6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии




Назва6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
Сторінка3/8
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8
^

6.3 Плоскости в пространстве




В геометрии плоскость определялась как некоторое множество точек. С каждой точкой на плоскости можно связать вектор, заканчивающийся в этой точке. Однако, если плоскость не проходит через начало координат, как плоскость P на рисунке, то соответствующие векторы (r и r0 на рисунке) заканчиваются на плоскости, но плоскости не принадлежат. Однако разности таких векторов, например r-r0, уже принадлежат плоскости9 P. Из геометрии известно, что прямая l, перпендикулярная к данной плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, а значит и к любому вектору, принадлежащему данной плоскости. Таким свойством будет обладать и любой вектор, параллельный прямой l. Такие векторы называются нормалями к плоскости и, обычно, обозначаются n. Координаты нормали к плоскости по традиции обозначают буквами А, В и С. Таким образом пусть , , , где r радиус-вектор текущей точки с координатами (x, y, z), r0 радиус-вектор фиксированной “базисной” точки с координатами (x0, y0, z0), а n вектор нормали. Так как вектор r-r0 принадлежит плоскости Р, то он перпендикулярен нормали n. С другой стороны, если r заканчивается в точке, не находящейся на плоскости Р, то r-r0 не будет перпендикулярен n. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Значит, условие

(r-r0 n) = 0 (37)

выделяет из всех векторов r те и только те векторы, которые заканчиваются на плоскости Р. Это и есть искомое “правило отбора”, то есть уравнение плоскости. Записав (37) в координатном виде, получим:

A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0 (38)

Отметим, что поскольку координаты вектора и точки, в которой он заканчивается, совпадают, мы можем рассматривать (x, y, z) как координаты точек пространства, а уравнение (38) как соотношение, позволяющее определить, принадлежит ли данная точка плоскости, или нет. Мы получили основное уравнение плоскости.10
^
6.3.1 Неединственность выбора параметров. Каноническая форма уравнения плоскости

Уравнение (38) содержит три переменных х, у, z и шесть параметров. В приведенной записи уравнения параметры и переменные мало отличаются и те, и другие обозначаются буквами латинского алфавита. Однако это справедливо только при записи общего уравнения если записать уравнение некоторой конкретной плоскости, то параметры примут конкретные числовые значения. Так, например, уравнение 2(х-3)+3у–5(z+7)=0 описывает плоскость, проходящую через точку с координатами (3, 0, -7) и перпендикулярную вектору .

Отметим важную особенность уравнения плоскости: изменение параметров уравнения не обязательно приводят к изменению самого объекта, одной плоскости отвечает много уравнений.

Во-первых, вектор нормали n определен “с точностью до множителя”, т.е. если n нормаль к плоскости, то и n тоже нормаль при любом вещественном ≠0. Это значит, что если параметры А, В, С одновременно умножить на одно и тоже число, то хотя запись уравнения изменится, но оно будет описывать ту же самую плоскость. Действительно, умножение на число не меняет направления вектора, значит, новая нормаль перпендикулярна к той же плоскости.

В выборе базисной точки мы тоже располагаем определенной свободой: в качестве таковой можно выбрать любую точку на плоскости. То есть уравнения, с разными наборами параметров х0, у0, z0 , причем даже не обязательно, чтобы это были пропорциональные величины, описывают один и тот же объект. Уравнению плоскости можно придать несколько иную форму, где указанная неоднозначность будет уменьшена. Для этого в уравнении (38) раскроем все скобки и выпишем рядом все величины, не содержащие переменных

Ax+By+Cz (Ax0+By0+Cz0) = 0

Выражение в скобках при заданных значениях всех параметров представляет собой просто число, поэтому можем ввести обозначение

D = (Ax0+By0+Cz0)

С учетом введенного обозначения, уравнение плоскости примет вид:

Ax+By+Cz+D = 0 (39)

Уравнение (39) называется каноническим уравнением плоскости. Удобство этой формы уравнения в том, что здесь все четыре параметра определены с точностью до множителя. Однако непосредственно наглядного геометрического смысла параметр D не имеет, и при решении задач во многих случаях более удобной представляется форма (38). Уравнение (39) представляет собой общий вид линейного уравнения с тремя переменными. Как мы показали, к этому виду может быть приведено уравнение любой плоскости. Справедливо и обратное утверждение: всякое линейное уравнение с тремя переменными есть уравнение некоторой плоскости. Разумеется, соответствие между заданным уравнением и конкретной плоскостью может быть установлено только после выбора базиса в разных базисах одна и та же плоскость будет иметь разные уравнения.
^
6.3.2 Геометрический смысл параметров уравнения плоскости

Выясним геометрический смысл параметров уравнения (38). Три из них А, В, С являются координатами вектора-нормали и определяют направление плоскости. Это значит, что у любой плоскости, параллельной данной, параметры А, В, С такие же или пропорциональные А:А1 = В:В1 = С:С1 , поскольку как уже было отмечено, вектор нормали определен “с точностью до множителя”. Семейство параллельных плоскостей это множество плоскостей с общей нормалью, и их можно представлять себе нанизанными на общую нормаль, как плоские кусочки мяса на шашлычный шампур. Углы между плоскостями равны углам между их нормалями.

Параметры х0, у0, z0 являются координатами некоторой “базисной” точки на плоскости, это параметры положения, поскольку зафиксировав точку мы выбираем одну плоскость из семейства параллельных плоскостей. Так, плоскость, параллельная данной плоскости 4(х+3)+3(у+6)–3(z1)=0 и проходящая через начало координат, имеет уравнение: 4х+3у–3z = 0 (в уравнение плоскости, проходящей через начало координат, “исчезают” параметры х0, у0, z0 и, соответственно, круглые скобки).

Пусть в уравнении плоскости отсутствует одна из переменных (например, z): 2(х6) + у = 0 , что, естественно, означает, что коэффициент, стоящий перед z, равен 0.

Это уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (6, 0, z)11. Так как z-координата нормали равна

0, то нормаль перпендикулярна оси z, а значит, сама плоскость оси z параллельна. Такая плоскость вместе с любой точкой содержит и вертикальную прямую, проходящую через эту точку. Именно с этим и связана неопределенность третьей координаты базовой точки в уравнении плоскости. Итак, установлено, что если в уравнении плоскости отсутствует одна из переменных, это означает, что плоскость параллельна соответствующей оси.

Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменных (например, уравнение имеет вид: 3у = 9), это означает, что описываемая уравнением плоскость параллельна координатной плоскости (xOz) и перпендикулярна координатной оси (у).
^
6.3.3 Плоскости и линейные функционалы

Напомним (см. разд. 4), что линейная числовая функция (оператор) f(r), определенная в линейном пространстве, называется линейным функционалом. Рассмотрим такие функционалы, определенные в трехмерном евклидовом пространстве Е3. Так как множеством значений такой функции является вещественная прямая R, то есть, одномерное пространство, то, согласно теореме 6, ядро f(r) (множество решений уравнения f(r)=0) это двумерное линейное подпространство, то есть плоскость, проходящая через начало координат. Обозначим значения, которые принимает функционал на базисных векторах Е3 следующим образом: f(i) = А, f(j) = В, f(k) = С. Поскольку любой вектор r в Е3 представляется в виде r = xi + yj + zk , то пользуясь тем, что f(r) линейный функционал, получим:

f(r) = f( xi + yj + zk ) = xf(i) + yf(j) + zf(k) = Ax + By + Cz (40)

Соответственно, уравнение ядра f(r) примет вид

Ax+By+Cz = 0

то есть хорошо нам знакомый стандартный вид уравнения плоскости, проходящей через начало координат. Множество точек в Е3, на котором числовая функция (не обязательно линейная) принимает некоторое постоянное значение, называется поверхностью уровня этой функции. Уравнение поверхности уровня линейного функционала в Е3, отвечающей значению D, в соответствии с (40), примет вид:

Ax+By+Cz = D Ax+By+Cz + D= 0

а это хорошо знакомое нам каноническое уравнение плоскости (39). Таким образом, любая плоскость в Е3 есть поверхность уровня некоторого линейного функционала. С этой точки зрения параметр уравнения плоскости приобретает естественный смысл: он равен значению функционала на данной плоскости с противоположным знаком. 12

Сделаем еще одно важное замечание. Если рассматривать числа А, В, С как координаты некоторого вектора m, то, как видно из (40), значение функционала на произвольном векторе r может быть вычислено как скалярное произведение r на m

f(r) = Ax + By + Cz = (m r)

Таким образом, любой линейный функционал в Е3 может быть представлен в виде скалярного произведения на некоторый, фиксированный для данного функционала, вектор.
^
6.3.4 Сводка формул: плоскость

В завершение параграфа напомним полученные результаты:

  1. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями

(41)

  1. Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормали параллельны 13

(42)

  1. Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормали перпендикулярны

А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0 (43)

1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКовалев Ю. Н., д т. н. Ницын А. Ю., д т. н. Передача субъективного пространства в живописи
В статье раскрыта связь между приемами изображения пространства в мировой живописи и эволюцией сознания человека, цивилизации и общества...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКонкурс на для кандидатов из: Центральной Европы, Балканского Полуострова, Восточной Европы, России, Кавказа и Средней Азии
Охватывает тему истории и современности Центрально-Восточной Европы, России и всего посткоммунистического пространства, фокусируется...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconТрудовая миграция и ее влияние на развитие территориальных социальных систем
Сумская область, как и многие другие области страны, несет значительные издержки в результате оттока рабочей силы. К ним относятся...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconМетодические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической химии
Глушкова Е. М. Качественный анализ. Методические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconРоль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства аджемов артем Сергеевич – ректор мтуси, д т. н., профессор
Роль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи