3. Матрицы и определители icon

3. Матрицы и определители




Скачати 145.95 Kb.
Назва3. Матрицы и определители
Дата05.09.2012
Розмір145.95 Kb.
ТипДокументи

3. Матрицы и определители
















Матрицей порядка (размерности) mn называется прямоугольная таблица, каждый элемент которой снабжен двумя индексами: первый указывает номер строки в матрице, а второй – номер столбца



Пишут также A = (aij) (1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n) ; или (aij)mn ; указание размера может быть опущено.

Элементами матриц обычно являются вещественные числа, но возможны и матрицы с элементами иной природы, в частности, в качестве элементов матрицы могут выступать другие матрицы.

При фиксированном первом индексе i набор элементов (ai1, ai2,. ai3…ain) называется i-ой строкой (например, 3-я строка имеет вид (a31, a32, a32,…a3n) ), соответственно, при фиксированном втором индексе j набор называется j–м столбцом. При n = m (число строк равно числу столбцов) матрица называется квадратной “порядка n”.

Совокупность элементов квадратной матрицы {aii} с одинаковым номером строки и столбца называется главной диагональю. Если у квадратной матрицы все элементы равны нулю, кроме элементов aii, стоящих на главной диагонали, матрица называется диагональной; если равны нулю все элементы, ниже главной диагонали (kik=0), матрица называется верхней треугольной.

Если все диагональные элементы диагональной матрицы равны единице, матрица называется единичной и обозначается E .



Транспонированием (транспозицией) матрицы называется замена в матрице строк столбцами и наоборот; соответственно, у равных элементов прямой и транспонированной матриц меняются местами индексы.1 При записи операция транспозиции обозначается штрихом сверху (aik)′=(aki).
^

3.1 Действия над матрицами


Для матриц одного порядка определены линейные операции сложения и умножения на число, которые выполняются покомпонентно, т.е.

Cmn = Amn + Bmncij = aij + bij (i,j: 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n)

Dmn = Amn cij = aij (i,j: 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n)

Легко видеть, что совокупность матриц одного порядка образует линейное пространство размерности mn , нулем в этом пространстве является матрица, все элементы которой равны нулю. Пространство матриц порядка m´1 очевидно совпадает с введенным ранее пространством столбцов высоты m.

Для матриц кроме умножения на число можно ввести операцию умножения друг на друга; матрицы можно перемножать лишь в том случае, когда число столбцов левого сомножителя равно числу строк правого сомножителя.

Простейшим случаем матричного умножения является произведение матрицы-строки (aij)1n на матрицу столбец (bij)n1 , результатом такого умножения будет матрица порядка 11 , т.е. фактически число

(c)=(aij)1n(bij)n1 = a11b11+ a12b21+… a1nbn1 = (1)

В общем случае результатом умножения матрицы Amn на матрицу Bnr будет матрица C порядка mr , причем ее элементы вычисляются аналогично формуле (1); при этом индекс строки (первый) наследуется от левого сомножителя, а индекс столбца (второй) – от правого сомножителя

cij = (2)

Всего таких сумм для определения всех элементов нужно вычислить mr. Как видно из самого определения, произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, поскольку произведение AmnBnr существует, а BnrAmn – нет2. В случае квадратных матриц одного порядка умножение выполнимо всегда, но не всегда коммутативно.

Единичная матрица коммутирует с любой матрицей соответствующего порядка и AE = EA = А A порядка n (проверьте); таким образом, единичная матрица по отношению к умножению матриц аналогична обычной единице.

Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.

A(B+C) = AB + AC

всегда, когда операции выполнимы.

Важный частный случай: Amn an = bm , т.е. умножение матрицы mn на n–вектор дает m–вектор. Координаты результата bi определяются выражением: bi =

3.2 Определители


Определителем называется числовая функция квадратной матрицы; процедура вычисления определителей достаточно сложна, и чтобы ее описать нам понадобятся некоторые новые понятия. Определитель матрицы A = (aij) обозначается aij или det A 3.

Определитель матрицы первого порядка равен ее единственному элементу. Определитель матрицы второго порядка (обычно говорят короче – определитель второго порядка) равен по определению:

det^ A =

Определители более высокого порядка вычисляются с помощью рекуррентной процедуры, т.е. процедуры, которая позволяет свести вычисление определителя порядка n к вычислению n определителей порядка n–1. Если такая процедура построена, то поскольку определитель второго порядка вычислить можно, значит можно вычислить определитель третьего порядка, а значит можно вычислить определитель четвертого порядка и т.д. Для описания этой рекуррентной процедуры нам понадобятся некоторые определения.

Минором Mij матрицы A называется определитель, который получается из A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Пусть

Тогда

В миноре M12 строк и столбцов по n–1, поскольку из матрицы ^ A вычеркнуты первая строка и второй столбец (проверьте).

Алгебраическим дополнением Aij матрицы A называется соответствующий4 минор Mij, умноженный на (-1) . Таким образом, если сумма индексов число четное, то дополнение равно соответствующему минору, а если нечетное – то дополнение отличается от минора знаком. Aij = (-1)(i+j)(i+j) Mij.

Определение Определитель порядка n равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения этих элементов5

detA = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + … +ain Ain = (3)

Здесь i – индекс строки, по которой вычисляется определитель, он одинаков у всех элементов, входящих в сумму, и их алгебраических дополнений.

Представление определителя в виде формулы (3) называется разложением определителя по i-ой строке.

Разложение определителя по строке сводит вычисление данного определителя к вычислению миноров – т.е. определителей меньшего порядка, и, следовательно, представляет собой искомую рекуррентную процедуру. Поскольку для определителей второго порядка у нас формула есть, и есть способ свести вычисление определителя порядка n к вычислению определителей порядка n-1, то тем самым задача вычисления определителя любого порядка решена.

Отметим, что алгебраические дополнения и миноры некоторой строки не содержат элементов самой этой строки, поскольку получаются из исходной матрицы вычеркиванием соответствующей строки. Следовательно, в формуле разложения по i-ой строке (3) ни одно из дополнений Aij не содержит, например, ai2. Значит, Ai2 является коэффициентом при ai2 в определителе матрицы A. Вообще, дополнение Aij является коэффициентом при элементе aij в определителе detA, т.е., если сгруппировать все слагаемые, которые содержат множитель aij, и вынести его за скобки, в скобках останется соответствующее дополнение Aij .
^

3.3 Свойства определителей


1. Определитель не меняется при транспонировании (при “рокировке” столбцов и строк с одинаковыми номерами). Поэтому любые утверждения, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов. В частности, разложение определителя можно проводить не только по строке, но и по столбцу.

2. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя 6



Следовательно, если определитель содержит строку\столбец из одних нулей, то он равен нулю.

3. Верхний\нижний треугольный определитель (в т.ч. - диагональный) равен произведению элементов главной диагонали.7

4. Если в определителе поменять местами две строки\столбца, определитель сменит знак

5. Если у определителя две одинаковых строки\столбца, то он равен нулю. Это следствие свойства 4, поскольку при “рокировке” одинаковых строк определитель должен с одной стороны – поменять знак, а с другой стороны – не измениться.

6. Если к элементам j–го столбца\строки определителя добавить элементы некоторого произвольного столбца\строки bn, то полученный определитель равен сумме двух определителей – исходного и такого, у которого на месте j-го столбца\строки стоит столбец\строка bn



6. Если к элементам любой строки\столбца прибавить произвольную ли­нейную комбинацию других строк\столбцов, то определитель не изменится.

7. Определитель, у которого одна из строк\столбцов есть линейная комбинация остальных строк\столбцов, равен нулю. Справедливо и обратное утверждение – если определитель равен нулю, то его строки и его столбцы линейно зависимы.

8. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей det(AB) = det(BA) = detA detB

9. Если в формуле (3) разложения определителя умножать элементы i–ой строки на дополнения любой другой строки определителя, получим 0: 8

ai1 Ar1 + ai2 Ar2 + ai3 Ar3 + … +ain Arn = = 0 ( r  i, 1 ≤ r ≤ n)

3.4 Примеры


1. Вычислить определитель матрицы

Используя разложение определителя по элементам первой строки, получим:



Перед вторым слагаемым стоит знак “–”, т.к. сумма индексов минора нечетна: 1+2=3. То, что определитель оказался равным нулю, свидетельствует о линейной зависимости его рядов; действительно, легко заметить, что третья строка равна удвоенной второй строке минус первая строка.

2. . Вычислить определитель матрицы

В данной ситуации естественно использовать разложение определителя по элементам второго столбца:


^

3.5 Обратная матрица


Для квадратных матриц можно ввести понятие обратной матрицы – матрица называется обратной по отношению к матрице A и обозначается A если AA-1-1 = A-1A = E . Свойство “быть обратной матрицей” взаимно, и взаимообратные матрицы всегда коммутируют.

Теорема 5. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. В этом случае обратная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений, умноженной на число, обратное определителю (напомним, что умножить матрицу на число значит умножить на это число каждый элемент матрицы):

(4) 9

Определители взаимообратных матриц – обратные числа: det A-1=

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае матрица называется невырожденной.

Если матрицы A и B невырожденные, то и их произведения AB и BA также невырожденные матрицы10 и, следовательно, имеют обратные. Обратная матрица к произведению матриц есть произведение обратных матриц взятых в обратном порядке11

(AB) = B-1-1A-1 (BA)-1 = A-1 B-1
^

3.6 Ранг прямоугольной матрицы


Определитель можно вычислить лишь для квадратной матрицы. Но, выбрав k строк и столько же столбцов прямоугольной матрицы Amn, можно образовать определитель порядка k из элементов матрицы Amn (k≤min(m,n)12), стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов. Такой определитель называется минором порядка k матрицы A и обозначается Mk . Так, например, можно образовать минор второго порядка матрицы A45 выбрав вторую и четвертую строки и первый и пятый столбец

13

Рангом матрицы A (обозначается rg(A)) называется максимальный порядок ненулевых миноров матрицы. То есть, матрица имеет ранг k , если у нее есть (хотя бы один) не равный нулю минор порядка k , а любой минор порядка k+1 равен нулю.

Всякий ненулевой минор порядка rg(^ A) (т.е. максимального возможного для данной матрицы порядка) называется базисным минором, столбцы и строки матрицы A , из которых он образован, называются базисными.

Теорема о ранге. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк\столбцов. Базисные строки\столбцы линейно независимы, и всякая другая строка\столбец представляется в виде линейной комбинации базисных.▄

В самом деле, по определению ранг равен размерности базисного минора. Но базисные строки\столбцы линейно независимы, т.к. полностью или частично входят в ненулевой определитель – базисный минор. С другой стороны, всякая другая строка\столбец представляется в виде линейной комбинации базисных (иначе ранг базисного минора можно было бы увеличить, присоединив независимую строку\столбец).







1 Транспонирование матрицы можно описать и как симметрию относительно главной диагонали. Отметим, что транспонирование неквадратных матриц меняет их порядок, т.к. меняются местами число строк и столбцов.

2 Не выполнено условие “число столбцов слева равно числу строк справа”.

3 В этом и двух следующих параграфах всюду рассматриваются только квадратные матрицы

4 То есть минор с теми же индексами i и j .

5 Алгебраическим дополнением элемента матрицы aik называется дополнение с теми же индексами Aik .

6 Напомним, что, в отличие от определителя, общий множитель матрицы – это множитель всех ее элементов.

7 Разложение верхнего треугольного определителя порядка n по первому столбцу приводит к произведению a11 на верхний треугольный определитель порядка n-1.

8 Получим выражение, которое совпадает с разложением по r-ой строке, определителя, у которого элементы r–ой строки заменили на элементы i –ой строки (отметим, что дополнения r–ой строки не зависят от элементов этой строки и при такой операции не изменятся). Такой определитель равен 0, т.к. у него две строки одинаковые (свойство 5).

9 Пример вычисления обратной матрицы приведен в разделе 5.

10 Напомним, что AB и BA вообще говоря, различные матрицы.

11 Вычислите произведение AB на (AB)-1 .

12 min(m,n) – наименьшее из чисел m и n.

13 Иногда указывают не только порядок минора, но и номера строк и столбцов, из которых он образован



Схожі:

3. Матрицы и определители iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
3. Матрицы и определители iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
3. Матрицы и определители iconТематическийпла н
Тема Матрицы и основные операции с матрицами. Определители матриц. Системы уравнений первой степени: правило Крамера. Метод полного...
3. Матрицы и определители icon16-Результаты реализации матрицы планирования эксперимента 2
16-Результаты реализации матрицы планирования эксперимента 23 и свойства полученных сплавов
3. Матрицы и определители icon16-Результаты реализации матрицы планирования эксперимента 2
16-Результаты реализации матрицы планирования эксперимента 23 и свойства полученных сплавов
3. Матрицы и определители iconРешение нормальных уравнений с помощью обратной матрицы

3. Матрицы и определители iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Высшая математика» для курсантов 1-го курса дневной формы обучения
Определители 2-го порядка. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными
3. Матрицы и определители iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальностей «Судовождение» и
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
3. Матрицы и определители iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Судовождение»
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
3. Матрицы и определители icon2 Упрощение матричных игр
Решение матричных игр тем сложнее, чем больше размерность платежной матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи