна науково-практична конференція ресурси природних вод карпатського регіону /Проблеми охорони та раціонального використання
Мета конференції: Розгляд проблем раціонального використання та охорони природних вод Карпатського регіону І кооперація інтелектуально-фахового...
29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу iconПовідомлення про Другий міжнародний науковий семінар: „ Природні ресурси регіону: проблеми метризації, використання та охорони, присвячений 25-ти річчю кафедри раціонального використання природних ресурсів і охорони природи
Географічний факультет, кафедра раціонального використання природних ресурсів і охорони природи
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи