Динаміка механічної системи icon

Динаміка механічної системи




НазваДинаміка механічної системи
Дата27.08.2012
Розмір94.4 Kb.
ТипЛекція

Лекція №13

План

1. Динаміка механічної системи.

  1. Поняття механічної системи (маса, система, центр мас системи і т.д.).

  2. Класифікація сил, що діють на систему.

  3. Основні теореми динаміки математичної точки і механічної системи.


Система зв’язаних між собою матеріальних точок, або тіл, що рухаються (або перебувають в рівновазі) називають механічною системою.

Основна властивість механічної системи – положення і рух окремої точки залежить від положення і руху всіх останніх.

Діючі на механічну систему сили розділяють на зовнішні і внутрішні:

  • (exterior – внешний);

  • (interior – внутренний);

Зовнішніми силами називають сили, що діють з боку інших тіл, що не входять до даної системи.

Внутрішніми силами називають сили, з якими точки даної системи взаємодіють між собою.

Внутрішні сили мають такі властивості:

  1. Г

    Рис. 63. Випадок внутрішніх сил.
    еометрична сума (головний вектор) всіх внутрішніх сил системи рівна нулю.


. (67)

Пояснення. Згідно ІІІ закону Ньютона дві будь-які точки системи діють один на одного з рівним по модулю і протилежними по напрямку силами і . Аналогічний результат для моделі пари точок.

  1. ^ Сума моментів (головний момент) всіх внутрішніх сил системи відносно любого центру або осі рівний нулю.

Пояснення. Візьмемо любий центр , то видно, що .

Аналогічно для інших точок:

(68)

Із двох властивостей слідує, що внутрішні сили не впливають на рух системи.


^ Маса системи. Центр мас тіла.

Рух механічної системи залежить також від її сумарної маси і розподілу мас.

Маса системи () рівна арифметичній сумі мас всіх точок або тіл, що входять до системи.

(69)

Ясно, що маси точок системи розподілені по всій системі, і мають різні координати, але в задачах динаміки нас частіше цікавлять сумарні характеристики:

  1. положення центру мас;

  2. осьові моменти інерції.

В однорідному полі тяжіння (), вага любої частинки тіла пропорційна її масі, тому про розподіл мас в тілі можна судити по положенню його центру тяжіння.

Згадаємо координата центру тяжіння або центру ваги:



Перетворимо, тобто , . Маємо:

(70) Геометрична точка , координати якої визначаються за формулами (70) називається центром мас або центром інерції системи.

У векторній формі (71),

де - радіус-вектор.

2) Осьовий момент інерції відіграє при обертальному русі таку важливу роль, як маса при поступальному.

Моментом інерції тіла (системи) відносно даної осі (або осьовим моментом інерції) називається скалярна величина, рівна сумі добутків мас всіх точок тіла (системи) на квадрат відстані їх до цієї осі:

(72)

Виразивни відстані через відповідні координати маємо вирази моментів осей :

(73)


^ Загальні теореми динаміки

матеріальної точки і механічної системи


Теорема про кількість руху матеріальної

точки і механічної системи

Кількістю руху матеріальної точки називається векторна величина, що рівна добутку маси на вектор швидкості .

Кількістю руху системи матеріальних точок будемо називати векторну величину, що рівна геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи:

(74)

Як знайти кількість руху механічної системи, якщо відомо її масу і швидкість руху всього тіла?

Використовуючи останнє :

.

Про диференціюємо по :

; ,

а не що інше, як .

Значить, кількість руху системи рівна добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас.


Теорема імпульсів

(теорема про зміну кількості руху матеріальної точки і механічної системи)

Для матеріальної точки: через те, що маса величина постійна (в класичній фізиці), а прискорення , то підставляючи в другий закон динаміки маємо для точки:

.

Нехай рухома точка в момент часу має швидкість , а в момент - . Помножимо на і візьмемо інтеграл:



Інтеграл у правій частині називається імпульсом дії сили – це добуток сили на елементарний проміжок часу .

.

(75)

^ Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки:

Зміна кількості руху матеріальнох точки за деякий проміжок часу рівна сумі імпульсів всіх діючих на точку сил за той же проміжок часу.

У декардових проекціях це має вигляд:

(76)

^ Тепер виведемо для системи:

Розглянемо систему, що складається з - точок. Складемо для цієї системи диференціальні рівняння почленно.

.

- за властивістю внутрішніх сил.

Розпишемо (згідно попереднього).

Тобто виходить:

(77)

^ Теорема про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі: похідна по часу від кількості руху системи рівна геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.

У проекціях:

(78)

Ця теорема в інтегральній формі: .


Теорема про рух центру мас системи.

Проаналізуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи:

.

Зліва стоїть зміна кількості руху системи, а від згідно визначення. Підставимо:

(79)



- добуток маси системи на прискорення її центра мас рівний сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.

Порівнюючи з рівнянням руху матеріальної точки, можна зробити висновок:

Центр мас системи рухається як матеріальна точка, маса якої рівна масі всієї системи і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему - Теорема про рух центру мас системи.

(80)

Наслідки з теореми:

  1. Тіло, що рухається поступально, можна розглядати як матеріальну точку з масою рівною масі тіла.

  2. При визначенні закону руху центра мас любої системи можна виключати (не враховувати) невідомі внутрішні сили.

3). Якщо сума зовнішніх сил рівна нулю, то , , - центр мас системи рухається рівномірно і прямолінійно, або знаходиться в спокої.


^ Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки.

Спочатку означення, що таке момент кількості руху.

М
оментом кількості руху матеріальної точки відносно деякого центру
називається векторна величина , що визначається як векторний добуток , де - радіус-вектор рухомої точки, проведений із центру . Напрямок - перпендикулярно до площини, що проходить через і центр .


Рис.64. Момент кількості руху матеріальної точки маси m відносно точки О і осі, що проходить через цю точку.


Модуль , де - найкоротша відстань від до центру .

На рис.64. показано також момент кількості руху точки відносно осі.

Момент кількості руху точки відносно осі , що проходить через точку , буде дорівнювати, рівний проекції вектора (на вісь ):

.

^ Виведемо теорему про зміну моменту кількості руху.

Для цього встановимо,користуючись попередніми визначеннями, як змінюється момент кількості руху з часом. Продиференціюємо по часу:

,

- векторний добуток двох паралельних векторів; .

(81)

Як відомо, векторний добуток у правій частині рівняння (81) називається моментом діючої сили.

Теорема: похідна по часу від моменту кількості руху точки, взятого відносно якого-небудь центру, рівна моменту діючої сили на точку відносно цього ж центру.

Якщо спроектувати останню рівність на яку-небудь вісь , що проходить через центр , отримаємо:

(82)

Теорема про зміну моментів відносно осі: похідна по часу від моменту кількості руху точки відносно осі, рівна моменту діючої на точку сили відносно цієї осі.


  1. Випадок центральної сили.

Центральною називається сила, лінія дії якої проходить весь час через даний центр .

Приклад: сила притягання Землі до Сонця при русі по орбіті.

Н
ехай на точку діє центральна сила .

Рис. 65. Випадок центральної сили.

В даному випадку . Згідно теореми моментів: , значить - . Тобто момент кількості руху весь час постійний по модулю і напрямку.

1) Відомо, що він направлений перпендикулярно до площини в якій лежать вектори і . Значить любої точки траєкторії і вектор швидкість лежать в одній площині у випадку дії на тіло центральної сили – траєкторія плоска крива.

2) Нехай за час точка пройшовши по кривій, перейшла в точку , причому .

; - площа , , - ця величина показує швидкість, з якою росте площа сектора, який описує на площині радіус-вектор точки . Цю швидкість так і називають - секторна швидкість.

;

.

Висновок: при русі під дією центральної сили точка рухається по плоскій кривій з постійною секторною швидкістю, тобто за однакові проміжки часу радіу-вектор точки проходить однакові площини. (це один із законів Кеплера).


  1. Головний момент кількості руху системи (кінетичний момент механічної системи відносно центру і осі).

Теорема про зміну кінетичного моменту системи

Головним моментом кількості руху системи (або кінетичним моментом) відносно даного центру називається величина , що рівна геометричній сумі моментів кількості руху всіх точок відносно цього центру:

(83)

В проекціях:

(84)

Попереду доводилась теорема моментів для однієї матеріальної точки. Застосуємо її до кожної із точок системи.

Значить, якщо взяти точку з масою і , то для неї можна записати:

,

де - рівнодійні всіх зовнішніх і внутрішніх відповідно сил, що діють на дану точку.

Складемо такі рівняння для всіх точок і просумуємо для системи:

.

- по властивості зовнішніх сил рівна нулю.

(85)

Теорема про кінетичний момент системи: похідна по часу від головного моменту кількості руху системи відносно деякого нерухомого центру рівна сумі моментів всіх зовнішніх сил системи відносно цього центру.

В проекціях на осі :

(86)

Доведеною теоремою часто користуються при вивченні обертального руху тіла, в теорії гіроскопів, теорії удару тощо.

Приклад: Якщо сума моментів всіх зовнішніх сил відносно центру рівна нулю (тобто система замкнена), то:

, тобто

(87)

- це закон збереження головного моменту руху для замкненої системи.

Візьмемо

(платформа Жуковського, розгойдування гойдалки)





Рис. 66. Момент інерції декількох точок тіла, що обертається.




Схожі:

Динаміка механічної системи iconДинаміка механічної системи
...
Динаміка механічної системи iconЧастина третя динаміка
Динаміка   розділ теоретичної механіки, в якому визначається механічний рух матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого...
Динаміка механічної системи icon3. Динаміка точки
Динаміка  розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух матеріальних об’єктів (матеріальної точки, системи матеріальних...
Динаміка механічної системи iconОлександром Дем’янчуком
Тема зустрічі: «Динаміка змін системи прийняття політичних рішень в Україні: ефективність державна vs ефективність національна»
Динаміка механічної системи iconТаблиця Динаміка контингенту студентів за 2009 – 2012 рр
Ще два роки тому в нас було 20 тис студентів. Сьогодні їх – близько 16 тис. Динаміка зміни контингенту студентів наведена в таблиці...
Динаміка механічної системи iconМ. Г. Шульженко, С. О. Закурдай динаміка рухомого складу конспект лекцій
Динаміка рухомого складу. Конспект лекцій /для студентів 4 курсу денної форми навчання напряму підготовки 0922 050702 – «електромеханіка»...
Динаміка механічної системи icon5. Моделювання механічної частини системи електроприводу
Для групи емт номер варіанту дорівнює сумі 8 І номера бригади для першої підгрупи та сумі 12 І номера бригади для другої підгрупи....
Динаміка механічної системи icon5. Моделювання механічної частини системи електроприводу
Для групи емт номер варіанту дорівнює сумі 8 І номера бригади для першої підгрупи та сумі 12 І номера бригади для другої підгрупи....
Динаміка механічної системи iconНазва модуля: Фізика. Ч код модуля: кзф 6001 с тип модуля
Кінематика І динаміка поступального руху твердого тіла. Кінематика І динаміка обертального руху твердого тіла. Механічні коливання...
Динаміка механічної системи iconРезультати статистичної обробки вібраційних сигналів комплексу газова турбіна-електрогенератор газотурбінної електростанції
Ктрогенератор не підтвердила статистичної гіпотези про наявність додаткових резонансів механічної системи газова турбіна-електрогенератор....
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи