© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк icon

© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк




Скачати 89.77 Kb.
Назва© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк
Дата30.07.2012
Розмір89.77 Kb.
ТипДокументи

УДК 519.718; 681.516


© 2011р. М.С. Ілащук, Є.Ф. Сопронюк, Ф.О. Сопронюк


Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці


ОПТИМАЛЬНЕ ОЦІНЮВАННЯ ЗА ПАРАМЕТРАМИ В СИСТЕМАХ ЗІ ЗМІННОЮ ВИМІРНІСТЮ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ


За допомогою методів практичної стійкості для систем зі змінною вимірністю фазового простору розв’язок мінімаксної параметричної задачі зведено до пошуку розв’язку системи нелінійних рівнянь числовими методами.


Using the methods of practical stability for systems with the phase space variable measurability the solution of parametric minimax problem is reduced to finding the solution of nonlinear equations by numerical methods.


Вступ


З аналізу наукових публікацій останніх двадцяти-тридцяти років можна зробити висновок, що вдалий вибір моделі при дослідженні тих або інших проблем відіграє ключову роль їх успішного розв’язання. Успіхи в подоланні суттєвих труднощів при розв’язанні задач керування складними об’єктами, проблем розпізнавання образів і цифрової обробки інформації, апроксимації експериментальних даних на основі методів псевдоінверсії, проблем практичної стійкості пучків траєкторій та інших у значній мірі пов’язані з тим, що математичні моделі досліджуваних процесів мають вигляд систем диференціальних або різницевих рівнянь зі зміною вимірності фазового простору. Тобто, це такі динамічні системи, які при певних значеннях часового параметра можуть змінювати розмірність вектора фазового стану. Це означає, що на траєкторії системи накладаються проміжні умови в задані моменти часу, що дозволяє враховувати особливості процесів, які моделюються. Частинним випадком таких умов є умови миттєвої зміни розмірності вектора фазового стану, що має неабиякий практичний інтерес, зокрема, при оптимізації пучків заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах, при побудові оптимального портфеля цінних паперів, при апроксимації експериментальних даних у реальному режимі часу на основі методів псевдообернення та в ряді інших прикладних задач.


^ Постановка задачі


Розглянемо систему

, , (1)

за умов зміни вимірності фазового простору

, , , (2)

на проміжку з розбиттям [1], де – вектор фазового стану системи (1) розмірності , , – вектори параметрів оптимізації розмірності та з опуклих компактних множин та відповідно, – квадратна матриця порядку , – прямокутна матриця розмірності , причому елементи матриць , такі, що розв’язок (1) існує і єдиний для всіх , , – прямокутні сталі матриці розмірності , – одинична матриця розмірності , – прямокутні сталі матриці розмірності ,, – нульова матриця.

Нехай [2] – множина початкових станів системи (1), а критерій якості для системи (1) за умов зміни вимірності фазового простору (2) має вигляд



, [3] (3)

де

, – задані симетричні додатно визначені матриці,



.

Припустимо, що матриці у співвідношеннях (2) такі, що справджуються умови

, . (4)

За цих умов легко одержати



, (5)

де





при ,

,

,

– фундаментальна матриця, яка є розв’язком матричної задачі Коші

, , , , .

Подамо множину

у наступному вигляді:





, (6)

де

, ,, , , .

Припустимо, що максимальне значення квадратичної форми на множині (6) досягається в деякій точці .

Використовуючи апроксимацію опуклої множини

, (7)

знайдемо екстремум лінійної форми на області досяжності (6).

Для цього введемо функцію Лагранжа



. (8)

Прирівнюючи до нуля, тобто

,

одержуємо

.

Враховуючи рівняння

,

знайдемо значення

,

де



.

Оскільки

,



і

,

тому

.

Далі, використовуючи отримані , знайдемо значення , при яких функція Лагранжа набуває екстремальних значень

. (9)

Враховуючи, що максимальне значення квадратичної форми на множині (6) досягається в деякій точці , отримуємо наступне рівняння

. (10)

Отже, розв’язок задачі про забезпечення критерію якості (3) на траєкторіях системи (1) за умов (2), якщо початкові умови належать множині , зводиться до визначення мінімуму функції по векторах параметрів . Для цього знаходимо градієнт співвідношень, який визначає значення по параметрах і прирівнюємо його до нуля.

Для випадку, коли



рівняння (10) набуде наступного вигляду:



Прирівнюючи і до нуля, отримаємо



, (11)



, (12)

де – квадратна матриця розмірності

,

кожний елемент якої в свою чергу є прямокутною матрицею розмірності , яка має вигляд

, , ,

.

– прямокутна матриця розмірності

,

кожний елемент якої в свою чергу є прямокутною матрицею розмірності , яка має вигляд

, , ,

.

– вектор розмірності

,

кожний елемент якого в свою чергу є прямокутною матрицею розмірності , яка має вигляд

, ,

– вектор розмірності

,

кожний елемент якого це вектор параметрів , .

– квадратна матриця розмірності

,

кожний елемент якої в свою чергу є прямокутною матрицею розмірності , яка має вигляд

, , .

– прямокутна матриця розмірності

,

кожний елемент якої в свою чергу є прямокутною матрицею розмірності , яка має вигляд

, , .

– вектор розмірності

,

кожний елемент якого в свою чергу є прямокутною матрицею розмірності , яка має вигляд

, ,

– вектор розмірності

,

кожний елемент якого це вектор параметрів , .

Позначимо через вектор усіх параметрів системи (1), (2)

.

Також введемо наступні позначення

, .

Тоді формули (11), (12) можна переписати у наступному вигляді



, (13)

звідки розв’язок поставленої задачі визначається формулою

. (14)

У випадку, коли



формула (14) набуде вигляду

.

Отже, значення векторів параметрів , які дають розв’язок сформульованої задачі визначаються за формулою

. (15)

У випадку, коли вимірності не змінюються, але , для якого виконується умова , початковий стан системи за формулою (5) відновити неможливо. Тому формула для обчислення набуває вигляду

, ,

де - псевдообернена матриця [5] до матриці ,.

Якщо , для якого вимірність системи зменшується, тобто , то виконується умова , і початковий стан системи за формулою (5) відновити теж неможливо. Тому у формулі (5) для обчислення вираз , для якого потрібно замінити на ,

де , - псевдообернена матриця до матриці .

У попередніх двох випадках точність знайдених результатів визначається нормою , де - початковий стан системи обчислений за формулою (5), з використанням псевдо обернених матриць.

Для усіх вищенаведених обчислень написана програма у візуальному середовищі Delphi 2010. Для обчислення фундаментальних матриць , використовувались методи Рунге-Кутти 4-го порядку [6], обчислення псевдообернених матриць проводилось методом Гревіля.


^ СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ


  1. Сопронюк Ф.О. Моделювання та оптимізація систем управління з розгалуженням структур. – Чернівці: Рута, 1995. – 155 с.

  2. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-пара-метрическая оптимизация и устойчивость динамики пучков. К.: Наукова думка, 1985. 305 с.

  3. Сопронюк Є.Ф. Параметрична оптимізація в системах зі зміною вимірності фазового простору // Вісник Київського університету. Фізико-математичні науки. – Випуск № 2. – К.: – 2006. – С. 236-245.­­­

  4. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1977. – 224с.

  5. Гантмахер Ф. Г. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576с.

  6. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. – К.: Вища школа, 1989. - 213 с.




M. S. Ilashchuk, Y. F. Soproniuk, F. O. Soproniuk. Optimal Estimation of Parameters in Systems with the Phase Space Variable Measurability


М.С. Илащук, Е.Ф. Сопронюк, Ф.О. Сопронюк. Оптимальное оценивание по параметрам в системах с переменной размерностью фазового пространства


С помощью методов практической устойчивости для систем с переменной размерностью фазового пространства решение минимаксной параметрической задачи сведено к поиску решения системы нелинейных уравнений численными методами.




Схожі:

© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconПро призначення комісій для прийому вступних іспитів до аспірантури університету у 2011р., провести прийом вступного іспиту зі спеціальності 05. 09. 03 Електротехнічні комплекси та системи 24 жовтня 2011р. 3
На часткову зміну до наказу по університету №351-5-03 від 10. 10. 2011р. “Про призначення комісій для прийому вступних іспитів до...
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconПро призначення комісій для прийому вступних іспитів до аспірантури університету у 2011р., провести прийом вступного іспиту зі спеціальності 05. 09. 03 Електротехнічні комплекси та системи 24 жовтня 2011р. 3
На часткову зміну до наказу по університету №351-5-03 від 10. 10. 2011р. “Про призначення комісій для прийому вступних іспитів до...
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconГрафік проведення індивідуальної роботи та консультацій зі студентами денної форми навчання викладачами кафедри історії України та методики викладання з 01. 09. 2011р по 30. 12. 2011р

© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconНаказ №375-5-05 Про допуск до складання кандидатського іспиту зі спеціальності осінню сесію 2011р. На часткову зміну до наказу по університету №339-5-05 від 05. 10. 2011р. "Про організацію прийому кандидатських іспитів в осінню сесію 2011р." Наказую : 1
На часткову зміну до наказу по університету №339-5-05 від 05. 10. 2011р. “Про організацію прийому кандидатських іспитів в осінню...
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconІлащук О. В.: методист-психолог нмцппср іппочо, Шурубура С. Т
Соціально-психологічний клімат це якісний бік міжособистісних стосунків, що виявляється у сукупності психологічних умов, які сприяють...
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconНаказ №406-д м. Івано-Франківськ Про організацію навчального процесу на кафедрах медичного університету в 2011-2012 навчальному році
«сестринська справа», «лікувальна справа» на базі базової загальної середньої освіти (2001р., 2011р.), «стоматологія ортопедична»...
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconВ. П. Щокіну лаборанта кафедри зкк г. Ю. Павленко заяв а
Прошу надати 4 путівки для оздоровлення в сот «Чароїт» з 28. 07. 2011р по 06. 08. 2011р для мене та членів моєї сім’ї
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconПосадова інструкція завідувача кафедри
Згідно розпорядження від 06. 10. 2011р. №140 надаємо форму посадової інструкції, яка повинна бути розроблена на кожного працівника,...
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconНаказ №348-5-05 Про допуск здобувача каф. Фгі до складання кандидатського іспиту з філософії в осінню сесію 2011р
Додатково до наказу по університету №338-5-05 від 03. 10. 2011р. “Про допуск аспірантів та здобувачів до складання кандидатського...
© 2011р. М. С. Ілащук, Є. Ф. Сопронюк, Ф. О. Сопронюк iconАвторами рекомендацій є: працівники нмцппср іппочо ілащук О. В. та Шурубура С. Т
Тому під час внутрішкільного моніторингу низької успішності обов’язковою складовою повинно бути визначення рівня задоволеності учнів...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи