6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии




Назва6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
Сторінка4/8
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8
^

6.4 Прямые в пространстве




Как и плоскость, прямая l в пространстве является подпрост­ранством лишь в том случае, когда она проходит через начало координат. Как и в случае плоскости, векторы, которые на прямой l заканчиваются, этой прямой не принадлежат, но прямой l принадлежат разности таких векторов. Выберем на прямой некоторую точку и обозначим r0 вектор, который заканчивается в этой точке. Тогда разность между любым вектором r , который заканчивается на прямой, и вектором r0 будет принадлежать прямой l (строго говоря, прямой, которая параллельна l и проходит через начало координат). Это условие критериальное, то есть оно выполнено для всех векторов, заканчивающихся на прямой l, и не выполнено для всех остальных векторов. Обозначим t некоторый вектор, параллельный l; в дальнейшем мы будем называть его направляющим вектором прямой. Координаты направляющего вектора t по традиции обозначаются m, n, p : t = Условие принадлежности вектора rr0 прямой l эквивалентно условию параллельности вектора rr0 вектору t, поскольку все векторы, лежащие на одной прямой, параллельны друг другу. Условие параллельности векторов есть условие пропорциональности их координат, таким образом, из условия rr0 t, учитывая, что , получим: (44)

Уравнение (44) называется каноническим уравнением прямой.
^
6.4.1 Геометрический смысл параметров уравнения прямой

Во-первых, отметим такой факт: уравнение прямой это, вообще говоря, не уравнение, а система двух уравнений с тремя переменными. Это видно из того, что каноническое уравнение прямой содержит два знака равенства, что соответствует нашим рассуждениям о размерности в п. 6.2.2: ведь прямая одномерный объект, и должна в трехмерном пространстве описываться системой из двух уравнений (в n–мерном пространстве системой из n–1 уравнения).

Координаты “текущей” точки в пространстве(x, y, z) можно рассмат­ри­вать как переменные, а координаты фиксированной “базисной” точки на прямой (x0, y0, z0) как параметры. Координаты такой точки являются пара­метрами положения прямой при их изменении прямая перемещается параллельно самой себе. Величины (m, n, p) играют роль параметров направления при их изменении прямая поворачивается в пространстве.

Далее, как и в уравнении плоскости, параметры направления определены “с точностью до множителя”, то есть, если величины (m, n, p) умножить на одно и тоже число, получим эквивалентную систему уравнений, которая описывает ту же прямую14.

Отметим еще одну важную особенность параметров направления один или даже два из них могут равняться нулю (в уравнении прямой можно “делить на 0”!). Разумеется, никакого деления на 0 реально не происходит. Уравнение описывает прямую, проходящую через точку (3, 2, 5) и параллельную вектору с координатами (1, 3, 0). Такой вектор перпендикулярен оси z (имеет на эту ось нулевую проекцию) и параллелен плоскости хОу; соответственно, так же расположена и прямая. Значит, третья дробь в уравнении прямой с нулевым знаменателем означает, что z-координата фиксирована и для всех точек прямой равна 5. Следовательно, равенство нулю какого-либо из знаменателей означает перпендикулярность прямой соответствующей оси и постоянство соответствующей координаты для всех точек прямой. Разумеется, все приведенные соображения справедливы лишь для канонического уравнения прямой. Если прямая записана не в каноническом виде, то чтобы воспользоваться всеми приведенными результатами необходимо сначала привести уравнение прямой к каноническому виду.
^
6.4.2 Прямая, проходящая через две заданные точки

Рассмотрим одну из наиболее распространенных и важных задач, связанных с прямой. Пусть нужно найти уравнение прямой, которая проходит через точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2). Для того, чтобы получить каноническое уравнение прямой, нам нужны базовая точка и вектор, параллельный прямой. В качестве базовой мы можем выбрать любую, из заданных нам точек, например А. Далее, пара точек А и В в евклидовом пространстве всегда позволяет образовать вектор , их соединяющий. Этот вектор лежит на искомой прямой, и именно этот вектор разумно принять в качестве направляющего вектора прямой. Так как

, то уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) в соответствии с (44) примет вид :

(45)
^
6.4.3 Сводка формул: прямая в пространстве

В завершение пункта приведем ряд формулировок относительно взаиморасположения двух прямых или прямой и плоскости.

  1. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами:
    (46)

  2. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы параллельны

(47)

  1. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны

m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0 (48)

  1. Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор параллелен нормали к плоскости

tn (49)

  1. Угол между прямой и плоскостью есть дополнительный до прямого угла к углу между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

(50)
1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКовалев Ю. Н., д т. н. Ницын А. Ю., д т. н. Передача субъективного пространства в живописи
В статье раскрыта связь между приемами изображения пространства в мировой живописи и эволюцией сознания человека, цивилизации и общества...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКонкурс на для кандидатов из: Центральной Европы, Балканского Полуострова, Восточной Европы, России, Кавказа и Средней Азии
Охватывает тему истории и современности Центрально-Восточной Европы, России и всего посткоммунистического пространства, фокусируется...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconТрудовая миграция и ее влияние на развитие территориальных социальных систем
Сумская область, как и многие другие области страны, несет значительные издержки в результате оттока рабочей силы. К ним относятся...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconМетодические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической химии
Глушкова Е. М. Качественный анализ. Методические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconРоль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства аджемов артем Сергеевич – ректор мтуси, д т. н., профессор
Роль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи