4. линейные операторы icon

4. линейные операторы




Скачати 231.9 Kb.
Назва4. линейные операторы
Дата05.09.2012
Розмір231.9 Kb.
ТипДокументи

4. линейные операторы


















Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение A называется линейным оператором из Xn в Ym , если оно сохраняет линейные зависимости, т.е. образ линейной комбинации есть такая же (т.е. с теми же коэффициентами) линейная комбинация образов. Более точно:  x1,x2 Xn, 1,2 R



Отметим, что в случае линейных операторов обычно пишут Ax , а не A(x), и говорят “результат действия оператора A на элемент x”, а не “значение A от x”, хотя и функциональная терминология иногда употребляется.1 Теория линейных операторов есть теория самых простых и, одновременно, самых важных функций в линейных пространствах.

В частном случае пространства Xn и Ym могут и совпадать, тогда говорят, что линейный оператор отображает Xn “в себя”.

Линейный оператор, отображающий линейное пространство X на вещественную прямую R, называется линейным функционалом на X.

Совокупность образов всех элементов пространства Xn образует подпространство в Ym, это подпространство называется образом оператора A и обозначается ImA или ImA, образ любого подпространства Zm Xn также является подпространством и обозначается ImA(Zm).

Размерность образа ImA называется рангом оператора и обозначается rg(A): rg(A) = dim ImA

Очевидно, A(0X)=0Yобраз нуль-вектора при линейном отображении всегда нуль-вектор; индексы внизу указывают на тот факт, что это, вообще говоря, нуль-векторы из разных пространств.

Прообраз 0Y при линейном отображении всегда подпространство, это подпространство называется ядром оператора и обозначается KerA или KerA; более подробно: xKerA  Ax=0Y (вектор x принадлежит ядру оператора A тогда и только тогда, когда оператор A переводит этот вектор в 0Y). Размерность ядра называется дефектом оператора и обозначается def(A): def(A)=dim KerA

Теорема 6. Пусть линейное отображение. Тогда:

rg(A) + def(A) = n  dim ImA + dim KerA = dim X (5)2

Отметим, что ядро и образ оператора (KerA и ImA) лежат, вообще говоря, в разных пространствах – ядро в пространстве-прообразе Xn, а образ в пространстве-образе Ym .

Равенство def(A)=0 означает, что ядро A нульмерно и, следовательно, содержит единственный элемент – нуль-вектор, такой оператор называется невырожденным; если def(A)>0, оператор называется вырожденным.

Линейный оператор , отображающий пространство большей размерности в пространство меньшей размерности (n>m) всегда вырожденный, и def(A)  n–m (следует из (5)).

Линейный функционал всегда вырожден, если прообраз имеет размерность больше единицы (если n>1), причем размерность ядра линейного функционала равна n-1.3
^

4.1 Действия над операторами


На множестве операторов с общими пространствами определения и значений естественным образом определяются операции сложения и умножения на число. Пусть A и B линейные операторы, отображающие Xn в Ym. Тогда их сумма тоже линейный оператор D=A+BDx=Ax+Bx xXn. Аналогично, D = ADx = AxxXn.

Легко убедиться, что множество операторов, отображающих Xn в Ym, образует линейное пространство, т.к. все аксиомы сложения и умножения на число выполнены.

В пространствах операторов кроме обычных линейных операций можно ввести и операцию умножения. Пусть A и B линейные операторы, отоб­ра­жающие Xn в себя. Последовательное применение линейных операторов называется произведением оператора A на B или композицией отображений. C = ABCx = A(Bx) xXn. Произведение операторов, вооб­ще говоря, не коммутативно, т. е. AB  BA 4.
^

4.2 Примеры линейных операторов


1. Тождественный оператор – оператор, который отображает пространство Xn в себя и каждому xXn ставит в соответствие его самого называется тождественным оператором и обозначается E: Ex = xxXn. У тождественного оператора образ – все пространство, а ядро содержит только нуль-вектор.

Оператор, который каждому xXn ставит в соответствие нуль-вектор 0Y, называется нулевым оператором; у нулевого оператора ядром является все пространство, а образ содержит только один вектор 0. Нулевой оператор играет роль нуль-вектора в пространстве операторов. Тождественный и нулевой оператор коммутируют с любым оператором, который отображает Xn в себя.

2. Оператор Px проектирования на ось x ставит в соответствие любому вектору на плоскости a его проекцию ax на ось x.






У оператора Px образом является ось x, а ядром – ось y .


3. Оператор поворота на угол  вектору a на плоскости ставит в соответствие вектор, который получается из a поворотом в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол  (на рисунке угол равен /2). Оператор поворота не коммутирует с оператором проектирования (проверьте!).






Ядро оператора поворота содержит только 0, а образом оператора поворота является вся плоскость.

4. Оператор S покоординатного сдвига в K3 ставит в соответствие вектору aK3 вектор SaK3 по следующему правилу: т.е. i-ая координата получает значение i1-ой координаты, а первая координата заменяется нулем.

4. Оператор Dx = дифференцирования по x в пространстве многочле­нов, степени не выше n переводит многочлен

Pn(x) = n x+ n-1xn n-1 + … + 1x + 0

в элемент того же пространства  многочлен, степени не выше n-1:

(Pn(x))′ = P n-1(x) = nn xn-1 + (n-1)n-1xn-2 + … + 22x + 1

Поскольку оператор дифференцирования все константы (многочлены степени 0) переводит в нуль, это вырожденный оператор с одномерным ядром  подпространством многочленов степени 0.
^

4.3 Линейные уравнения


Уравнение

Ax = b (6)

где A – линейный оператор , называется линейным уравнением; если в правой части стоит нуль-вектор (b = 0), уравнение называется однородным

Ax = 0 (7) 5

По определению ядра оператора множество решений уравнения (7) совпадает с ядром A.

Пусть x1 – решение неоднородного уравнения (6), а y любое решение соответствующего6 однородного уравнения (7). Тогда их сумма есть решение уравнения (6) :

A(x1 + y) = A x1 + Ay = b + 0 = b .

Обратно, пусть x1, x2 – различные решения неоднородного уравнения (6). Тогда их разность есть решение уравнения (7), т.е.– вектор из ядра опера-тора A.

A(x1 – x2) = Ax1 – Ax2 = b – b = 0 .

Таким образом, получается следующий результат:

1. Если оператор A невырожденный (ядро содержит только 0), то решение уравнения Ax = b всегда единственно, а размерность образа равна n размерности пространства X, в котором оператор определен. Если невырожденный оператор A отображает X в себя7, то решение уравнения (6) всегда существует (у всякого bX есть прообраз).▄

2. Если A вырожденный оператор, то размерность ядра больше 0. Пусть def(A) = k>0 и – базис ядра. Тогда общим решение однородного уравнения Ax = 0 является общий вектор y из ядра оператора y = 1f1 + 2f2 + kfk , где {1…k} – любые числа.

Далее, если A вырожден, то решение неоднородного уравнения Ax = b всегда не единственно (если оно существует), и общее решение неоднородного уравнения (6) имеет вид:

xобщ = x0 + y = x0 + 1f1 + 2f2 + kfk (8)

Здесь xобщ – общее, x0 – некоторое частное решение уравнения (6), а 1f1+2f2 kfk – произвольный вектор из ядра A. 8

В этой ситуации размерность образа равна (теорема 6) rg(A)=n-k; решение существует при всяком bYm только в том случае, когда размерность m пространства образов Y равна n-k: m = n-k= rg(A). В частности, если A отображает X в себя, то решение не всегда существует (не у всякого bX есть прообраз).▄

Изложенный выше результат называется альтернативой Фредгольма.

Разрешение вопроса о том, является ли данный линейный оператор вырожденным, и если да, то как найти его ядро, требует применения техники матричного исчисления, которая будет изложена ниже.
^

4.4 Матрица линейного оператора


Пусть A: – линейный оператор, – базис в пространстве-прообразе Xn , а – базис в пространстве-образе Ym , и пусть при отображении A базисные векторы отображаются в векторы , т.е. Aei = ai

Поскольку все ai Ym , то они имеют соответствующие координаты в базисе . Матрица A , в которой по столбцам стоят координаты образов базисных векторов Xn относительно базиса Ym, называется матрицей оператора относительно базисов и . То есть, утверждение, что оператор A:в базисах и эквивалентно системе равенств:

(9)

Таким образом, элемент akj матрицы ^ A означает k-ую координату образа j-го базисного вектора.

Если оператор A отображает пространство Xn в себя, то матрица оператора – квадратная порядка n, и по столбцам стоят координаты образов базисных векторов в этом же базисе.

Совокупность – образов базисных векторов при отображении A образует полную систему в образе оператора ImA, т.е. если yImA , то он раскладывается (может, неединственным образом) по векторам ai.

Основной смысл введения матрицы оператора состоит в следующем фак­те: результат действия оператора A на любой вектор равен результату умножения матрицы A на этот вектор. Тем самым абстрактная теория линейных операторов получает средство для конкретных вычислений – если матрица оператора построена, то можно вычислить результат действия оператора на любой вектор, если известны его координаты в том же базисе, в котором построена матрица оператора. Недостаток такого подхода – несколько громоздкие формулы с большим количеством индексов, которые нужно внимательно читать, и зависимость результатов от выбора базиса. Поэтому желательно вести рассуждения параллельно на языке операторов и на языке матриц – только оба представления дают полную картину.

Теорема 7. Пусть A  линейный оператор, A  его матрица в некотором базисе. Тогда ранг матрицы A равен рангу оператора A: rg(A) = rg(A)▄

В самом деле, любой yImA представим в виде линейной комбинации ai 9, т.е. в виде линейной комбинации столбцов матрицы A. Значит, размерность образа ImA (а это и есть ранг оператора) равна числу независимых столбцов матрицы A , т.е. ее рангу. ▄

Матрица оператора не вырождена (напомним, что это означает, что матрица квадратная и det^ A  0) тогда и только тогда, когда не вырожден оператор (напомним, что это означает dim Ker A = 0 , т.е. ядро содержит только нуль-вектор).

Матрица произведения операторов равна произведению их матриц в том же порядке (разумеется, все матрицы определяются в одном базисе).

4.5 Примеры


1.Тождественный оператор E имеет единичную матрицу E в любом базисе.

Аналогично, нулевой оператор имеет в любом базисе нулевую матрицу.

2. Оператор проектирования на ось Px имеет матрицу (для плоскости!): поскольку переводит вектор i в себя, а вектор j – в нуль-вектор. Матрица Px очевидно вырождена.

3. Оператор поворота на угол  имеет в стандартном базисе на плоскости матрицу (проверьте!). Эта матрица очевидно не вырождена det = 1.

4. Оператор S покоординатного сдвига в K3 (см. пример 3 предыдущего параграфа) в стандартном базисе имеет матрицу Матрица, а значит и сам оператор, очевидно вырождены. Оператор ^ S являет собой пример нильпотентного оператора, т.е. такого, некоторая степень которого равна 0.

S S = S = , а третья степень - S23 = (0)3.10

Таким образом, в отличие от чисел, если произведение двух матриц равно (0)k, это еще не значит, что одна из них (0)k , правда, определитель нильпотентной матрицы обязательно равен нулю.

5. Оператор дифференцирования по х Dx = в 4-х мерном пространстве многочленов, степени не выше трех, базисные векторы пространства {} переводит в векторы Dxe1 = 0, Dxe2 =1, Dxe3 = 2e2, Dxe4 = 3e3. Соответственно, матрица оператора в стандартном базисе имеет вид11: . Очевидно, что Dx вырожденный нильпотентный оператор.
^

4.6 Переход к новому базису


Пусть некоторый базис в Xn , а – другой базис в Xn . Построим матрицу C, по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе. Такая матрица называется матрицей перехода.

12

Обратный переход от к осуществляется с помощью обратной матрицы ^ C. Т.к. столбцы матрицы C линейно независимы, то det C 0 и, значит, обратная матрица C-1-1 существует (см. формулу (4)).

Пусть вектор x имеет координаты в базисе и координаты в базисе . Тогда между ними существуют такие соотношения:

= C = C-1 (10)

Как видно, умножение на матрицу перехода переводит базис в ба­зис , а координаты х′ в координаты х . Таким образом, координаты век­тора преобразуются обратно к преобразованию базисов – новые координаты вектора вычисляются по старым координатам с помощью матрицы C-1 .

Теорема 8. Матрица линейного оператора при переходе от старого базиса к новому преобразуется следующим образом

- (11)▄

Отметим, что хотя матрица оператора изменяется при переходе от базиса к базису, однако определитель матрицы при таком переходе не изменяется

13

Такие величины, которые не изменяются при переходе от одного базиса к другому, называются инвариантами. Полученный результат свиде­тельст­вует, что определитель является инвариантом матрицы линейного оператора.
^

4.7 Собственные значения и собственные векторы линейного оператора


Коль скоро линейный оператор имеет различные матрицы в разных базисах, разумно поставить вопрос о “наилучшем базисе”, т.е. о таком базисе, в котором матрица оператора имеет наиболее простой и удобный вид. Наиболее простую структуру имеет диагональная матрица



С точки зрения вычислительной процедуры, действие оператора A на любой вектор b сводится к умножению вектора b на матрицу оператора A; если эта матрица диагональная, мы получим:

.

Как видим, в этом случае действие оператора A на вектор b сводится к умножению каждой k–ой компоненты вектора на k–ое диагональное число, в частности, действие на k-й базисный вектор сводится к умножению этого вектора на k. Определитель такой матрицы также вычисляется очень просто – он равен произведению диагональных элементов матрицы detA = 12…n . Таким образом, видно, что диагональная форма матрицы линейного оператора действительно очень удобна, и потому следует изучить вопрос о возможности приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.

Пусть A: – линейный оператор. Вектор a0 называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному числу (собственному значению) , если действие оператора A на вектор a сводится к умножению вектора a на число 14 .

Aa = a (12)

Из определения видно, что если собственный вектор входит в базис, то отвечающий ему столбец в матрице ^ A содержит только диагональный элемент, а все остальные элементы такого столбца равны 0.

Теорема 9. Собственные векторы {a1, a2, … ak,} оператора A, отвечающие попарно различным собственным значениям {1, 2,… k,} образуют линейно независимую систему векторов. ▄

Следовательно, если у оператора есть n различных собственных значе­ний, у этого оператора есть базис из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора имеет диагональный вид, а по диагонали стоят соответст­вующие собственные числа, поскольку действие оператора на собственный вектор сводится к умножению на соответствующее собственное число.

Для того, чтобы найти собственные векторы оператора ^ A, перепишем уравнение (12), используя единичную матрицу E:

Aa = a  Aa = Ea  Aa – Ea = 0  (A – E)a = 0 (13)

Чтобы уравнение (13) имело ненулевые решения необходимо, чтобы оператор (A – lE), а значит и матрица (A – E) были вырожденными. Отсюда ясно, что число  является собственным числом оператора A тогда и только тогда, когда оно является корнем уравнения

det (A – E) = 0 (14)15

Если раскрыть определитель, стоящий в левой части (14), то увидим, что он представляет собой многочлен степени n, этот многочлен называется характеристическим многочленом линейного оператора или характеристическим многочленом матрицы.16 Задача нахождения собственных чисел оператора сводится к нахождению корней характеристического многочлена, то есть, к решению уравнения степени n. Если у этого уравнения есть n различных корней, то можно построить базис из собственных векторов. Как найти собственные векторы, отвечающие уже найденным собственным значениям, будет рассмотрено в следующей главе.

1 Напомним, что если Ax = у, то у называется образом элемента x, а x прообразом у.

2 Прочтите словами!

3 У функционала размерность образа равна 1, поскольку векторы отображаются в ве­щественные числа (см. теорему 6).

4 Строго говоря, для определения умножения операторов не обязательно, чтобы оба оператора действовали в одном пространстве. Достаточно если область значений (образов) левого сомножителя принадлежала области определения правого сомножи- теля – если и то определен линейный оператор ^ С = BA.

5 Учитывая, что x и b – вообще говоря, многомерные векторы, уравнение (2) можно рассматривать как векторную запись системы линейных уравнений.

6 “ Соответствующего ” – т.е. однородного уравнения с тем же оператором A .

7 Строго говоря, результат имеет место в том случае, когда размерность образа равна размерности прообраза

“Общий” в смысле любой, а любой вектор из ядра, как и любое решение однородного уравнения, представляется в виде линейной комбинации базиса ядра .

8 Таким образом, совокупность всех решений есть подпространство, сдвинутое на вектор x0 – “плоскость”, не проходящая через начало координат (0-вектор).

9 Действительно, т.к. yÎImA найдется Xn ,такой что Ax=y. Т.к. y есть линейная комбинация базисных векторов , то x есть такая же линейная комбинация образов векторов ei , т.е. векторов ai

10 (0)3. нулевая матрица третьего порядка.

11 Напомним, что по столбцам стоят координаты образов базисных векторов,

12 Обратите внимание, что векторы ei умножаются на элементы k-го столбца матрицы C, чтобы получить вектор .

13 Напомним, что = 1.

14 Т.е. оператор изменяет “длину” своего собственного вектора, но не изменяет “направления”.

15 Действительно, уравнение (12) может иметь нетривиальные решения, только если оператор A – l E –вырожденный, т.е. если det(A – l E)=0.

16 Отметим, что хотя матрица оператора меняется при переходе от базиса к базису, но определитель матрицы при этом не меняется. Т.к. характеристический многочлен это определитель, то и он является инвариантом, поэтому имеет смысл говорить о характеристическом многочлене и собственных числах матрицы.



Схожі:

4. линейные операторы iconОператоры цикла Операторы цикла используются для вычислений, повторяющихся многократно. В c# имеется четыре вида циклов: цикл с параметром for
Операторы цикла используются для вычислений, повторяющихся многократно. В c# имеется четыре вида циклов: цикл с параметром for, цикл...
4. линейные операторы iconОператоры ветвления (Управляющие структуры языка) Операторы ветвления «if»
«if» и «switch» применяются для того чтобы в зависимости от конкретных значений исходных данных обеспечить выполнение разных последовательностей...
4. линейные операторы icon6. Операторы {
В11 – появление искр короткого замыкания в электрических коммуникациях элемента эу
4. линейные операторы iconВопросы к экзамену по курсу «Менеджмент персонала»
Кто должен управлять персоналом: линейные руководители или специалисты по человеческим ресурсам?
4. линейные операторы icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
4. линейные операторы iconВопросы к экзамену по курсу «Менеджмент персонала» Роль организации в жизни современного общества. Понятие организации
Кто должен управлять персоналом: линейные руководители или специалисты по человеческим ресурсам?
4. линейные операторы iconВопросы для подготовки к аттестационному собеседованию абитуриентов, имеющих образовательно-квалификационный уровень «Младший специалист», поступающих на образовательно-квалификационный уровень «Бакалавр»
Понятие об электрических цепях. Линейные и нелинейные сопротивления. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи
4. линейные операторы iconВопросы для подготовки к аттестационному собеседованию абитуриентов, имеющих образовательно-квалификационный уровень «Младший специалист», поступающих на образовательно-квалификационный уровень «Бакалавр»
Понятие об электрических цепях. Линейные и нелинейные сопротивления. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи
4. линейные операторы iconЗразок надання даних в урж джерело м орской экологический журнал, 2004, Т. 3, №. 4
Авс-модель морской экосистемы и экономическая модель потребления морских ресурсов, содержащая логические операторы (агенты) управления....
4. линейные операторы iconДокументи
1. /Основы_теории_цепей/Theory_Popov.djvu
2. /Основы_теории_цепей/ОТЦ.djvu
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи