Отримуємо систему рівнянь icon

Отримуємо систему рівнянь




Скачати 43.55 Kb.
НазваОтримуємо систему рівнянь
Дата20.09.2012
Розмір43.55 Kb.
ТипДокументи

11 клас


1. З початком падіння кільця, на нього діє все більша сила Лоренца, яка через стрижень приводить в рух і прискорює візок. У горизонтальному напрямі разом з візком переміщаються також стрижень і кільце, що ковзає вздовж нього. У зв'язку з цим змінюється напрям швидкості кільця, а разом з ним і напрям сили Лоренца. Направлена вгору складова сили Лоренца, пов'язана з горизонтальною швидкістю кільця, збільшується, в той час, як сила тяжіння , що діє на кільце вниз, залишається незмінною. Врешті-решт рух кільця вниз може бути зупинений силою Лоренца (згідно умови стрижень довгий), після чого кільце почне підніматися вгору. Тепер сила Лоренца гальмуватиме візок із стрижнем і кільцем аж до повної зупинки в мить, коли кільце підніметься на початкову висоту. Після чого весь процес повторюється.

Запишемо другий закону Ньютона в проекціях на координатні осі (вправо вісь абсцис, вниз – вісь ординат, початок координат в точці, звідки кільце почало рухатись). Вважатимемо заряд кільця додатним (на рисунку зображені сили, що діють на кільце в довільній точці його руху).



Отримуємо систему рівнянь:

(1)

Зміст першого рівняння зрозумілий: горизонтальна складова сили Лоренца викликає горизонтальне прискорення системи тіл. Якщо записати це рівняння у вигляді приростів, легко знайти зв'язок між зміною горизонтальній швидкості і вертикальної координати:

.

Скоротивши на , і склавши такі рівняння для послідовних змін швидкості і координати, знайдемо, що

(2)

(на початку руху швидкість і координата у дорівнювали нулю). Оскільки сила Лоренца роботи не здійснює, скористаємося законом збереження енергії

,

у якому позбавимося від у за допомогою (2):

. (3)

Максимальна швидкість візка буде у момент проходження кільцем нижньої точки траєкторії, де вертикальна швидкість звертається в нуль (візок до цього тільки збільшував свою швидкість). З (3) після скорочень знаходимо:

.

Виявляється, у вертикальному напрямі кільце опускається на (див. (2)) і якщо стрижень довгий (l > h) так і не досягає поверхні візка!

Знайдемо тепер максимальну швидкість кільця. Для цього виразимо квадрат його швидкості знову ж таки з рівняння (3) і виділимо повний квадрат:

.

Максимального значення набуває тоді, коли горизонтальна швидкість (вона ж і швидкість візка) досягне значення , яке менше максималь­ної швидкості візка за умови .

Висновок: якщо маса кільця m менше маси візка M, максимальної швидкості кільце досягне в мить, коли візок матиме швидкість . Якщо ж уявити кільце масивнішим, ніж візок, його максимальна швидкість буде в найнижчій точці траєкторії . У разі рівних мас можна використовувати будь-який з випадків .

Таким чином, вдається отримати відповіді на питання задачі, фактично не вдаючись до інтегрування або використання похідних. Звичайно, можна поступити інакше. Знайти залежність координат від часу, після чого й відповісти на всі питання. Це можна зробити, наприклад, виразивши з (2) , підставивши в закон збереження енергії, розділивши в нім змінні і проінтегрувавши. Або, зовсім стандартно з другого закону Ньютона без використання закону збереження енергії. Виразивши, наприклад, з першого рівняння системи (1), підставити в друге і отримати для рівняння гармонічних коливань. Приведемо розв'язок з урахуванням початкових умов:



де . Отримана система рівнянь представляє стислу вздовж осі абсцис (або розтягнуту вздовж осі ординат) циклоїду – траєкторію, яку описує точка на ободі колеса, що котиться без проковзування.

Розглянемо тепер випадок недостатньої довжини стрижня l < h, при якому кільце удариться об візок. Як зазначалося, це відбудеться за умови, коли . У разі пружного удару кільце відскочить з тією ж за величиною вертикальною швидкістю, і цикл руху повториться, у разі непружного – можливі два сценарії: 1) перед ударом вертикальна складова сили Лоренца перевищувала , тоді сила Лоренца підніме кільце після удару, але вже на меншу висоту і без зупинки всієї системи; 2) вертикальна складова сили Лоренца виявиться меншою . Тоді після удару кільце відносно візка вже рухатись не буде.

Проаналізуємо непружнє зіткнення детальніше. Перший сценарій відбудеться, якщо , тобто за довжини стержня (див. (2)). Швидкість візка в цей момент досягне свого максимального значення (див. (2)). Тоді після непружного зіткнення кільце почне підніматися вгору. Складова сили Лоренца, пов'язана з його вертикальною швидкістю, почне через стержень гальмувати візок, і, коли кільце опиниться у найвищій точці, швидкість візка досягне мінімального значення, після чого знову почне збільшуватись. Максимального значення швидкості візок знову набуде, коли кільце дотикнеться поверхні, після чого все повториться. Траєкторія буде також деформована циклоїда (відносно системи відліку, яка рухається в горизонтальному напрямку зі швидкістю ). Що стосується максимальної швидкості кільця, вона буде , якщо .

Нарешті, якщо довжина стержня , траєкторією кільця після непружнього зіткнення буде горизонтальна пряма. Максимальна швидкість візка . Швидкість кільця в момент удару .

Описуючи процес руху, варто згадати про небезпеку перевертання візка при малій відстані між парами коліс. Наприклад, можна провести оцінку, вважаючи, що центр мас візка зі стержнем знаходиться в точці закріплення стержня. Така оцінка не буде точною, але дає змогу уявити, якими мають бути небезпечні відстані між колесами.

Зазначимо, що за умови звичних зіткнень, коли втрачається частина кінетичної енергії, після кожного відскоку висота підйому кільця буде все меншою (щось на зразок стрибків кульки з пінг-понгу). З часом рух кільця стає подібним до одного з описаних раніше.

Схожі:

Отримуємо систему рівнянь iconЗавдання Числове рішення систем лінійних рівнянь Методом Гауса, та Методом Ітерацій. Постановка задачі
В своїй курсовій роботі я маю розробити програму яка б вирішувала систему лінійних рівнянь методом Гауса та Ітерацій
Отримуємо систему рівнянь iconЗавдання Числове рішення систем лінійних рівнянь Методом Гауса, та Методом Ітерацій. Постановка задачі
В своїй курсовій роботі я маю розробити програму яка б вирішувала систему лінійних рівнянь методом Гауса та Ітерацій
Отримуємо систему рівнянь iconРозв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера

Отримуємо систему рівнянь iconСекція 11. Машинобудування
Методологія ґрунтується на сумісному інтегруванні нелінійних диференціальних рівнянь електромагнітного стану двигунів і звичайних...
Отримуємо систему рівнянь iconРозв’язати систему лінійних рівнянь
За результатами n експериментів необхідно одержати лінійне наближення y=(X)яке апроксимує залежність у від X
Отримуємо систему рівнянь iconПрограма з курсу "Вища, математика" Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені
Розв'язок системи "n" рівнянь з "n" невідомими, правило Крамера. Розв'язок І дослідження систем рівнянь першої степені методом повного...
Отримуємо систему рівнянь iconДвох лінійних рівнянь має безліч розв’язків?
Яка система трьох лінійних рівнянь еквівалентна системі двох рівнянь з трьома невідомими?
Отримуємо систему рівнянь icon§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Встановивши основні властивості І способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі розв'язку...
Отримуємо систему рівнянь icon§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Встановивши основні властивості І способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі розв'язку...
Отримуємо систему рівнянь iconНауковий вісник державної академії статистики, обліку та аудиту
О.І. Кулинич. Параметри рівнянь регресії та рівнянь залежностей: змістовна інтерпретація і межі використання
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи