4. лінійні функціонали
Скачати 175.72 Kb.
|
|
4. ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛИ 4.1. НЕПЕРЕРВНІ ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛИ НА НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ Визначення 4.1. Нехай  – лінійний нормований простір. Будь-яке відображення   називається функціоналом;  є лінійним, якщо виконуються умови:
Розглянемо лінійні неперервні функціонали. Виявляється, що лінійний функціонал неперервний на всьому , якщо він неперервний хоча б в одній точці. За таку точку можна обрати нуль. Тоді одержуємо умову неперервності функціонала  : неперервний, якщо існує така константа  , що ,  . (4.1)Це означає також, що неперервний, якщо він обмежений на деякому обмеженому околі нуля.Поняття норми функціоналу можна ввести двома еквівалентними способами. 1-й спосіб:  ,де  задовольняє (4.1) для всіх .2-й спосіб:  . (4.2)Формулу (4.2) можна переписати у вигляді  .Очевидно також, що  .Приклад 4.1. Розглянемо простір  і нехай  – фіксований вектор. У цьому випадку всі лінійні функціонали мають вигляд .Тут усі лінійні функціонали будуть неперервними. Приклад 4.2. Розглянемо простір  . Нехай  – фіксовані послідовності з . Тоді є неперервним лінійним функціоналом. Приклад 4.3. Розглянемо простір  неперервних функцій  ,  . Звичайний функціонал  є неперервним лінійним функціоналом. Задамо функцію  . Тоді неперервним лінійним функціоналом буде інтеграл .Врешті-решт таким самим функціоналом буде інтеграл Стільєтса  для фіксованої  .Приклад 4.4. У просторі  неперервним лінійним функціоналом буде інтеграл ,де  – фіксована функція.^ Теорема 4.1. Нехай  – нормований простір, – його підпростір і  – обмежений лінійний функціонал на . Цей функціонал може бути продовжений до деякого лінійного функціоналу на всьому просторі без збільшення норми, тобто  , , .Ця теорема дає важливі наслідки, які покладено в основу багатьох результатів теорії оптимізації. Мова йде про теореми відокремлення. Наслідок 4.1. Нехай  і  опуклі підмножини з нормованого простору , причому  і  . Тоді існує неперервний лінійний функціонал , який розділяє їх, тобто .Наслідок 4.2. Нехай замкнена опукла підмножина нормованого простору і  . Тоді існує неперервний лінійний функціонал , який строго розділяє їх, тобто .Нагадаємо, що називається опуклою множиною, якщо для будь-яких  і чисел  ,  виконується .Наслідок 4.3. Для будь-якого власного підпростору банахового простору існує ненульовий неперервний лінійний функціонал , який дорівнює нулю на , тобто  , .Наслідок 4.4. Якщо  – елемент нормованого простору , то існує такий неперервний лінійний функціонал на , що  ,  .^ Нехай лінійний нормований простір. Позначимо через  множину всіх неперервних лінійних функціоналів на . Множина так само є лінійним нормованим простором. Дійсно, якщо  , то їх сумою  є функція така, що  . Якщо  і  , то  є функціоналом  . Норма в задається формулою (4.2).Неважко показати, що всі властивості норми додержуються. Простір називається спряженим з простором .Теорема 4.2. Спряжений простір завжди повний.Таким чином, не зважаючи на властивості , простір банахів. Крім того,  , де  – поповнення простору . Рівність мається на увазі з точністю до ізоморфізму.Приклад 4.5. Нехай –  -вимірний простір. Різні норми в індукують різні норми в  . Ось кілька прикладів пар відповідних одна одній норм в і :
Тут  – координати вектора  у базисі  ,  – координати вектора у базисі  Базиси в і мають зв’язок Такі базиси називаються двоїстими. Приклад 4.6. Розглянемо простір  усіх збіжних до нуля послідовностей  з нормою  . Спряженим до нього є простір  абсолютно всіх сумованих послідовностей  з нормою  .Приклад 4.7. Простір  ізоморфний простору  , складеному з усіх обмежених послідовностей  з нормою .Приклад 4.8. Нехай  . Розглянемо простір  всіх послідовностей з нормою Спряжений простір ізоморфний  , де  . Загальний вид лінійного функціоналу ,  ,  .Аналогічно, спряжений до  простір ізоморфний  , де . Загальний вид функціоналу ,  ,  .Теорема 4.2. Нехай  – дійсний гільбертів простір. Для будь-якого неперервного лінійного функціонала на існує єдиний елемент  такий, що ,  , (4.3)причому  . Навпаки, якщо , то формула (4.3) визначає такий неперервний лінійний функціонал , що . Таким чином, формула (4.3) визначає ізоморфізм  між просторами і  .Сформульована теорема має аналог і в комплексному випадку. Таким чином, у гільбертовому випадку спряжені простори повністю описано. Розглянемо другий спряжений простір  . Зазначимо, що кожен елемент  визначає деякий лінійний функціонал на . Дійсно, припустимо ,де  . Очевидно, що  є неперервним лінійним функціоналом на . Тому  . Якщо  , то простір називається рефлексивним.Простори з прикладів 4.5, 4.8 рефлексивні. Простір із прикладу 4.6 не є рефлексивними. ^ Розглянемо нормований лінійний простір . Сильною топологією називається топологія, визначена нормою  .Для визначення топології в лінійному просторі досить задати систему околів нуля. Будь-яка точка  буде мати таку саму систему зі зсувом на елемент  . Ці околи визначатимуть базу топології. Для сильної топології відкритими є множини виду ,  . (4.4)Збіжність у сильній топології називається сильною збіжністю або збіжністю за нормою, тобто  , якщо  .Нехай  – довільний скінченний набір неперервних лінійних функціоналів, . Розглянемо тільки ті околи нуля, що мають вид (4.5)Побудована за цими околами топологія називається слабкою. Множину виду (4.4) не можна представити у виді (4.5). Тому слабка топологія має менше відкритих множин, ніж сильна. Збіжність у слабкій топології називається слабкою збіжністю і її можна описати наступним чином. Послідовність  слабо збігається до  , якщо для будь-якого неперервного лінійного функціоналу виконується  .Очевидно, що зі слабкої збіжності не витікає сильна. Навпаки, з сильної збіжності витікає слабка. Слабка топологія є найслабшою, якщо в ній усі, визначені вище неперервні лінійні функціонали, залишаються неперервними. Теорема 4.3. Нехай  – опукла підмножина нормованого простору . Тоді замикання в слабкій топології співпадає із замиканням у сильній топології.Це означає, що якщо сильно замкнена й опукла, то вона й слабо замкнена. Опуклість тут грає вагому роль, оскільки сильно замкнених множин більше, ніж слабко замкнених.Теорема 4.4. Нехай – нормований простір. Якщо  слабко збігається до , то в знайдеться послідовність  така, що:
Теорема 4.5. Якщо слабко збігається в нормованому просторі , то існує таке  , що  ,  , тобто ця послідовність обмежена в сильній топології.Приклад 4.9. В слабка топологія співпадає з сильною. У нескінченновимірних просторах це не так.Приклад 4.10. Розглянемо простір , послідовність  і точку  . Послідовність слабко збігається до , якщо для будь-якого   . Не важко побачити, що послідовність  ,  ,  , … слабко збігається до нуля. З іншого боку, для будь-якого ,  , значить, послідовність  не збігається сильно до нуля.Розглянемо слабку топологію у спряженому просторі. Вона вводиться за допомогою системи околів нуля виду  . (4.6)Тут  ,  – будь-який скінченний набір точок із ,. Така топологія називається слабкою* топологією. Оскільки  , то в (4.6) використовуються не всі точки з  , отже слабка* топологія слабша слабкої для простору . Вони співпадатимуть у випадку рефлексивності простору , тобто коли .Слабка* збіжність функціоналів  до функціоналу  означає, що для кожного виконується  , тобто збіжність повинна бути поточковою.Теорема 4.6. Нехай – банахів простір, послідовність  функціоналів із слабко* збігається. Тоді існує таке , що  , , тобто послідовність обмежена в сильній топології простору .Далі будемо вважати, що – нормований сепарабельний простір.Теорема 4.7. Будь-яка обмежена послідовність неперервних лінійних функціоналів на містить слабко* збіжну послідовність.Теорема 4.8. Будь-яка обмежена множина  є передкомпактною в слабкій* топології.Теорема 4.9. Замкнений шар в компактний у слабкій* топології.^ 5.1. Визначення та приклади Визначення 5.1. Нехай і  – два лінійних простори. Лінійним оператором, що діє з в , називають відображення  , ,  , яке задовольняє умові ,  ;  .Сукупність  всіх тих , для яких відображення визначено, називають областю визначення оператора.Взагалі не передбачається, що  , однак, як правило, вважають, що – лінійна многостатність, тобто ,  ,  .Далі будемо вважати, що , – нормовані простори, хоча деякі результати переносяться на топологічні простори.Визначення 5.2. Оператор називається неперервним, якщо для будь-якого  існує  таке, що з нерівності  витікає  .Множина таких, що  , називається ядром оператора і позначається .Множина всіх , для яких при деякому  , називається образом лінійного оператора і позначається  . Ядро і образ є лінійними многостатностями. Якщо , то  – підпростір, тобто замкнений.Приклад 5.1. Оператор  , заданий формулою  для всіх , називається тотожним або одиничним оператором.Приклад 5.2. Оператор  , заданий формулою  для всіх , називається нульовим оператором.Очевидно, що оператори та є лінійними і неперервними.Приклад 5.3. Нехай  ,  ;  – базис в  ,  – базис в  . Якщо  , то  . В силу лінійності маємо  . Таким чином, оператор задано, якщо відомо, у що він переводить вектори . Розкладемо вектори  на базиси . Маємо .Звідси виходить, що будь-який оператор задається матрицею  ,  , . Крім того, будь-який лінійний оператор у скінченновимірному просторі є неперервним.Приклад 5.4. Розглянемо гільбертів простір і в ньому підмножину  . Скористаємося теоремою 3.4. Тоді будь-який елемент  представимо у вигляді ,  ,  .Припустимо, що  . Оператор  називається оператором ортогонального проектування. Він лінійний і неперервний.Приклад 5.5. Розглянемо у просторі оператор, визначений за правилом: кожній функції  ставиться у відповідність функція   ,де  – неперервна функція. Цей оператор лінійний і неперервний.Приклад 5.6. У тому самому просторі розглянемо оператор  ,де  – фіксована неперервна функція. Цей оператор також лінійний і неперервний.Приклад 5.7. Розглянемо у просторі функцій оператор .Цей оператор визначений не на всьому просторі, а тільки на лінійній многостатності диференційованих функцій. Таким чином, – множина диференційованих функцій. Оператор  – лінійний і неперервний. Дійсно, послідовність  збігається у метриці до нуля. З іншого боку  до нуля не збігається.Приклад 5.8. Розглянемо простір  неперервно диференційованих функцій з нормою .Оператор  , визначений у прикладі 5.7, переводить в . У цьому випадку він лінійний і неперервний.Приклад 5.9. Для того щоб оператор можна було використовувати кілька разів, розглядають простір  всіх нескінченно диференційованих функцій з нормою .Тоді переводить простір  сам у себе і є неперервним.^ Визначення 5.3. Лінійний оператор, діючий із в , називається обмеженим, якщо він переводить обмежену множину знову в обмежену і визначений на всьому .Теорема 5.1. Лінійний оператор, визначений на всьому , неперервний тоді й тільки тоді, коли він обмежений.В силу лінійності оператора обмеженість означає існування такого , що для всіх виконується . (5.1)Найменше з , що задовольняє нерівність (5.1), називається нормою оператора і позначається  .Теорема 5.2. Для будь-якого обмеженого оператора  . (5.2)Оператори можна додавати і перемножати. Нехай і – два лінійні оператори, що діють із в . Сума і множення на число визначаються:
Крім того, якщо і неперервні, то  і  також неперервні оператори, причому .Таким чином, множина всіх лінійних обмежених операторів, діючих із в , утворює лінійний нормований (з нормою (5.2)) простір, який позначається  .Теорема 5.3. Нехай простір банахів, тоді й також банахів.Розглянемо тепер добуток операторів. Нехай діє з в , а оператор діє з в  . Добутком  називають оператор , який ставить у відповідність елементу елемент  . Область визначення  оператора  складається з тих самих таких, що  . Оператор лінійний, якщо і лінійні, неперервний (обмежений), якщо і неперервні (обмежені). При цьому справедлива оцінка .^ Визначення 5.4. Оператор називається оборотним, якщо для будь-якого  рівняння (5.3)має єдиний розв’язок. Якщо оборотний, то кожному можна поставити у відповідність єдиний елемент , який є розв’язком рівняння (5.3). Оператор, який здійснює цю відповідність, називається оберненим до і позначається  .Теорема 5.4. Оператор , обернений до лінійного оператора , також лінійний.Теорема 5.5. (Банаха про обернений оператор). Нехай – лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає банахів простір на банахів простір . Тоді обернений оператор обмежений.Наслідок 5.1. Лінійне неперервне відображення банахового простору на весь банахів простір є відкритим, тобто воно переводить відкриті множини у відкриті.Теорема 5.6. Нехай і – банахові простори, оператор  оборотний і  такий, що  . Тоді оператор  існує і є обмеженим.Теорема 5.7. Нехай – банахів простір, – тотожний оператор (приклад 5.1) в , а – обмежений лінійний оператор, який відображає в себе, такий, що  . Тоді оператор  існує, обмежений і його можна представити у вигляді .^ Розглянемо неперервний лінійний оператор , який відображає в . Нехай  , тобто лінійний неперервний функціонал, який діє на . Застосуємо  до елемента . Тоді  є лінійним неперервним функціоналом на . Позначимо його через . Таким чином  . Отже виходить, що кожному  поставлено у відповідність одиничний функціонал , тобто отримано деякий оператор, який відображає  і  . Цей оператор називається спряженим до оператора і позначається  .Позначимо значення функціоналу на елементі символом  , а значення  на  –  . Тоді одержимо  або, оскільки  , маємо . (5.4)У випадку гільбертового простору будь-який функціонал має вид (теорема 4.2)), де за  мають на увазі скалярний добуток. Тому рівняння (5.4) для гільбертового простору може слугувати визначаючим для оператора .Розглянемо скінченновимірний випадок із прикладу 5.3, де описується матрицею, транспонованою до матриці  .Справедливі наступні властивості:
Припустимо, що  і є гільбертовим простором, тоді
Теорема 5.8. Нехай і – банахові простори. Тоді .Лема 5.1. (про анулятор ядра оператора). Нехай – лінійний неперервний оператор, який відображає на , і – банахові простори. Тоді .Нехай є гільбертовим простором. Обмежений оператор , який діє в , називається самоспряженим, якщо , тобто ,  .^ Нагадаємо це поняття для скінченновимірного випадку. Нехай – лінійний оператор у -вимірному просторі або  . Число  із  або відповідно із називається власним значенням (числом) оператора , якщо рівняння  має ненульовий розв’язок. Сукупність усіх власних значень називається спектром оператора , а решта всіх значень – регулярними. Іншими словами, є регулярним значенням, якщо оператор  оборотний. При цьому оператор  визначений на всьому просторі або та, як і будь-який оператор у скінченновимірному просторі, обмежений. Отже, у скінченновимірному випадку існує дві можливості:
У нескінченновимірному просторі існує ще третя можливість, а саме:
Введемо таку термінологію. Число називається регулярним для оператора , який діє в дійсному чи комплексному банаховому просторі , якщо оператор  визначений на всьому , а, отже (теорема Банаха), обмежений. Оператор  називається резольвентою. Сукупність решти значень називається спектром. Спектру належать всі власні значення оператора , оскільки якщо  при деякому  , то не існує. Сукупність таких називається точковим спектром. Частина спектра, що залишилась, тобто ті , для яких існує, але визначений не на всьому , називається неперервним спектром.Якщо точка регулярна, тобто оператор визначений на всьому і обмежений, то при достатньо малому  оператор  також визначений на всьому і обмежений (теорема 5.6), тобто точка  також є регулярною. Таким чином, регулярні точки утворюють відкриту множину. Отже, виходить, що спектр як доповнення до цієї множини є замкнутою множиною.Теорема 5.9. Якщо  , то – регулярна точка.Теорему 5.9 можна уточнити. Позначимо  .Виявляється, що спектр оператора повністю лежить у крузі радіуса  з центром в нульовій точці. Величина називається спектральним радіусом оператора .Приклад 5.10. У просторі розглянемо оператор , визначений формулою .Тоді  .Оператор оборотний при будь-якому , оскільки з рівняння  випливає, що  . Однак, при  обернений оператор, заданий формулою ,визначений не на всьому і не обмежений. Визначений він тільки на тих  , які мають вид  , де  . Таким чином, спектр оператора А неперервний і співпадає з відрізком  .Рекомендована література
|
, 
;
, 
.
, 
;
, 
, 
;
, 
;
, 
.
є опуклою комбінацією скінченного числа векторів 
,
.
;
.
.
має ненульовий розв’язок, тобто Схожі:
 | Формат опису модуля Еом графоподібних структур. Лінійні структури даних. Стеки, черги, деки. Масиви. Множини I кортежі. Зберігання множин І масивів.... | | Питання до колоквіуму з дисципліни Лінійні операції над матрицями: транспонування, додавання, віднімання, множення на число |
| Питання до іспиту по курсу «Менеджмент персоналу» Хто повинний управляти персоналом: лінійні керівники або фахівці з людських ресурсів? | | Цілочисельне програмування Якщо при цьому цільова функція та функції, які входять в обумовлення, лінійні, тоді задача являє собою лінійно цілочисленою |
| Тип модуля: обов'язковий Семестр: VI обсяг модуля Теорія електричних І магнітних кіл. Лінійні та нелінійні кола, перехідні процеси | | 7. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку Яке рівняння називається характеристичним для лінійного однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами? |
| 1. Лінійні електричні кола постійного струму Наведена робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни „Теоретичні основи електротехніки”,... | | Доцента кафедри електротехніки І світлотехніки фсу Методичний посібник з курсу «Електротехніка та основи електроніки». Розділ «Лінійні кола однофазного синусоїдного струму». Для студентів... |
| Задача для рівняння (1) полягає в знаходженні функції, котра всередині відрізка [a,b] задовольняє рівняння (1), а на його кінцях лінійні крайові умови Наближене розв’язування лінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь | | Тема 6 трифазні кола електричного струму Ерс, симетрична трифазна система ерс, пряма (зворотна) послідовність фаз, нейтраль, фазні ерс, лінійні ерс, з'єднання «зіркою» («трикутником»),... |