6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии




Назва6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
Сторінка2/8
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8
^

6.2 Точки в евклидовом пространстве


В трехмерном евклидовом пространстве Е3 стандартным базисом является базис из трех взаимно ортогональных единичных векторов i, j, k. Координаты относительно этого базиса традиционно обозначаются буквами x, y, z соответственно.

Чтобы построить большинство объектов, рассматриваемых в обычной геометрии, нам необходимы точки. Точкой в трехмерном евклидовом пространстве называется упорядоченный набор из трех чисел (x, y, z) – координат точки. В отличие от векторов, для точек не определены алгебраические операции – сложение и умножение на число. Упорядоченная пара точек AB определяет вектор, координаты которого вычисляются как разности соо­тветствующих координат конечной и начальной точек



(31)


Введенные определения позво­ляют рассматривать вектор как направленный отрезок, т.е. как множество точек, “лежащих между” начальной и конечной точками, а каждую точку, соответственно, как конец вектора с такими же координатами, как у точки. При этом хотя и предполагается возможность отложить данный вектор от любой точки, естественное место начала любого вектора – это начало координат 6, а два равных по длине и параллельных вектора, отложенных от разных точек (векторы и а на рисунке) это два экземпляра одного и того же вектора а. Напомним, что вектор – это ведь набор координат в заданном базисе, которые можно складывать, умножать на числа и преобразовывать по правилам (10) при переходе к новому базису, а рисунки служат лишь для того, чтобы призвать на помощь геометрическую интуицию.

Во всех дальнейших рассмотрениях мы будем вектор, соединяющий начало координат с некоторой произвольной точкой, обозначать r, его координаты (т.е. координаты произвольной “текущей” точки) – (x, y, z), а его длину, соответственно .

Любые геометрические объекты – тела, поверхности, фигуры, линии – состоят из точек. Средствами для аналитического описания геометрических объектов служат уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств. Такие системы играют роль “правил отбора” – если координаты точки удовлетворяют заданной системе, то такая точка принадлежит рассматриваемому геометрическому объекту, а если нет, то не принадлежит. Поэтому единственными переменными в этих уравнениях и неравенствах являются координаты “текущей” точки (x, y, z) или ее радиус-вектор r, если уравнения записаны в векторной форме. Все остальные величины, входящие в подобные уравнения и неравенства являются параметрами.7
^
6.2.1 Сферы и шары

Объектами с наиболее простым описанием являются сферы и шары. Сферой с центром в точке (x0, y0, z0) радиуса R называется множество точек, отстоящих от данной точки на расстоянии R. По определению точка принадлежит такому множеству, если длина вектора r-r0 равна R, значит, уравнение сферы имеет вид:

r-r0│= R (32)

или в координатной записи:

. (33)

Однако удобнее пользоваться уравнением, не содержащим корней, поэтому соотношение (33) возводят в квадрат и получают обычно употребляемое каноническое уравнение сферы:

(34)

Шаром называется тело, ограниченное сферой (т.е. шар это внутренность сферы), соответственно, уравнение шара имеет вид:

r-r0│ < R

(35)8

Ясно, что определения шара и сферы без всяких затруднений переносятся на случай евклидова пространства любого числа измерений. Отметим, что двумерную сферу называют окружностью, а двумерный шар кругом.

В уравнениях и неравенствах (32-35), переменными являются r, x, y, z , а параметрами – r0, x0, y0, z0 и R, т.е. параметрами сферы/шара являются координаты центра и радиус.

Аналитически решить геометрическую задачу означает обычно определить параметры искомого объекта. Например:

Задача: описать окружность вокруг правильного треугольника АВС: А(0, 0), В(2, 0), С(1, ) (нарисуйте!).

^ Решение: центр окружности, описанной вокруг правильного треугольника, лежит на его высоте на расстоянии одной трети высоты от основания. Значит х-координата центра х0 =1, а у-координата у0 = 3. Радиус описанной окружности равен двум третям высоты R = 23. Таким образом, используя (34) и найденные значения параметров, получим уравнение искомой окружности


^
6.2.2 Замечание о размерностях

Ранее мы ввели понятие о размерности линейного пространства. Однако большинство геометрических объектов линейными пространствами не являются (даже прямые и плоскости не являются линейными пространствами, если они не проходят через начало координат). Строгое определение размерности геометрических объектов выходит за рамки настоящего пособия, но можно высказать некоторые соображения, которые помогут составить интуитивное представление о размерности. Более-менее очевидно, что прямые и плоскости, не являющиеся линейными пространствами, имеют ту же размерность, что и те прямые и плоскости, которые пространствами являются, т.е. прямые одномерны, а плоскости двумерны. Интуитивно представляется ясным, что плоским фигурам также следует приписать размерность два, а отрезкам прямых размерность один. Кривые лини и поверхности можно рассматривать как отрезки и плоские фигуры, которые были подвергнуты непрерывной деформации. Разумно полагать, что непрерывная деформация объекта не может изменить такой фундаментальной характеристики, как размерность. Поэтому криволинейной поверхности как деформированной плоскости приписывается размерность два, а кривой на плоскости или в пространстве приписывается размерность один. Но можно взглянуть на проблему размерности и с точки зрения аналитического описания объекта. Здесь можно руководствоваться следующим правилом: каждое уравнение, входящие в описание объекта, снижает его размерность на единицу. Таким образом, одно линейное уравнение в трехмерном пространстве описывает двумерный линейный объект, т.е. плоскость, а одно линейное уравнение на плоскости описывает одномерный линейный объект, т.е. прямую. Соответственно, система двух линейных уравнений в пространстве описывают одномерный линейный объект, т.е. прямую. Если к уравнениям добавить неравенства, то получим части соответствующих объектов – фигуры на плоскости или отрезки на прямой (может быть полуплоскости, лучи или другие неограниченные объекты). Если уравнения, которые описывают объекты, нелинейные, то будут получаться “кривые” объекты, но той же размерности. Так, квадратное уравнение (34) описывает поверхность в трехмерном пространстве, а именно сферу , а аналогичное уравнение с двумя переменными:

(36)

описывает окружность на плоскости, т.е. одномерный объект. Как видим и для нелинейных уравнений действует правило, что одно уравнение отнимает одну “степень свободы”, то есть, снижает размерность на единицу. Можно показать, что размерность объекта есть число независимых переменных, необходимое чтобы ввести на объекте внутренние (возможно, криволинейные) координаты.

Приведенные соображения нуждаются в двух уточнениях. Во-первых, размерность объекта равна размерности пространства минус число уравнений описания при одном важном условии: эти уравнения должны быть независимы. Для линейных уравнений вопрос о числе независимых уравнений это вопрос о ранге системы, т.е. максимальном порядке ненулевого определителя, составленного из коэффициентов уравнений. Для нелинейных уравнений можно построить аналогичный критерий, но он будет иметь локальный характер, поскольку элементы определителя будут функциями, а значит, ранг может изменяться от точки к точке.

Во-вторых, в некоторых, впрочем, довольно редких случаях, одно уравнение снижает размерность больше, чем на единицу. Например, уравнение x + y22 + z2 = 0 имеет единственное решение – точку с координатами (0, 0, 0), то есть объект размерности нуль; тем самым одно уравнение понизило размерность сразу на три единицы. Однако, как уже было сказано, такие случаи можно рассматривать как исключения.
1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКовалев Ю. Н., д т. н. Ницын А. Ю., д т. н. Передача субъективного пространства в живописи
В статье раскрыта связь между приемами изображения пространства в мировой живописи и эволюцией сознания человека, цивилизации и общества...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКонкурс на для кандидатов из: Центральной Европы, Балканского Полуострова, Восточной Европы, России, Кавказа и Средней Азии
Охватывает тему истории и современности Центрально-Восточной Европы, России и всего посткоммунистического пространства, фокусируется...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconТрудовая миграция и ее влияние на развитие территориальных социальных систем
Сумская область, как и многие другие области страны, несет значительные издержки в результате оттока рабочей силы. К ним относятся...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconМетодические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической химии
Глушкова Е. М. Качественный анализ. Методические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconРоль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства аджемов артем Сергеевич – ректор мтуси, д т. н., профессор
Роль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи