6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии




Назва6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
Сторінка5/8
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8
^

6.5 Прямые на плоскости


Прямую на плоскости можно рассмотреть с двух точек зрения. С одной стороны, ее можно рассмотреть как прямую в двумерном пространстве. Тогда, как всякая прямая в пространстве любой размерности, это будет множество точек, пары которых образуют векторы, параллельные данному вектору t, и особенность двумерного случая лишь в том, что t двумерный вектор, . Уравнение прямой в этом случае примет вид:

(51)

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Формулы (45)(48), которые определяют уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, и взаимное расположение прямых в пространстве, справедливы и для прямых на плоскости, записанных в канонической форме. Разумеется, применяя указанные формулы для прямых на плоскости, следует исключить из них параметр р и переменную z.

С другой стороны, прямую на плоскости можно рассматривать как ги­перплоскость, т.е. сдвинутое на некоторый постоянный вектор подпрост­ранство, размерности n1 – ведь в случае плоскости n1 =1, и, значит, ги­перплоскость это прямая. Соответственно уравнение прямой на плоскости можно записать в форме уравнения плоскости, но для двух переменных:

A(xx0) + B(yy0) = 0 (52)

Естественно, когда уравнение прямой записывается в виде (52) (“прямая как плоскость”), вектор это вектор, перпендикулярный к прямой (нормаль). Если в качестве координат вектора нормали к прямой использовать координаты направляющего вектора другой прямой, получим пару взаимно перпендикулярных прямых:

m(xx1) + n(yy1) = 0 (53)

Действительно, нормаль ко второй из указанных прямых l2 параллельна первой из этих прямых l1, это значит, что прямые перпендикулярны. Для прямых на плоскости, записанных в форме (52), сохраняют справедливость формулы (41)(43), если исключить из них параметр С и переменную z.



Взаимное расположение прямых, уравнения которых записаны в альтернативной форме, характеризуется такими формулами:

  1. Угол между прямыми есть угол, дополняющий до прямого угол между направляющим вектором t1 одной и нормалью n2 к другой прямой:



(54)

  1. ^ Прямые параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор одной прямой перпендикулярен нормали к другой прямой:

m1А2 + n1В2 = 0 (55)




  1. Прямые перпендику-лярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор t1 одной прямой параллелен нормали n2 к другой прямой :

(56)


^

6.6 Векторное и смешанное произведение. Площади и объемы


Векторным произведением [ab] векторов a и b называется вектор c, который равен определителю, в первой строке которого стоят стандартные базисные орты, а во второй и третьей строке координаты векторов-сомножителей

(57)

Векторное произведение обозначается также [ab] или ab.

Свойства векторного произведения:

  1. [ab] = [ba] в отличие от скалярного произведения, векторное произведение антикоммутативно.

  2. [ab] = [ab] = [ab] числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.

  3. [a(b+с)] = [ab] + [] для векторного произведения справедлив распределительный (дистрибутивный) закон

  4. [ab] = 0 тогда и только тогда, когда векторы a и b параллельны. В частности, [a0] = 0 a (т.о., нуль-вектор параллелен любому вектору).

Свойства 1.4. векторного произведения есть очевидные следствия свойств определителей, приведенных в пункте 3.3. Так свойство 1. следует из свойства 4 п.3.3, свойство 2. из свойства 2 п.3.3 и т.д.

Можно показать, что модуль векторного произведения не изменяется при переходах от одного ортонормированного базиса к другому. Направление векторного произведения изменится на противоположное, если один из векторов базиса изменит направление на противоположное.

Подобно скалярному, векторному произведению можно дать геометрическое, то есть, не зависящее от выбора системы координат, определение. Векторным произведением [ab] векторов a и b называется вектор c, который:

  1. перпендикулярен плоскости векторов a и b;

  2. направлен так, что если смотреть из его конца, то для совмещения первый сомножитель ко второму следует поворачивать против часовой стрелки;

  3. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, т.е. произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между ними:

│[ab]│= │a│ │bsinц (58) ,

в частности, модуль вектор­ного произведения взаимно перпендикулярных векторов равен произведению длин векторов-сомножителей.

Легко убедиться, что орты стандартного базиса связаны соотношением [ij]=k . Такие системы координат (базисы), третий орт которых есть векторное произведение первого орта на второй, называются лево ориентиро­ванными или просто левыми, если же [ij]= k , то такие системы координат (базисы) назы­ваются право ориентированными или же правыми. При переходах между базисами различной ориентации век­торное произведение меняет направ­ление на противоположное.

Векторное произведение естествен­но использовать в задачах, связанных с вычислением площадей. Как следует из (57) и (58), площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b равна:

│[ab]│= (60)


^
6.6.1 Смешанное произведение и вычисление объемов

Умножим векторное произведение векторов a и b скалярно на некоторый третий вектор с: (с [ab]), такое произведение трех векторов называется скалярно-векторным или смешанным произведением .

(61)

Сумма, стоящая в правой части (61), получилась как сумма попарных произведений координат сомножителей, с учетом того, что координаты [ab] есть коэффициенты при i, j, k в выражении (57). Правая часть (61) есть правая часть (57), в которой векторы i, j, k заменили координатами вектора с: cx, cy, cz . Значит правая часть выражения (61) представляет собой разложение по элементам первой строки определителя

(62)

^ Смешанное произведение трех векторов равно определителю, по строкам которого стоят координаты векторов в том порядке, как они записаны в смешанном произведении.

Смешанное произведение наследует общие свойства векторного и скалярного произведения, а именно:

  • множитель, стоящий перед любым из сомножителей, можно выносить за знак смешанного произведения;



  • смешанное произведение дистрибутивно: “произведение суммы равно сумме произведений” , т.е. если один из сомножителей представлен в виде суммы, то смешанное произведение равно сумме соответствующих смешанных произведений, напри­мер: (с [a+db])= (с [ab]) + (с [db])

  • модуль смешанного произ­ведения трех взаимно ортогональ­ных векторов равен произведению их длин (проверьте!);

  • если поменять местами любые два сомножителя, смешанное произведение сменит знак (очевид­ное следствие свойств определи­телей).

Выясним вопрос о геометрическом смысле смешанного произведения. Пусть для наглядности сомножители a и b, входящие в векторное произведение, расположены в плоскости xOу , а вектор c расположен под некоторым углом к плоскости xOу. Тогда векторное произведение [ab] параллельно оси z, а величина смешанного произведения равна произведению │[ab]│ на проекцию вектора с на вектор [ab], т.е. на ось z: │(с[ab])│=│[ab]│Прzс. Если построить на векторах a,b,c параллелепипед, то Прzс будет его высотой, а │[ab]│ площадью параллелограмма, лежащего в основании. Но произведение площади основания на высоту есть объем параллелепипеда. Таким образом, модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях.

Полученный нами результат допускает обобщение. В самом деле, если векторы a и b расположены в плоскости xOу, то, учитывая, что az=bz=0, площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, равна 15:

│[ab]│=

Значит, объем трехмерного параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю определителя, по строкам которого стоят координаты трех образующих векторов, а объем (площадь) двумерного параллелепипеда (параллелограмма), построенного на двух векторах, равен модулю аналогично сконструированного определителя второго порядка. Естественное обобщение: геометрический смысл модуля определителя n-го порядка это объем n-мерного параллелепипеда, построенного на строках (столбцах) определителя. Знак определителя позволяет различать “левые” и “правые” ориентации систем векторов.16
1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКовалев Ю. Н., д т. н. Ницын А. Ю., д т. н. Передача субъективного пространства в живописи
В статье раскрыта связь между приемами изображения пространства в мировой живописи и эволюцией сознания человека, цивилизации и общества...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКонкурс на для кандидатов из: Центральной Европы, Балканского Полуострова, Восточной Европы, России, Кавказа и Средней Азии
Охватывает тему истории и современности Центрально-Восточной Европы, России и всего посткоммунистического пространства, фокусируется...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconТрудовая миграция и ее влияние на развитие территориальных социальных систем
Сумская область, как и многие другие области страны, несет значительные издержки в результате оттока рабочей силы. К ним относятся...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconМетодические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической химии
Глушкова Е. М. Качественный анализ. Методические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconРоль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства аджемов артем Сергеевич – ректор мтуси, д т. н., профессор
Роль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи