Міжнародний соломонів університет icon

Міжнародний соломонів університет




НазваМіжнародний соломонів університет
Сторінка1/5
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5

МІЖНАРОДНИЙ СОЛОМОНІВ УНІВЕРСИТЕТ


ФАКУЛЬТЕТ КОМП’ЮТЕРНИХ НАУК




Серія
«МАГІСТЕРІУМ»


В. В. ОСТАПЕНКО,
О. В. ОСТАПЕНКО, Г. С. ФІНІН


ВСТУП
ДО ФУНкЦІОНАЛЬНОГО
АНАЛІЗУ


навчальний посібник























КИЇВ 2003











^






Редакційна рада:

С. Д. Ейдельман, д-р фіз.-мат. наук, проф.;

О. А. Павлов, д-р техн. наук, проф.;

^

С. Д. Погорілий, д-р техн. наук, проф.;

В. Н. Редько, академік НАНУ, д-р фіз.-мат. наук, проф.;

Г. С. Фінін, д-р фіз.-мат. наук;

Г. О. Цейтлін, д-р техн. наук, проф.;



^

Рецензент

І. В. Протасов, д-р фіз.-мат. наук, проф.;



Рекомендовано Вченою радою

Міжнародного Соломонового університету

(протокол № 5 от 17 червня 2003 р.)



^

Друкується
в авторській редакції



Остапенко В. В.

Вступ до функціонального аналізу: Навч. посібн. / Остапенко В. В., Оста-пенко О. В., Фінін Г. С.– К.: МСУ, 2003.– 51 c.– Сер. «Магістеріум».


^

Видання містить стисле викладення сучасного курсу функціонального аналізу.

Для студентів, що спеціалізуються у галузі прикладної математики та комп’ютер-них наук.


© Міжнародний

Соломонів

університет, 2003



Вступ





Функціональний аналіз – прояв корінного повороту в математиці, здійсненого в наш час, який за своїм принциповим значенням можна порівняти з тим, що стався в XVII с., коли в математиці з'явилася змінна величина і виникли диференціальне та інтегральне числення.

Цей поворот виразився у зміні підходу до дослідження різних проблем математичного аналізу. Розгляд окремих функцій і співвідношень, які їх пов'язують, замінено сукупним дослідженням цих об'єктів, тобто вивченням функціональних просторів та їх перетворень. Так, диференціальний оператор чи інтегральне перетворення розглядається не в застосуванні до окремої функції, а до цілого класу функцій, вивчається результат перетворення цього класу функцій, неперервність операцій у тому чи іншому розумінні та інші питання.

Важливою особливістю функціонального аналізу є також загальна абстрактна форма викладу, яка дає змогу об'єднувати та одночасно дослі-джувати різні на перший погляд питання. Так, наприклад, вивчення функціо-нального рівняння , де , – об'єкти з більш чи менш довільних областей, дозволяє об'єднати розгляд різних проблем, таких як розв'язання диференціальних чи інтегральних рівнянь, граничних задач, нескінченних систем алгебраїчних рівнянь і багатьох інших задач.

Перехід від окремих функції до простору функцій, хоча його іноді формально важко визначити, так само принципово важливий як свого часу перехід від алгебраїчних рівнянь і співвідношень до змінної величини та функціональної залежності.

Функціональний аналіз тісно пов'язаний з такими дисциплінами як мате-матичний аналіз і лінійна алгебра.

^



Розділ 1
МЕТРИЧНІ ПРОСТОРИ





    1. Визначення


Однією з найважливіших операцій математичного аналізу є граничний перехід. Суть її полягає в тому, що на числовій прямій визначено відстань від однієї точки до другої. Багато фундаментальних результатів математичного аналізу базуються не на алгебраїчних властивостях дійсних чисел, а лише на понятті відстані. Узагальнюючи це поняття переходимо до поняття метрич-ного простору, яке є одним з важливих понять сучасної математики.

Визначення 1.1. Метричним простором називається пара , яка складається з деякої множини елементів або точок і відстані, тобто однозначної невід'ємної функції , визначеної для будь-яких двох еле-ментів , і яка задовольняє наступним трьом аксіомам:

1) тоді й тільки тоді, коли ;

2) (аксіома симетрії);

3) (аксіома трикутника).

Як правило, метричний простір позначається так само як і множина .


1.2. Приклади


Приклад 1.1. Для довільного припустимо



Такий простірможна назвати простором ізольованих точок.

Приклад 1.2. Множина дійсних чисел з відстанню утворює метричний простір.

Приклад 1.3. Множина -вимірних векторів з від-станню

(1.1)

називається -вимірним арифметичним евклідовим простором . Справед-ливість аксіом 1) і 2) для очевидна. Покажемо, що виконується умова 3). Нехай , , – деякі точки з . Тоді з (1.1) витікає, що аксіома 3) має вигляд


. (1.2)


Припустимо , , тоді і нерівність (1.2) матиме вигляд


. (1.3)


Для доведення (1.3) використовують нерівність Коші-Буняковського


. (1.4)


Нерівність (1.4) безпосередньо витікає з тотожності


,


яка перевіряється безпосередньо.

З урахуванням нерівності (1.4) одержуємо:


.


що доводить справедливість нерівності (1.3).


Приклад 1.4. Розглянемо ту саму множину векторів , але
з відстанню

.

Такий метричний простір позначимо .


Приклад 1.5. Розглянемо ту саму множину, що й у прикладах 1.3, 1.4, але з відстанню . Такий метричний простір позначимо .

Очевидно, що простір є в деякому розумінні проміжним простором між просторами і . Виявляється, що існує ціла сім’я таких проміжних просторів.


Приклад 1.6. Розглянемо ту саму множину, що й у прикладах 1.3–1.5. За відстань оберемо функцію

,

де . Такий простір позначимо .

Із визначення витікає, що . З іншого боку можна показати, що

.


Приклади 1.4–1.6 показують, що в просторі векторів можна ввести багато різних метрик, а не тільки одну евклідову.

В прикладах 1.2–1.6 наведено досить добре вивчені скінченномірні прос-тори. Перейдемо до розгляду більш складних нескінченномірних просторів.


Приклад 1.7. Через позначається простір всіх послідовностей дійсних чисел таких, що

,

а відстань визначається формулою

.

Із очевидної нерівності витікає, що така функція визначена для всіх . Аксіоми 1), 2) тривіальні, а аксіома 3) доводиться граничним переходом із формули (1.3).


Приклад 1.8. Узагальнимо приклад 1.6. Через позначається множина послідовностей таких, що

,

а відстань визначається за формулою

.

Тут .

Зазначимо, що якщо раніше в прикладах 1.3–1.6 множини елементів у метричних просторах співпадали, то в прикладі 1.8 це не так, тобто , якщо . Наприклад, послідовність , але .


Приклад 1.9. Розглянемо множину всіх обмежених послідовностей і припустимо

.

Такий простір позначається через або .

Перейдемо до розгляду просторів функцій.

Приклад 1.10. Через позначається простір всіх неперервних функцій, визначених на інтервалі з відстанню


.


Такий простір називають простором з рівномірною метрикою.


Приклад 1.11. Через позначається простір всіх неперервних диференційованих функцій, визначених на з відстанню


.

Приклад 1.12. Розглянемо множину всіх неперервних функцій, визна-чених на , з відстанню

. (1.5)


Такий простір називається простором з квадратичною метрикою. Однак, як буде видно в подальшому, цей простір не володіє багатьма властивостями. Тому розглянемо ширші простори.


Приклад 1.13. Через позначимо множину всіх вимірних функцій , таких, що



з відстанню, заданою формулою (1.5).

Більш узагальнений випадок наступний.


Приклад 1.14. Через позначимо множину всіх вимірних функ-цій таких, що



з відстанню

,

де . Відзначимо, що , якщо .


^ 1.3. Неперервні відображення
метричних просторів



Нехай і – два метричних простори з метриками і ; – відоб-раження в .


Визначення 1.2. Відображення називається неперервним у точці , якщо для будь-якого існує таке , що для всіх таких, що виконується нерівність .

Якщо неперервна в усіх точках , то кажуть, що непе-рервна на .

Якщо і – числові множини, наприклад, , то маємо зви-чайне визначення неперервності з курсу математичного аналізу.

Якщо відображення : взаємно однозначне, то існує обернене відображення простору на простір . Якщо і непе-рервні, то називається гомеоморфізмом або гомеоморфним відображенням простору на простір .

Якщо існує гомеоморфізм :, то кажуть, що простори і гомеоморфні.


Приклад 1.15. Числова пряма гомеоморфна інтервалу . Гомеоморфізм визначається формулою

.


Важливим частинним випадком гомеоморфізму є такий, що зберігає метрику. Кажуть, що бієкція між метричними просторами і є ізомет-рією, якщо




для всіх . При цьому простори і називаються ізометричними.

Слід зауважити, що у прикладі 1.15 простори неізометричні між собою.


1.4. Збіжність


Введемо деякі поняття.

Відкритим шаром в метричному просторі з відстанню будемо називати множину всіх точок таких, що


.


Точка називається центром шару, число – його радіусом.

Замкненим шаром назвемо множину точок таких, що


.


Відкритий шар радіуса з центром в будемо називати також
-околом точки і позначати .

Множина називається обмеженою, якщо вона міститься в де-якому шарі.

Точка називається точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з . Сукупність усіх точок дотику множини називається замиканням множини і позначається .


Теорема 1.1. Операція замикання має такі властивості:

1); 2) ;

3) якщо , то ; 4) .

Точка називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить нескінченну множину точок із .


Приклад 1.16. Нехай множина раціональних чисел відрізка . Тоді і будь-яка точка цього відрізка є граничною для .

Точка називається ізольованою точкою цієї множини, якщо існує такий окіл , який не містить інших точок із крім точки .

Виявляється, що будь-яка точка дотику множини є або граничною, або ізольованою точкою цієї множини.


Визначення 1.3. Послідовність , збігається до точки , якщо для будь-якого існує число таке, що для всіх вико-нується . Точка називається границею послідовності . Використовують такі позначення


, , .


Очевидно, що тоді й тільки тоді, коли

.

Теорема 1.2. Для того, щоб точка була точкою дотику множини , необхідно й достатньо, щоб існувала послідовність точок з , збіжних до точки .

Множина називається щільною в , якщо . Множина називається скрізь щільною в , якщо .

Простори, в яких є скрізь щільна зліченна множина, називаються сепа-рабельними.


Приклад 1.17. У просторі скрізь щільною є зліченна множина раціональних чисел. У просторах , скрізь щільною є мно-жина векторів із раціональними координатами. У просторі скрізь щільною є множина многочленів з раціональними коефіцієнтами. У просторі скрізь щільною є множина послідовностей з такими раціональними членами, що для кожної послідовності число ненульових членів є скінченним. Всі ці простори сепарабельні. Простір не є сепарабельним.

Множина називається замкненою, якщо .


Приклад 1.18. Будь-який відрізок є замкненою множиною. Замк-нений шар є замкненою множиною, зокрема у просторі замкненою є множина всіх функцій таких, що для всіх . Будь-яка множина, яка складається зі скінченного числа точок є замкненою.


Теорема 1.3. Перетин будь-якого числа і об’єднання скінченного числа замкнених множин є замкненою множиною.

Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо існує такий окіл , що . Множина, що складається з внутрішніх точок, називається відкритою. Для будь-якої множини множина всіх її внутрішніх точок називається внутрішністю і позначається . Очевидно, що множина є відкритою тоді й тільки тоді, коли .


Приклад 1.19. Інтервал – відкрита множина. Відкритий шар – відкрита множина. Якщо – неперервні функції на , то множина всіх таких, що , , є відкри-тою в просторі .


Теорема 1.4. Множина є відкритою тоді й тільки тоді, коли її доповнення є замкненим.


Наслідок 1.1. Об’єднання будь-якого числа і перетин скінченного числа відкритих множин є відкритою множиною.

Весь простір і порожня множина  є відкритими і замкненими мно-жинами.


^ 1.5. Повні метричні простори


У математичному аналізі важливу роль відіграє повнота числової прямої, тобто той факт, що будь-яка фундаментальна послідовність має границю. Таким чином, простір – найпростіший приклад повного простору. Перенесемо це поняття на довільні метричні простори.


Послідовність називається фундаментальною, якщо вона задо-вольняє критерію Коші, тобто, якщо для будь-якого існує таке число , що для всіх , виконується нерівність





Із аксіоми трикутника випливає, що будь-яка збіжна послідовність є фундаментальною.


Визначення 1.4. Якщо в метричному просторі будь-яка фундамент-тальна послідовність збігається до деякого елемента , то нази-вається повним простором.

У прикладах 1.2–1.11 і 1.13–1.14 простори є повними; у прикладі 1.12 – простір неповний.

Однак виявляється, що неповний простір завжди можна поповнити.


Визначення 1.5. Нехай – метричний простір. Повний метричний простір називається поповненням простору , якщо:

1) ;

2) скрізь щільний в , тобто .

Тут означає замикання в просторі.


Теорема 1.5. Кожен метричний простір має поповнення, і це попов-нення є єдиним з точністю до ізометрії, яка залишає нерухомими точки з .


Приклад 1.20. Простір є поповненням простору всіх раціо-нальних чисел. Простір є поповненням простору всіх векторів з раціо-нальними координатами.


^ 1.6. Принцип стискуючих відображень


Ряд питань, пов’язаних із існуванням і єдиністю розв’язків рівнянь того чи іншого типу (наприклад, диференціальних), можна сформулювати як існування нерухомої точки при деякому відображенні існуючого метричного простору самого в себе. Серед різних критеріїв існування і єдиності нерухомої точки одним із найпростіших і одночасно найважливіших є принцип стиску-ючих відображень.

Нехай – метричний простір із відстанню . Відображення називається стискуючим або стисканням, якщо існує таке додатне число , що для будь-яких виконується нерівність


(1.6)


Очевидно, що будь-яке стискуюче відображення неперервне. Дійсно, якщо , то згідно нерівності (1.6) .

Точка називається нерухомою точкою відображення , якщо , тобто нерухома точка є розв’язком рівняння .


^ Теорема 1.6. (Принцип стискуючих відображень). Будь-яке стискуюче відображення , яке діє в повному метричному просторі , має одну й тільки одну нерухому точку.

Доведення. Нехай – довільна точка. Припустимо, що , , …, . Послідовність є фундаменталь-ною. Дійсно, взявши для однозначності , маємо





Оскільки , то при досить великих значеннях ця величина є як завгодно малою. В силу повноти послідовність має границю. При-пустимо, що . В силу неперервності маємо

.


Таким чином нерухома точка існує. Доведемо її єдиність.

Якщо, , то з нерівності (1.6) витікає


.


Оскільки , то звідси випливає, що , тобто .

Застосуємо теорему 1.6 для доведення теореми існування і єдиності роз-в’язку диференціального рівняння.

Розглянемо диференціальне рівняння


(1.7)


з початковою умовою . Нехай визначена і неперервна в деякій області , яка містить точку і задовольняє в цій області умові Ліпшиця по y:


.


Нехай таке число, що . Покажемо, що на відрізку існує й до того ж тільки один розв’язок рівняння (1.7).

Рівняння (1.7) разом з початковими умовами є еквівалентним інтеграль-ному рівнянню

. (1.8)

В силу неперервності маємо оцінку в деякій області , яка містить точку . Підберемо так, щоб , якщо і .

Позначимо через простір неперервних функцій , визначених на і таких, що з метрикою


.


Простір – повний, оскільки він є замкненою підмножиною простору .

Розглянемо відображення , визначене формулою

,

де . Покажемо, що . Дійсно, для будь-якого

,

тобто . Крім того

.


Оскільки , то – оператор стискання. Звідси витікає існування й єдиність такого , що , тобто виконується рівняння (1.8).


  1   2   3   4   5

Схожі:

Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет кафедра мов павленко І. М. Ділова англійська мова для студентів четвертих курсів Київ мсу 2002
Ділова англійська мова. Навчальний посібник. Упорядник І. М. Павленко. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2002. – 182 с
Міжнародний соломонів університет iconБіологічний англійський. Навчальний посібник. Упорядник Н. О. Арістова. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2000 р. Упорядник арістова н. О. Затверджено на засіданні кафедри мов 2002 протокол № Друкується за редакцією упорядника
Біологічний англійський. Навчальний посібник. Упорядник Н. О. Арістова. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2000 р
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів університет
Місце І значення навчальної дисципліни
Міжнародний соломонів університет iconМіністерство освіти І науки України Міжнародний Соломонів університет Факультет соціології Затверджено Ректор мсу проф. Розенфельд О.І. “ ” 2001 р. Звіт по результатам самоаналіза роботи факультету соціології в 1998/99 та 1999/2000 роках Київ-2000
Міністерство освіти І науки України Міжнародний Соломонів університет Факультет соціології Затверджено Ректор мсу проф. Розенфельд...
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет
У світі існують різні політичні системи – парламентського та президентського типів президентсько-парламентські та інші
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет програма курсу
Вступ. Геоботаніка як система знань про рослинний покрив. Предмет, об'єкт І завдання геоботаніки
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет програма курсу
Вступ. Геоботаніка як система знань про рослинний покрив. Предмет, об'єкт І завдання геоботаніки
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів Університет Кафедра історії
Вступ: джерела, періодизація, зміст курсу; внесок єврейського народу в історію світової цивілізації та культури
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів університет Кафедра фінансів
Навчально-методичний комплекс з курсу «Глобальні ринки» / Уклад. О.І. Розенфельд, В. А. Лизогуб, В. А. Рихлов. К.: Мсу, 2007. – 30...
Міжнародний соломонів університет iconInna pavlenko business english
Ділова англійська мова. Навчальний посібник. Упорядник І. М. Павленко. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2002. – 182 с
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет
Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АВ означает АВ и ВА
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи