Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 icon

Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни "Основи математичного моделювання" для студентів спеціальності 090202




НазваМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни "Основи математичного моделювання" для студентів спеціальності 090202
Сторінка2/12
Дата17.02.2014
Розмір2.05 Mb.
ТипМетодичні вказівки
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
1. /4 курс/_нженерна психолог_я.doc
2. /4 курс/Електрометалург_я/3. Контрольн_ завдання......doc
3. /4 курс/Електрометалург_я/ВСТУП, 1, 2 л_т....doc
4. /4 курс/Електрометалург_я/Додаток 1. табл. Д.1.1, 1.2, Д.1.3.....doc
5. /4 курс/Електрометалург_я/Додаток 2. табл. Д.2.1., 2.2.....doc
6. /4 курс/Електрометалург_я/Додаток 3. табл. Д.3.1....doc
7. /4 курс/Електрометалург_я/Л_тература.....doc
8. /4 курс/Електрометалург_я/Тит.УДК, зм_ст....doc
9. /4 курс/Ливарне виробництво.doc
10. /4 курс/Матем методи ПРО901/Основи математичного моделювання.doc
11. /4 курс/Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ.doc
12. /4 курс/Математичн_ модел_ та методи в розрахунках на ЕОМ, для ПРО.doc
13. /4 курс/Металлургические печи.pdf
14. /4 курс/Металургия стали.doc
15. /4 курс/ПРО Основы автоматизированного проектирования технологического оборудования.doc
16. /4 курс/Профес_йна педагог_ка.doc
17. /4 курс/Рел_г_єзнавство.doc
18. /4 курс/Теор_я та _стор_я педагог_ки.doc
19. /4 курс/Электротермия неорганических материалов.docx
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни "Основи математичного моделювання" для студентів спеціальності 090202
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм»
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни 'Математичні моделі та методи в розрахунках на еом'' для студентів напряму 010104
Методичні вказівки до вивчення дисципліни індивідуальні завдання
Національна металургійна академія України
Методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Професійна педагогіка» для студентів напряму 010104 професійна освіта
Методичні вказівки до вивчення дисципліни "Релігієзнавство", рекомендовану літературу, варіанти індивідуальних завдань
Методичні вказівки до вивчення дисципліни "Теорія та історія педагогіки", рекомендовану літературу, варіанти індивідуальних завдань
Методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Електротермія неорганічних матеріалів» для студентів технічних спеціальностей
Методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни "Інженерна психологія" для студентів напряму 010104 професійна освіта
Таблиця д 1 Марки феросиліцію І варіанти контрольного завдання №1 І №3
Таблиця д 1 Склад марганцевої сировини І коксу
Склад марганцевої сировини, флюсу і ступінь переходу оксидів в шлак та основність шлаку
Учебник для вузов. Киев; Донецк: Вища школа. Головное изд-во, 1983. 376 с
Методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Електрометалургія» для студентів, які навчаються за напрямами 050401 і 010104
Методичні вказівки та контрольні завдання з дисципліни «ливарне виробництво» для студентів заочної форми навчання
3. Контрольні завдання для практичних занять і виконання самостійної роботи
Методичні вказівки і наведені в них індивідуальні завдання за своїм змістом відповідають напрямкам подальшого удосконалення усіх форм навчального процесу в академії,

3.3. Деякі відомості з регресійного аналізу

Для побудови емпіричних ММ використовують методи регресійного аналізу [7-9], котрі дозволяють розрахувати (за експериментальними даними) коефіцієнти рівняння регресії (тобто ММ), яке з найменшою помилкою відповідає цим експериментальним даним. Широко використовують лінійні одномірні (3.10) та багатомірні (3.11) рівняння регресії:

Y = a + b∙X. (3.10)

Y = a + b∙X1+ c∙X2+ d∙X3 + ......... (3.11)

Для розрахунків коефіцієнтів лінійного одномірного рівняння регресії (3.10) використовують формули (3.12) і (3.13), що одержані після перетворень відповідними методами регресійного аналізу [1, 7-9], наприклад, методом найменших квадратів:

; (3.12)

(3.13)

Аналогічні розрахунки для багатомірних (3.11) лінійних (або нелінійних) регресійних моделей здійснюють за допомогою програм для комп’ютерів, оскільки “ручні” розрахунки коефіцієнтів регресії є трудомісткими.

Таким чином, методи регресійного аналізу використовуються під час ідентифікації параметрів емпіричної ММ (розділ 3.5).

Для реалізації методів регресійного аналізу (наприклад, методу найменших квадратів) треба мати необхідний обсяг експериментальних даних, які забезпечують певний рівень достовірності. Дані одержують під час проведення експериментів, які спеціально планують. Відомими є такі рекомендації:

- для одномірного експерименту слід провести дослідження не менш ніж при трьох значеннях незалежної змінної та трьох повтореннях кожного, тобто мінімальна кількість експериментів складає дев’ять;

- для багатомірного експерименту слід керуватися правилами теорії планування експериментів [1, 9], які встановлюють, що кількість експериментів залежить від кількості незалежних змінних (з урахуванням необхідного дублювання). Наприклад, при трьох незалежних (вхідних) змінних кількість основних експериментів складає вісім (за схемою повного факторного експерименту), а з урахуванням повторних експериментів - двадцять чотири.

3.4. Приклади розрахунків основних характеристик випадкових величин


1. Описати технічний зміст та розрахувати значення основних характеристик випадкових величин для значень кількості циклів навантаження після механічної обробки, які отримано вимірюваннями (таблиця 3.1).

Таблиця 3.1

Випадкова величина

Результати вимірювання

1

2

3

4

5

6

Логарифм кількості циклів навантаження

6,85

6,80

7,02

6,91

7,12

6,91




  1. Розмах розраховується за формулою (3.1) і визначає величину діапазону розкиду реалізацій випадкової величини.

.

Величина розмаху характеризує стабільність очікуваних значень. Чим меншим є розмах, тим більш передбачуваними будуть реалізації випадкової величини.

  1. Частота розраховується для кожного інтервалу за формулою (3.2), для чого весь діапазон значень розділяють на три рівних інтервали та підраховують кількість реалізацій, які потрапили до кожного з інтервалів.

Частота є приблизною оцінкою імовірності виникнення реалізації випадкової величини у виділеному діапазоні значень.

Результат зручно подати у вигляді таблиці.

Таблиця 3.2

Інтервал

Кількість реалізацій

Частота

I

6,80 -6,90

2

0,333333

II

6,91 -7,01

2

0,333333

III

7,01 -7,12

2

0,333333




  1. Середнє арифметичне значення визначає значення (центр), біля якого групуються усі інші реалізації випадкової величини.

Для даного прикладу середнє арифметичне значення визначається за формулою (3.3)

.

  1. Середньоквадратичне відхилення характеризує розподіл випадкових величин відносно середнього арифметичного значення.

У даному прикладі розрахунок за формулою (3.4) дає величину



  1. Функція щільності розподілу характеризує розподіл значень випадкової величини у межах усього діапазону зміни (у межах розмаху).

Для даного прикладу більшим значенням функції щільності розподілу (які розраховано за формулою (3.7) та наведено у таблиці) відповідає більша кількість реалізацій випадкової величини (див. рисунок) поблизу середнього арифметичного значення.

Таблиця значень функції щільності розподілу.


Х

f(x)

6,85

2,621541

6,8

1,751094

6,91

3,33968

7,02

2,621541

6,91

3,33968

7,12

0,973653






3.5. Приклади побудови емпіричних ММ

3.5.1. Розглянемо особливості застосування загальної схеми створення ММ для розробки одномірної емпіричної ММ за допомогою “ручних” розрахунків:

  1. Формулювання мети створення ММ.

Побудувати лінійну ММ, яка описує вплив величини експлуатаційного навантаження на довговічність зразка (кількість циклів навантаження).

Враховуючи, що ММ одномірна, проведено по шість експериментів при чотирьох значеннях вхідної змінної (величини експлуатаційного навантаження). Відповідні результати експериментів наведені в таблиці 3.3.

Таблиця 3.3

Результати експериментів

№№ дослі-дів

Логарифм величини експлуатацій-ного наванта-ження, x

Логарифм кількості циклів навантаження, Y

СКВ

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Yср

1

1,28

6,85

6,80

7,02

6,91

7,12

6,91

6,94

0,116748

2

1,3

6,60

6,40

6,52

6,64

6,62

6,71

6,58

0,108151

3

1,4

5,32

5,78

5,39

5,53

5,52

5,60

5,52

0,161823

4

1,48

4,78

4,68

4,73

4,78

4,86

4,65

4,75

0,076333




  1. Ідеалізація оригіналу.

Ступінь впливу незалежної змінної на залежну оцінімо за допомогою коефіцієнта парної кореляції (3.8). Для розрахунку його величини необхідно попередньо знайти величини середні арифметичні (3.3) та середньоквадратичні відхилення (3.4) для незалежної і залежної змінних:

; ;

;



Коефіцієнт парної кореляції (3.8) довговічності зразка і кількості циклів навантаження має велике значення, що свідчить про наявність сильного зв’язку між змінними. Від’ємність величини коефіцієнта кореляції вказує, що із збільшенням незалежної (вхідної) змінної залежна (вихідна) змінна зменшується.

Величина коефіцієнта кореляції підтверджує, що при моделюванні можна розглядати тільки одну вхідну та вихідну змінні, тобто одномірну ММ довговічності зразка від величини експлуатаційного навантаження.

  1. Формалізація (вибір загального виду математичного опису).

В якості математичного опису приймаємо лінійний вираз (a і b - коефіцієнти рівняння) виду

Y = a + b∙X .

  1. Ідентифікація параметрів ММ.

Для визначення параметрів (a і b) застосуємо метод найменших квадратів. Для спрощення розрахунків використовуємо часткові середні арифметичні значення вихідної змінної (таблиця 3.3)



Величини часткових середніх квадратичних відхилень (СКВ) також наведені у таблиці 3.3



Значення параметрів (a і b) розраховані за формулами (3.12) і (3.13):



Лінійна емпірична ММ (рівняння регресії) має вид:

Y=20,6033-10,7375 ∙X.

  1. Перевірка адекватності ММ.

Розрахункова величина (3.9) критерію Фішера



Величина критерію Фішера (Fр=454,0345) дозволяє порівняти ступені розсіювання експериментальних даних відносно середніх значень і рівняння регресії, більше критичного табличного значення [5] F(1; 2)=18,51 (при рівні значущості 0,05), що свідчить про адекватність ММ.


3.5.2. Розглянемо приклад побудови багатомірної лінійної емпіричної ММ за допомогою програмного забезпечення сучасного персонального комп’ютера (на прикладі програми EXCEL).

  1. Формулювання мети створення ММ.

Побудувати лінійну ММ, яка описує вплив трьох величин експлуатаційних навантажень (X1 , X2 , X3) на довговічність зразка (кількість циклів навантаження).

Враховуючи, що ММ багатомірна, проведено по шість експериментів при восьми сполученнях значень вхідних змінних (величин експлуатаційних навантажень) відповідно до схеми повного факторного експерименту для трьох факторів. Відповідні результати експериментів наведені в таблиці 3.4.


Таблиця 3.4

Результати експериментів

№№ дослідів

Логарифми величин експлуатаційних навантажень

Логарифм кількості циклів навантаження, Y

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Yср

1

1,28

2,5

1,5

6,905

6,915

6,925

6,945

6,955

6,965

6,935

2

1,28

2,5

1,8

6,084

6,094

6,104

6,124

6,134

6,144

6,114

3

1,28

4,0

1,5

5,839

5,849

5,859

5,879

5,889

5,899

5,869

4

1,28

4,0

1,8

5,202

5,212

5,222

5,242

5,252

5,262

5,232

5

1,48

2,5

1,5

5,548

5,558

5,568

5,588

5,598

5,608

5,578

6

1,48

2,5

1,8

5,123

5,133

5,143

5,163

5,173

5,183

5,153

7

1,48

4,0

1,5

4,826

4,836

4,846

4,866

4,876

4,886

4,856

8

1,48

4,0

1,8

4,717

4,727

4,737

4,757

4,767

4,777

4,747


2. Ідеалізація оригіналу.

Ступінь впливу незалежних змінних на залежну (для часткових середніх Yср) оцінимо коефіцієнтами парної кореляції, величини яких розраховано за допомогою функції КОРРЕЛ(...). Результати наведено в таблиці 3.5.

Таблиця 3.5

Коефіцієнти парної кореляції




X1

X2

X3

kxy

-0,699

-0,564

-0,365


Величини коефіцієнтів парної кореляції вказують на найбільш впливові незалежні змінні (а саме, першу змінну). Від’ємність величин коефіцієнтів кореляції вказує, що зі збільшенням незалежних (вхідних) змінних залежна (вихідна) змінна зменшується.

Додатково розраховано за допомогою функції ЛИНЕЙН(...) величину коефіцієнта детермінації, який дозволяє оцінити правильність включення до ММ певного набору факторів.

Величина коефіцієнта детермінації (0,93978) підтверджує, що при моделюванні можна розглядати три вхідні та вихідну змінні, тобто багатомірну ММ.

3. Формалізація (вибір загального виду математичного опису).

В якості математичного опису приймаємо лінійний вираз (a, b, c, d - коефіцієнти рівняння) виду:

Y = a + b∙X1+ c∙X2+ d∙X3.

4. Ідентифікація параметрів ММ.

Для визначення параметрів (a, b, c, d) застосуємо багатомірний варіант методу найменших квадратів, який реалізовано функцією ЛИНЕЙН(...). Для спрощення розрахунків використовуємо часткові середні арифметичні значення вихідної змінної (таблиця 3.4).

Лінійна емпірична ММ (рівняння регресії) має вид:

Y=16,5483 - 4,77∙X1 - 0,513 ∙ X2 - 1,66 ∙ X3. (3.14)

5. Перевірка адекватності ММ.

Розрахункова величина (розрахунок передбачено функцією ЛИНЕЙН(...)) критерію Фішера дорівнює Fр=20,8086, більше критичного табличного значення [5] F(3; 4)=6,59 (при рівні значущості 0,05), що свідчить про адекватність ММ.


3.6. Графічне подання результатів моделювання

Для наочного подання результатів моделювання варто побудувати графік отриманої залежності і нанести на нього значення, що характеризують експериментальні дані. Для умов прикладу, що розглядається у методичних вказівках, такий графік показаний на рис. 3.3.

По горизонтальній осі нанесені значення незалежної змінної, а по вертикальній - значення залежної змінної (у контрольній роботі це глибина різання і сила різання відповідно). Масштаб, а також початкові і кінцеві значення змінних вибираються так, щоб забезпечувалася наочність зображення. Для побудови використовуються вибіркові середні (характеризують експериментальні дані) і результати розрахунку за допомогою побудованої математичної моделі при однакових значеннях незалежних змінних. Точки, що відповідають математичної моделі, з'єднуються суцільною лінією, а експериментальні значення виділяються, наприклад, затемненими кружками.

Взаємне розташування експериментальних і розрахункових даних характеризує якість побудованої математичної моделі. Зокрема, експериментальні точки повинні розташовуватися з обох сторін від графіка приблизно в однаковій кількості. Чим ближче розташовуються експериментальні і розрахункові точки, тим краще відповідає математична модель оригіналу.

Для побудови графіків часткових залежностей для багатомірної емпіричної ММ доцільно використовувати інструменти програми EXСEL (а саме, мастер діаграм). Часткова залежність може бути отримана з багатомірної ММ (3.11), якщо зафіксувати усі змінні (кожну на своєму значенні, наприклад, на мінімальному), окрім однієї, та перерахувати значення вільного члена. Наприклад, для багатомірної ММ, яка має вид (3.14), часткові залежності мають вид:

Y=12,7766 - 4,77 ∙X1 ,

Y=7,95267 - 0,513 ∙ X2 .

Y=9,1601 - 1,66 ∙ X3.

Графічне подання цих залежностей наведено (усі три залежності суміщено на одному графіку) на рис. 3.4.

Кут нахилу прямих характеризує ступінь впливу кожної вхідної змінної на вихідну змінну (за умови, що діапазони зміни незалежних змінних встановлені порівнянними). Для графіків на рис. 3.4 таке порівняння не зроблено, тому є певна їх невідповідність з величинами коефіцієнтів кореляції.



Рис. 3.3. Графічне подання результатів моделювання (одномірна ММ)




Рис. 3.4. Графічне подання результатів моделювання (багатомірна ММ)

ЛІТЕРАТУРА

  1. Ясев А.Г. Основы математического моделирования: Конспект лекций. - Днепропетровск: НМетАУ, - 2004. – 94 с.

  2. Основы моделирования сложных систем /Под общ. ред. И.В.Кузьмина. -Киев: Высшая школа, 1981. -360 с.

  3. Математическое моделирование /В.И. Скурихин, В.В. Шифрин, В.В. Дубровский. - Киев : Техніка, 1983. -270 с.

  4. Парамонов Ф.И. Моделирование процессов производства. -М.: Машиностроение, 1984. -232 с.

  5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

  6. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. – М.: Металлургия, 1968. – 277 с.

  7. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Статистика, 1973. – 392 с.

  8. Хютсон А. Дисперсионный анализ. – М.: Статистика, 1971. – 88 с.

  9. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1976. –279 с.

Додаток 1

Розрахунки “вручну”

Приклад

Завдання N _____

на контрольну роботу з дисципліни

''Основи математичного моделювання''


1. Описати технічний зміст та розрахувати значення основних характеристик випадкових величин для значень діаметрів валів після механічної обробки, які отримано вимірюваннями (табл. Д.1.1).

Таблиця Д.1.1

Параметр, що контролюється

Результати вимірювання

1

2

3

4

5

6

Діаметр, мм

35,03

35,07

35,05

34,95

34,97

34,93



2. Розрахувати параметри емпіричної математичної моделі, використовуючи методи математичної статистики для опрацювання експериментальних даних (табл. Д.1.2), що характеризують залежність між складовою сили різання (залежна змінна) і глибиною різання (незалежна змінна).

Таблиця Д.1.2



п/п

Незалежна

змінна

t, мм

Експериментальні дані – залежна змінна, Н

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

1

0,6

276

271

273

276

279

270

2

1,2

351

360

350

353

352

358

3

1,4

460

453

455

461

458

462

4

2,4

492

490

501

493

491

500


Одержати лінійну математичну модель виду: P = a + b∙t.


Додаток 2

Розрахунки за допомогою комп’ютерних програм

Приклад

Завдання N _____

на контрольну роботу з дисципліни

''Основи математичного моделювання''

1. Описати технічний зміст та розрахувати значення основних характеристик випадкових величин для значень діаметрів валів після механічної обробки, які отримано вимірюваннями (табл. Д.2.1).

Таблиця Д.2.1

Параметр, що контролюється

Результати вимірювання

1

2

3

4

5

6

Діаметр, мм

35,03

35,07

35,05

34,95

34,97

34,93


2. Розрахувати параметри емпіричної математичної моделі, використовуючи методи математичної статистики для опрацювання експериментальних даних (табл. Д.2.2), що характеризують залежність між складовою сили різання (залежна змінна) і режимами різання (незалежні змінні).

Таблиця Д.2.2



п/п

Незалежні змінні

Експериментальні дані – залежна змінна, Н

t, мм

s, мм/об

V, м/мин

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

1

2,4

0,5

200

276

271

273

276

279

270

2

2,4

0,5

100

351

360

350

353

352

358

3

2,4

0,1

200

460

453

455

461

458

462

4

2,4

0,1

100

492

490

501

493

491

500

5

0,6

0,5

200

176

171

173

176

179

170

6

0,6

0,5

100

251

260

250

253

252

258

7

0,6

0,1

200

360

353

355

361

358

362

8

0,6

0,1

100

392

390

201

393

391

400


Одержати лінійну математичну модель виду: P = a + b∙t+ c∙s+ d∙v.

Додаток 3

Значення розподілу Фішера Fт(g-1, n-g)

n-g

g-1




1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

161,4

199,5

215,7

224,6

230,2

234,0

236,8

238,9

240,5

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,35

19,37

19,38

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

6,00

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

4,77

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,21

4,15

4,10

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

3,68

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,50

3,44

3,39

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,29

3,23

3,18

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

3,01

2,95

2,90

12

4,75

3,89

3,49

3,26

3,11

3,00

2,91

2,85

2,80

13

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,92

2,83

2,77

2,71

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,70

2,65

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,71

2,64

2,59

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

2,54

17

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,61

2,55

2,49

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,58

2,51

2,46

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,54

2,48

2,42

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,51

2,45

2,39

21

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,49

2,42

2,37

22

4,30

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,46

2,40

2,34

23

4,28

3,42

3,03

2,80

2,64

2,53

2,44

2,37

2,32

24

4,26

3,40

3,01

2,78

2,62

2,51

2,42

2,36

2,30

25

4,24

3,39

2,99

2,76

2,60

2,49

2,40

2,34

2,28

26

4,23

3,37

2,98

2,74

2,59

2,47

2,39

2,32

2,27

27

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

2,46

2,37

2,31

2,25

28

4,20

3,34

2,95

2,71

2,56

2,45

2,36

2,29

2,24

29

4,18

3,33

2,93

2,70

2,55

2,43

2,35

2,28

2,22

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,33

2,27

2,21


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Схожі:

Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни " Технологічна оснастка" для студентів спеціальності 090202
Вміщують робочу програму, контрольні питання для перевірки знань, методичні вказівки до виконання контрольної роботи та приклад її...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи
Програма, методичні вказівки та завдання до контрольної роботи №1 з дисципліни "Основи теорії електричних кіл" для студентів спеціальності...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМетодичні вказівки до практичної роботи "Уточнення мети контрольної операції та задачі конструювання"
Основи конструювання контрольно-вимірювальних пристроїв” для студентів спеціальності 090202 та 090202 “Технологія машинобудування”...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconХарківська національна академія міського господарства о. П. Молчанова Методичні вказівки для виконання контрольної роботи з дисципліни
Методичні вказівки для виконання контрольної роботи з дисципліни „Нормативно-правове супроводження проектної діяльності ” для студентів...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМетодичні вказівки щодо виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни «основи експлуатації та ремонту автомобілів» для студентів заочної форми навчання
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни «Основи експлуатації та ремонту автомобілів» для студентів...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни „комерційна діяльніссть в будівництві”
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни „Комерційна робота в будівництві” для студентів 6 курсу заочної форми...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни «Організація виробництва»
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни «Організація виробництва» (для студентів 4 курсу заочної форми навчання...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconХарківська націонльна академія міського господарства о. Б. Трояновська методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни «Економіка проектних рішень в будівництві» для студентів 6 курсу,...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМіністерство освіти І науки україни кременчуцький державний політехнічний університет методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни “вступ до спеціальності” для студентів заочної форми навчання зі спеціальності
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни “Вступ до спеціальності” для студентів заочної форми...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни «Ефективність інформаційних систем» для студентів-заочників спеціальності 050102
...
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни \"Основи математичного моделювання\" для студентів спеціальності 090202 iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи. Призначена для студентів спеціальності 03050201, 050201 економічна кібернетика заочної форми навчання
Робоча програма, методичні вказівки та контрольні завдання до вивчення дисципліни «Моделювання економiчної динамiки» для студентів...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи