5. системы линейных уравнений icon

5. системы линейных уравнений




Скачати 227.57 Kb.
Назва5. системы линейных уравнений
Дата05.09.2012
Розмір227.57 Kb.
ТипИсследование

5. системы линейных уравнений


Исследование и нахождение решений систем линейных уравнений является одной из центральных задач линейной алгебры. Можно сказать, что, в определенном смысле, вся предыдущая теория была построена ради этой главы. Прежде всего, нам понадобится ряд терминов.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(15)

Здесь числа aij называются коэффициентами системы, bjсвободными членами или правыми частями, а числа xi неизвестными. Матрица A порядка m´n, составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей системы или просто матрицей системы, матрица порядка m´(n+1), содержащая, кроме элементов матрицы ^ A, еще и столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

1

Решением системы называется любой набор чисел {x1, x2,… xn}, при котором все равенства системы (15) истинны. Система уравнений называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение. Совместная система называется определенной, если решение единственно, и неопределенной, если решений больше, чем одно.

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Следующий набор преобразований системы или, что то же самое, ее расширенной матрицы, позволяет из данной системы получить систему ей эквивалентную :

  1. Умножить какую-либо строку на любое число, не равное нулю.

  1. Поменять местами две строки\столбца системы.

  1. К любой строке добавить любую линейную комбинацию остальных строк.

Эти преобразования называются элементарными. Элементарные преобразования не меняют ранг расширенной матрицы системы.

Общая задача теории линейных систем может быть сформулирована следующим образом:

  1. Выяснить, является ли система совместной, если система несовместна, исследование прекращается.

  1. Если система совместна, выяснить является ли она определенной и

  2. если система определенная, найти ее единственное решение.

  3. если система неопределенная, найти общее решение, т.е. выражение, описывающее все решения системы.

В векторном виде систему (15) можно переписать в виде Ax = b, где x – это вектор-столбец неизвестных , а b – вектор-столбец
правых частей .

Перед нами уже изученная ранее в операторной записи система (6). Из результатов теории операторов известно, что если оператор ^ А невырожденный, то система (6) либо не имеет решений, либо имеет единственное решение, а если А – вырожденный оператор, то известна структура общего решения системы (6). Эти результаты теперь необходимо конкретизировать, т.е. построить конкретные методы и алгоритмы поиска решений, используя технику матриц и определителей.

Обозначим aj j-й столбец матрицы A. Тогда систему (15) можно записать в виде векторного равенства a1x1+ a2x2 …+anxn = b. Из этого равенства видно, что любое решение системы (15) {x1, x2,… xn} можно рассматривать как коэффициенты разложения столбца правых частей b по столбцам aj матрицы A. Если такое разложение существует, то система совместна, а если нет – несовместна. Но если разложение вектора b по столбцам существует, то присоединение b к матрице A в качестве еще одного столбца не увеличит ранг матрицы, поскольку новый столбец не является независимым. Отсюда следует

^ Теорема Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной системы равен рангу основной.▄

Далее, поскольку правая часть системы представляет собой столбец высоты n, разложение любой правой части b по столбцам матрицы A будет существовать (система совместна при любой правой части), если базисные столбцы матрицы являются одновременно базисом в пространстве Kn столбцов высоты n, т.е. если число базисных столбцов равно числу строк матрицы.

Теорема 10. Если ранг матрицы системы равен числу уравнений системы (т.е. все строки матрицы системы, а значит, и все уравнения, независимы), система имеет решение при любой правой части (всегда совместна)2.

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных системы (все столбцы независимы), то решение системы, если оно существует, всегда единственно3.▄
^

5.1 Случай квадратной матрицы (система порядка nn)


В этом параграфе рассматриваются системы, у которых число неизвестных равно числу уравнений. В этом случае матрица системы является квадратной, следовательно, можно вычислить ее определитель, который мы обозначим . Дальнейший анализ ситуации зависит от того, равен или не равен нулю определитель системы . Случай  = 0 будет рассмотрен несколько позже, а в этом и следующем параграфах рассмотрим основной вариант   ≠ 0.

Если  отличен от нуля, то:

  • матрица системы не вырождена,

  • ранг системы равен n,

  • строки матрицы независимы, значит, система совместна при любой правой части,

  • столбцы матрицы независимы и образуют базис в пространстве столбцов высоты n, значит, решение всегда единственно.

Рассмотрим способы нахождения этого решения.
^
5.1.1 Метод обратной матрицы

Так как матрица системы невырожденная, то она имеет обратную матрицу. При любой правой части b решение может быть найдено по формуле :

= A (16)-1

для чего необходимо найти обратную матрицу ^ A и умножить ее на век­тор правых частей b.

Основным недостатком этого метода является большая трудоемкость вычисления обратной матрицы – такая процедура требует вычисления n-12 определителей (n-1)-го порядка (алгебраических дополнений) и одного определителя n-го порядка, что эквивалентно вычислению n+1 определителя n-го порядка. Поэтому такой способ применяется в тех случаях, когда нужно решить серию задач с одной и той же матрицей, но с различными правыми частями. В этих случаях целесообразно один раз вычислить обратную матрицу и многократно ее умножать на различные столбцы правых частей.
Пример

Решить систему уравнений Ax=b для трех правых частей:



Прежде всего, вычислим определитель системы путем разложения по последнему столбцу . Таким образом, мы установили, что A  невырожденная матрица и по теореме 5 имеет обратную A-1, равную транспонированной матрице алгебраических дополнений, деленной на определитель A. Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

А11 = -(4) = -4 А12 = -8 А13 = -3-4 = -7

А21 = -(-3) = 3 А22 = 6 А23 = -(-1-4) = 5

А31 = (-8+6) = -2 А32 = 5 А33 = (2-6) = -4

Т.к. detA = 1, обратная матрица равна A-1 = . Умножая A-1 последовательно на столбцы b1, b2, b3, получим:


^
5.1.2 Правило Крамера

По правилу Крамера кроме основного определителя системы  нужно вычислить n дополнительных определителей i, которые получаются из основного определителя заменой i-ого столбца столбцом правых частей системы



После этого неизвестные xi находятся по формулам

x1 = 1/ x2 = 2/ … xn = n/ (17)

Решение системы по правилу Крамера требует вычисления n+1 определителя n-го порядка, то есть по объему вычислений примерно эквивалентно решению системы по методу обратной матрицы, но без его преимуществ. Поэтому при решении больших систем формулы Крамера применяются редко.
5.1.3 Пример

Дана система линейных уравнений



Для решения системы линейных уравнений по правилу Крамера необходимо вычислить определитель системы и три вспомогательных определителя, которые получаются из определителя системы последовательной заменой первого второго и третьего столбца столбцом, составленным из правых частей уравнений. Для вычисления определителей воспользуемся разложением определителя по элементам первой строки.

Напомним, что каждый определитель может быть представлен в виде4



где a1j – элементы 1-ой строки, M1j – соответствующие миноры, т.е. определители второго порядка, которые получаются из исходного вычеркиванием 1–ой строки и j–го столбца. Множитель (–1) появляется в том случае, когда сумма индексов элемента i+j – нечетное число (так в приведенном выше выражении (–1) встречается перед a12 т.к. 1+2=3 – число нечетное).

.


^

5.2 Метод Гаусса. Случай невырожденной квадратной матрицы.


Методом Гаусса сегодня называют не один, а целую группу методов, применяемых для решения различных задач линейной алгебры и объединенных общей идеей. Этой центральной идеей является приведение основной матрицы системы к верхнему треугольному виду, путем выполнения элементарных преобразований. В случае поиска решения системы уравнений эти преобразования выполняются над расширенной матрицей системы, причем вся процедура делится на две части – прямой ход, когда осуществляется приведение матрицы к желаемому виду, и обратный ход, при котором собственно и вычисляются значения неизвестных.
^
5.2.1 Прямой ход метода Гаусса.

Целью процедуры является обращение в нуль всех элементов матрицы, которые расположены ниже главной диагонали (у которых j>i ) с помощью элементарных преобразований 1-3. Для этого на каждом шаге процедуры выбирается ведущий элемент; на первом шаге ведущим элементом является элемент, расположенный в верхнем левом углу матрицы. Формально от ведущего элемента требуется только одно – он не должен равняться нулю. В действительности при решении больших систем существуют специальные алгоритмы выбора ведущего элемента. Для наших целей – решения относительно простых систем “ручным” способом,– от ведущего элемента требуется, чтобы на него было просто делить, лучше всего, если он равен 1, но, разумеется, недопустимо, чтобы он равнялся нулю. Если a11 не удовлетворяет этим требованиям, переставляя строки и\или столбцы можно добиться подходящего значения. Конечно, перестановка строк и столбцов приведет к тому, что на прежних местах появятся новые значения, но мы в матрице общего вида будем отмечать только появление нулей, а то, что элемент с теми же индексами принял новое значение отмечать не будем. Пусть расширенная матрица системы имеет вид5

(18)

Умножим первую строку на (12= –3) и прибавим ко второй строке. Тогда на месте элемента a21 получится 0. Все остальные элементы второй строки, включая b2, вообще говоря, тоже изменятся, но мы будем отмечать их теми же символами, что и раньше. В итоге получим матрицу:



Теперь умножим первую строку на (13= –2) и прибавим к третьей строке, в результате все элементы третьей строки изменятся, причем a31 станет равным 0. Проделав аналогичную процедуру над всеми строками, включая последнюю, получим матрицу, в которой все элементы первого столбца, кроме a11 , равны 0.

. (19)

Мы получили систему уравнений, в которой все уравнения, кроме пер­вого, фактически не содержат неизвестного x1. Это означает, что уравнения 2, 3, …n можно рассматривать независимо от первого уравнения как систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными {x2,… xn}. Теперь мы можем повторить ту же самую последовательность операций с элементами второго столбца, считая ведущим элемент a22. После этого нулями станут все элементы второго столбца, кроме первого и второго, причем в первом и втором столбцах все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0 6.

.

Выполняя эту процедуру последовательно над всеми столбцами до n1-го, мы можем столкнуться с двумя ситуациями:

  1. если определитель матрицы A отличен от нуля (матрица A невырожденная), процедура нормально дойдет до конца, и мы приведем матрицу A к форме верхней треугольной матрицы;

  1. в какой-то момент у нас сформируется строка основной матрицы, состоящая из одних нулей; это означает, что определитель det^ A равен нулю (матрица A вырожденная).

Сейчас нас интересует только первый случай, ситуация 2 будет рассмотрена ниже. В нашем случае матрица A примет вид

.
^
5.2.2 Обратный ход

Мы достигли поставленной цели – все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0 (матрица приведена к верхней треугольной форме). Теперь можно переходить ко второй части вычислительной процедуры – обратному ходу. Последнее уравнение системы после проделанных преобразований имеет вид: ann xn = bn ((-1)x3=-3). Это одно уравнение с одним неизвестным, откуда легко найти xn = bn/ann (x3=1) . Далее, в предпоследнем уравнении:

((-2) x2+0 x3=-4) (20)

мы уже определили xn (x3), следовательно, (20) – опять уравнение с одним неизвестным xn-1, которое легко можно найти. Таким образом, двигаясь пошагово по уравнениям вверх и решая на каждом этапе одно уравнение с одним неизвестным, мы определим все неизвестные и решим систему, т.е. найдем ее единственное решение (напомним, что по завершении вычислений обратного хода необходимо восстановить номера неизвестных) .
^

5.3 Случай прямоугольной матрицы (системы порядка mn)


Отметим прежде всего, что основной интерес представляет случай mn (число строк основной матрицы больше числа столбцов), то среди m строк матрицы независимых не больше n, т.к. строки содержат по n элементов, а пространство строк длины n имеет размерность n. Пусть число независимых уравнений k≤n


третье уравнение является суммой первых двух и его можно просто исключить. Если же соответствующая правая часть не есть такая же комбинация первых k правых частей, то рассматриваемое уравнение очевидно противоречит первым k уравнениям, и система несовместна (если бы правая часть третьего уравнения в рассмотренном выше примере была бы, скажем, 10 , то вычитая из третьего уравнения первые два получили бы (проверьте!) 0 = -8).

Таким образом, случай m>n либо приводит к несовместной системе, либо после исключения зависимых уравнений, получим, что независимых уравнений будет либо n, либо m ^
5.3.1 Прямой ход

Итак, пусть дана система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных. Как и в случае квадратной матрицы, проводим процедуру Гаусса, т.е. используя элементарные преобразования, добиваемся, чтобы матрица в верхнем левом углу приняла верхний треугольный вид. При этом сначала все элементы первого столбца становятся равными нулю, кроме первого, затем все элементы второго столбца становятся равными нулю, кроме первых двух, и т. д. Как и ранее, если в процессе вычислений получается, что все элементы i-ой строки стали равными нулю, а соответствующая правая часть bi при этом не равна нулю, значит система несовместна, и на этом процедура прекращается.

Если же в 0 обратились все элементы некоторой i-ой строки матрицы , включая правую часть уравнения bi, то такая строка исключается из матрицы, и процедура выполняется дальше:

(21)

В приведенном примере в 0 обратились все элементы третьей строки. Эта строка исключена из матрицы, а номера всех последующих строк сдвинулись на единицу,– четвертая строка стала третьей, пятая – четвертой и т.д. Общее число уравнений сократилось на единицу.

Продолжая таким же образом, в случае совместной системы мы придем к системе k уравнений с n неизвестными, k < n. Причем верхний левый угол матрицы размером k´k превратится в верхнюю треугольную матрицу порядка k:

(22)

На диагонали этой матрицы стоят элементы, отличные от нуля – ведь это ведущие элементы первого, второго k-го шага. Следовательно, определитель этой матрицы отличен от нуля, и, значит, является базисным минором матрицы (напомним, что определитель верхней треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов).

Заметим, что к подобной ситуации приходит задача с любым числом уравнений, если система совместна и число независимых уравнений m меньше числа неизвестных n. Процедура Гаусса позволяет в этой ситуации выделить независимые уравнения, построить базисный минор и установить, что исходная система является неопределенной.
^
5.3.2 Обратный ход

Обратный ход для неопределенных систем имеет существенные особенности. Как известно из общей теории линейных операторов , в этом случае необходимо построить общее решение системы, которое представляет собой сумму некоторого частного решения неоднородной системы (15) и общего решения соответствующей однородной системы, т.е. системы с той же матрицей и правыми частями, равными 0:

(15.1)

Для решения этой задачи перенесем все столбцы с номерами больше, чем k (т.е. все столбцы, не входящие в базисный минор), в правую часть:

(23)

Частное решение неоднородной системы (15) проще всего найти, положив в (23) xk+1 = xk+2 = xk+3 …. = xn-k =0. В результате получим совместную определенную систему из k уравнений:



Поскольку она уже приведена к треугольному виду, осталось выполнить обратный ход процедуры Гаусса, чтобы вычислить первые k координат частного решения x0, а последние n-k координат равны 0.

Таким образом, мы найдем частное решение неоднородной системы уравнений. Общее решение однородной системы (15.1) также найдем из системы (23). Т.к. ранг системы равен k, а число неизвестных равно n, то размерность ядра матрицы равна n-k; значит общее решение однородного уравнения должно содержать n-k независимых векторов. Мы найдем их, последовательно придавая переменным {xk+1, xk+2 , xk+3 ,…xn} такие наборы значений

  1. первый xk+1 = 1 xk+2 = 0 xk+3 = 0…. = xn =0

  2. второй xk+1 = 0 xk+2 = 1 xk+3 = 0…. = xn =0

  3. третий xk+1 = 0 xk+2 = 0 xk+3 = 1…. = xn =0 (24)

  4. ………………………………………………………...........

  5. последний, n-k -ый xk+1 = 0 xk+2 = 0 xk+3 = 0…. = xn =1

Решая n-k раз систему (23) с соответствующими правыми частями, получим n-k независимых решений однородной системы (20), которые и образуют фундаментальную систему решений однородной системы (22) .
^

5.4 Пример решения неопределенной системы


Рассмотрим систему уравнений



Расширенная матрица системы имеет вид

.

Теперь начнем процедуру Гаусса. Умножим в соответствии с (18) первую строку на –2 и добавим ко второй; соответственно, умножаем первую строку на –3 и добавляем к третьей, умножаем на 1 и добавляем к четвертой получим:



Мы получили вторую строку из одних нулей и, в соответствии с алгорит­мом исключили вторую строку, а остальные строки сдвинули, получив матрицу 3´4. Теперь умножаем вторую строку на 1 и прибавляем к третьей



Исключив еще одну строку расширенной матрицы, состоящую из одних нулей, мы получили совместную неопределенную систему 2-х уравнений с 4-мя неизвестными. Это соответствует ситуации, изображенной формулой (21), – два левых столбца представляют собой треугольную матрицу второго порядка. Теперь, в соответствии с общим алгоритмом, третий и четвертый столбец перенесем в правую часть. Получим (см. (23))



Для определения частного решения неоднородного уравнения, положим x3 = x4 = 0. Получим совместную определенную систему 2-х уравнений с двумя неизвестными, для решения которой достаточно проделать обратный ход процедуры Гаусса



Из второго уравнения получим x2 = 1. Тогда из первого уравнения 2x1 = 3 – (–11) = 4  x1 = 2. Таким образом, частное решение однородного уравнения: x0 = {2, 1, 0, 0} (здесь и далее мы векторы-столбцы найденных решений записываем в строку – по соображениям удобства).

Теперь, задавая неизвестным x3, x4 значения по схеме (24), найдем фундаментальную систему решений однородной системы (22.1)

  1. x3 = 1 x4 = 0   x2 = –3 x1 = -1

  2. x3 = 0 x4 = 1   x2 = 2 x1 = –1

Таким образом, фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют два решения: f1 = {–1, –3, 1, 0} f2 = {–1, 2, 0, 1}. Соответственно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:



Здесь с1 , с2 – произвольные константы.
^

5.5 Определение ранга матрицы.


Ранг матрицы может быть определен с помощью выше описанной процедуры Гаусса. Действительно, в итоге выполнения этой процедуры мы получаем сформированный базисный минор, ранг которого и есть ранг матрицы. Единственное отличие состоит в том, что процедура выполняется для основной, а не для расширенной матрицы, поэтому она не может прерваться из-за несовместности системы и всегда доходит до конца.

Рассмотрим задачу определения ранга матрицы



По общей схеме процедуры Гаусса, прежде всего, добьемся, чтобы в первом столбце матрицы стояли нули во всех строках, кроме первой. Для этого последовательно умножаем первую строку на 1, –2 и 3 и складываем результат умножения со второй, третьей и четвертой строкой матрицы соответственно. Получим:



Теперь наша задача, используя элементарные преобразования, добиться, чтобы во втором столбце все элементы, стоящие ниже второй строки были нулями. Для этого умножим вторую строку на –3 и прибавим к третьей. В результате третья строка станет строкой из одних нулей, и мы ее исключаем из матрицы



Умножая вторую строку на –2 и складывая с третьей, приведем матрицу к верхнему треугольному виду



Теперь очевидно, что матрица имеет ранг 3. В самом деле, определитель, построенный на первом втором и четвертом столбцах матрицы треугольный и равен произведению своих диагональных элементов



Так как существует отличный от нуля минор третьего порядка и не существует таких миноров четвертого порядка (элементарные преобразования привели к строке из одних нулей), то матрица имеет ранг три, а ее базисными столбцами являются первый, второй и четвертый (или первый второй и пятый). Обратите внимание, что не обязательно, чтобы в результате процедуры базисные столбцы и строки заняли левый верхний угол, хотя этого, конечно, можно добиться, переставляя строки и столбцы.
^

5.6 Нахождение собственных векторов


В п.4.7 мы дали определение собственным числам как корням характеристического уравнения det (A – E) = 0. Процедура нахождения собственных чисел требует умения вычислять определитель и решать получающееся уравнение (в двумерном случае квадратное), и особых технических трудностей не представляет. Однако задача определения собственных векторов приводит к необходимости решения вырожденной системы (A–E) х = 0 , так что дать соответствующий пример решения задачи нахождения собственных чисел и векторов мы можем только сейчас.

Пусть требуется найти собственные векторы матрицы . Найдем сначала собственные числа этой матрицы



Т.к. у матрицы два разных собственных числа, то нам предстоит найти два различных собственных вектора, отвечающих этим числам.

1. 1=13 A–1E = Вполне очевидно, что вторая строка матрицы A–1E равна первой строке умноженной на 2, и значит в системе уравнений (A–1E) х = 0 независимым является только одно уравнение. Выберем первое уравнение, получим –2х1 + 4х2 = 0 –1х1 + 2х2 = 0. Теперь, аналогично тому, как мы это делали в п.5.4, положим х2 = 1, тогда получим х1 = 2. Таким образом, собственный вектор, отвечающий собственному значению 1=13 равен . Аналогично, для 2=3 получим A–2E = . Поскольку вторая строка матрицы 1E равна первой строке умноженной на ½, то независимым является только одно уравнение системы. Оставляя только второе уравнение и полагая х2 = 1, получим:

1 + 2х2 = 0 4х1 = 2х2 х1 = ½

Задача определения собственных чисел и отвечающих им собственных векторов решена. Остается заметить, что собственные векторы всегда определяются “с точностью до множителя”, то есть, если b1 собственный вектор матрицы A , отвечающий собственному числу 13, то b1 тоже собственный вектор при всяком вещественном , и он отвечает тому же собственному числу.

1 Здесь и далее до конца раздела сплошной линией отделены правые части уравнение от левых. Также до конца раздела число m будет обозначать число уравнений, а n – число неизвестных.

2 Это второй случай альтернативы Фредгольма при условии m=rg(A).

3 Это первый случай альтернативы Фредгольма.

-1 Умножив обе части равенства (16) на матрицу ^ A, убедимся, что Ax = b.

4 Здесь приведено разложение определителя третьего порядка по первой строке.

5 Параллельно изложению в общем виде, проведем все преобразования для конкретной системы 3-х уравнений с тремя неизвестными.

6 Напомним, что если мы переставляли столбцы, то в преобразованной матрице j-й столбец, вообще говоря, уже не отвечает неизвестному, которое в исходной матрице имело номер j. По окончании процедуры найденные величины нужно перенумеровать, восстановив исходный порядок.

Напомним, что общее решение уравнения Ax=b имеет вид xобщ = x0 + a1f1 + a2f2 + akfk (см. формулу (8))

Таким образом, фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется набор линейно независимых решений, по которому любое решение раскладывается, т.е. это базис ядра оператора A.



Схожі:

5. системы линейных уравнений iconА. С. Попова сведение класической системы уравнений максвелла к скалярным уравнениям относительно компонент векторов е и н
Аннотация. Рассматривается сведение классической системы уравнений Максвелла для линейных однородных изотропных покоящихся сред к...
5. системы линейных уравнений iconПриклад оформлення тексту тез доповідей
Аннотация. Рассматривается сведение классической системы уравнений Максвелла для линейных однородных изотропных покоящихся сред к...
5. системы линейных уравнений iconПрактическая работа № Тема: Нахождение решений уравнений и систем уравнений
Цель: Освоить графический метод для решения уравнений и систем уравнений, научиться решать уравнения с одним неизвестным с помощью...
5. системы линейных уравнений iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальностей «Судовождение» и
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
5. системы линейных уравнений iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Судовождение»
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
5. системы линейных уравнений iconТехнология решения систем линейных алгебраических уравнений в распределенной вычислительной среде
Рассматривается технология решения больших систем линейных алгебраических уравнений вида
5. системы линейных уравнений iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Высшая математика» для курсантов 1-го курса дневной формы обучения
Определители 2-го порядка. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными
5. системы линейных уравнений iconТематическийпла н
Тема Матрицы и основные операции с матрицами. Определители матриц. Системы уравнений первой степени: правило Крамера. Метод полного...
5. системы линейных уравнений icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
5. системы линейных уравнений icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи