6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии




Назва6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
Сторінка1/8
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7   8

6. евклидовы пространства и элементы
аналитической геометрии


















Пусть в линейном пространстве Ln задан некоторый базис , тогда каждому вектору этого пространства сопоставлен набор координат относительного этого базиса.

Скалярным произведением называется числовая (скалярная) функция двух векторов, определенная равенством:

(ab)= a1b1 + a2b2 + … + anbn = (25)

скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответственных координат.

Свойства скалярного произведения:

  1. (ab) = (ba)– коммутативность.

  2. ((a+b) c) = (ac) + (bc)– линейность.

  3. (aa) ≥ 0 a, если (aa)=0 то a = 0 – “скалярный квадрат”: а12+ а22+… аn2 всегда неотрицателен и равен нулю только для нуль-вектора.

Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством. Евклидовы пространства размерности n будем в дальнейшем обозначать Еn

Так как каждому базисному вектору ei соответствует столбец координат , в котором все координаты равны 0, кроме i–ой, которая равна 1, то из (25) следует

(26) 1

Т.е. скалярное произведение двух различных базисных векторов равно нулю, а скалярное произведение любого базисного вектора на себя равно единице. Всякая система векторов , обладающая тем свойством, что называется ортонормированной. По определению векторы ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Всякая взаимно ортогональная система векторов, не содержащая нуль-вектора (в частности, всякая ортонормированная система), является независимой системой.2 Обратное, разумеется, неверно, т.е. не всякая независимая система векторов взаимно ортогональна – достаточно, например, в исходном базисе заменить вектор e1 на вектор e1 + e2, и новая система останется независимой (докажите!), но перестанет быть взаимно ортогональной.

Скалярное произведение позволяет ввести метрические элементы геометрии: длины, углы и объемы.

Длиной вектора называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

(27)

Так определенная длина вектора обладает следующими свойствами:

  1. a│ = ││ │a

  2. a│≥ 0, причем если│a│= 0, то a = 0

  3. │(ab)│ ≤ │a│ │b│ , причем равенство возможно только в случае параллельности a и b – неравенство Коши-Буняковского3

  4. ││a│–│b││ │a+b││a│+│b│ – неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон, но больше их разности

Угол между двумя векторами определяется из формулы

(28)

Такое определение угла корректно: в силу неравенства Коши-Буняковского числитель дроби по модулю всегда не больше знаменателя, а сама дробь по модулю не превосходит единицу. Значит угол, косинус которого равен данному выражению, существует.4

Отметим, что введенные определения длин и углов позволяют дать “геометрическое”, определение скалярного произведения: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними

(ab) = │a│ │b│ cos ц (29)

Направлением вектора b называется множество всех векторов, параллельных данному.5 Вектор единичной длины называется нормированным вектором или ортом данного направления. Любой вектор можно нормировать, разделив на его длину: ,где b – орт направления b.

Проекцией вектора a на вектор b (или, что то же самое, на направление вектора b), как и в “обычной” геометрии, называется величина

Прb a = (30)

т.е. скалярное произведение векторов a и b, деленное на модуль b, или, что то же самое, скалярное произведение a на орт направления b.
^

6.1 Базисы в евклидовом пространстве


Ясно, что скалярное произведение, которое мы ввели как сумму попарных произведений координат в некотором исходном базисе, зависит от выбора этого базиса. В частности, от этого зависит, будет данная система векторов ортонормированной или нет. Вообще говоря, всякая числовая функция, удовлетворяющая условиям 1)–3), может быть выбрана в качестве скалярного произведения, т.е. данное линейное пространство может быть превращено в евклидово многими разными способами. Однако можно доказать, что все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу. Поэтому все утверждения, доказанные в некотором евклидовом пространстве размерности n, остаются справедливыми в любом евклидовом пространстве той же размерности.

В произвольном базисе выражение скалярного произведения через координаты, вообще говоря, теряет свою удобную запись в виде (25). Только в ортонормированном базисе (т.е. таком базисе, в котором все векторы взаимно перпендикулярны и длина любого вектора равна единице ­­– ) скалярное произведение сохраняет ту же форму записи, что и в исходном базисе, в котором скалярное произведение было введено:

(ab)= a1b1 + a2b2 + … + anbn =

Таким образом, в евклидовом пространстве возникают “привилегированные” ортонормированные базисы, в то время как в линейном пространстве все базисы были равноправны. Соответственно, возникает проблема, каким условиям должна удовлетворять матрица перехода к новому базису, чтобы он также был ортонормированным.

Пусть матрица ^ C есть матрица перехода от исходного базиса к новому ортонормированному базису. По столбцам ci матрицы C (см. п. 4.6) стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе . Образуем произведение C на транспонированную матрицу (строки равны столбцам C): D = CґC. При перемножении матриц строки левой матрицы скалярно умножаются на столбцы правой, поэтому элементы dik матрицы D образуются как скалярные произведения столбцов матрицы C:

.

Если C описывает переход между ортонормированными базисами, то векторы взаимно ортогональны, значит и столбцы ci ортогональны, значит dik == . Следовательно, CґC = E , то есть есть матрица, обратная к матрице C. Такие матрицы, обратные к которым совпадают с транспонированными, называются ортогональными матрицами. Только такие матрицы обеспечивают переход от ортонормированного базиса к новому также ортонормированному базису. Поскольку при переходах от одного базиса к другому используются как матрицы перехода, так и обратные к ним матрицы (см. (10)-(11)), то ортонормированные базисы обеспечивают большие вычислительные преимущества, поскольку нахождение обратных к соответствующим матрицам перехода чрезвычайно упрощается – нужно просто транспонировать основную матрицу.

В дальнейшем все рассмотрения проводятся для трехмерных евклидовых пространств, если прямо не оговорено противное, причем используются только ортонормированные базисы. Отметим, что почти все результаты (кроме тех, которые связаны с понятием векторного произведения) легко переносятся на случай любого числа измерений.
  1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКовалев Ю. Н., д т. н. Ницын А. Ю., д т. н. Передача субъективного пространства в живописи
В статье раскрыта связь между приемами изображения пространства в мировой живописи и эволюцией сознания человека, цивилизации и общества...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКонкурс на для кандидатов из: Центральной Европы, Балканского Полуострова, Восточной Европы, России, Кавказа и Средней Азии
Охватывает тему истории и современности Центрально-Восточной Европы, России и всего посткоммунистического пространства, фокусируется...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconТрудовая миграция и ее влияние на развитие территориальных социальных систем
Сумская область, как и многие другие области страны, несет значительные издержки в результате оттока рабочей силы. К ним относятся...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconМетодические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической химии
Глушкова Е. М. Качественный анализ. Методические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconРоль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства аджемов артем Сергеевич – ректор мтуси, д т. н., профессор
Роль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи