6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии




Назва6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
Сторінка7/8
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8
^

6.8 Задачи и решения

6.8.1 Плоскости и прямые

1. Через точку (6; 9; -2) провести плоскость, параллельную плоскости

11x – 2y + 3z = 0.▄

Общее уравнение плоскости имеет вид

A(x-x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0

где (x0,y0,z0) - координаты точки на плоскости, а (A,B,C) - координаты вектора нормали к плоскости. Исходя из условия задачи, можем в качестве (x0,y0,z0) использовать (6; 9; -2). Далее заметим, что у двух параллельных плоскостей векторы нормалей также параллельны, в частности, могут и совпадать. Следовательно, плоскость: 11(x–6) – 2(y–9) + 3(z+2) = 0 удовлетворяет всем условиям задачи.

2. Через точку (5; –1; –1) провести прямую, перпендикулярную плоскости 8x + 2y + 4z – 11 = 0.▄

Общий вид канонического уравнения прямой:



где (x0,y0,z0) – некоторая (базовая) точка, через которую проходит заданная прямая, а = (m; n; p) – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор). Поскольку одна точка нам задана, то можем ее принять за базовую, тогда уравнение искомой прямой примет вид



Таким образом, нам осталось определить координаты направляющего вектора прямой. Так как по условию прямая должна быть перпендикулярна плоскости 8x + 2y + 4z – 11 = 0, то она сама и ее направляющий вектор должны быть параллельны нормали к этой плоскости (8; 2; 4). Поскольку длина направляющего вектора несущественна, в качестве такого вектора можно взять вектор нормали к плоскости. Окончательно получим уравнение искомой прямой







1. Через точку (7; 0; -3) провести плоскость, перпендикулярную к прямой



Общее уравнение плоскости имеет вид

A(x-x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0

где (x0,y0,z0) – координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора нормали к плоскости. Исходя из задачи, можем в качестве координат точки на плоскости (x0,y0,z0) использовать заданные координаты (7; 0; -3). Тогда уравнение плоскости приобретет вид

А(x-7) + В(y-0) + С(z+3) = 0

Далее, заметим, что поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны, вектор нормали к искомой плоскости параллелен данной прямой. Следовательно, нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой также должны быть параллельны, в частности, могут и совпадать. Чтобы определить координаты направляющего вектора необходимо привести уравнение прямой к каноническому виду, для чего следует в первом отношении (левой части уравнения прямой) числитель и знаменатель разделить на коэффициент при переменной х. Получим уравнение 19



Следовательно, вектор (–2; 0; 2) – направляющий вектор исходной прямой – можно использовать в качестве нормали к плоскости. Таким образом, окончательно получим

–2(x-7) + 2(z+2) = 0

4. Через точку (–2; 5; 3) провести прямую, параллельную прямой



Прежде всего, приведем уравнение данной прямой к каноническому виду



где (x0,y0,z0) – некоторая (базовая) точка, через которую проходит заданная прямая, а = (m; n; p) – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор). Для этого поделим числитель и знаменатель первого отношения на коэффициент при x ,а второго отношения на коэффициент при y . Получим



Поскольку одна точка на искомой прямой нам задана, то можем ее принять за базовую. А так как искомая прямая параллельна данной, то и их направляющие векторы параллельны, в частности, могут и совпадать. Таким образом, получим уравнение искомой прямой



5. На плоскости через точку (0;-3) провести прямую, параллельную прямой



Поскольку направляющий вектор искомой прямой такой же, как у заданной прямой, и базовая точка дана, можем сразу же написать уравнение искомой прямой – оно получится в той же форме, что и уравнение заданной прямой20



6. На плоскости через точку (0;-3) провести прямую, перпендикулярную прямой



Так как требуется найти уравнение прямой перпендикулярной к данной, то целесообразно искать его в альтернативной форме: если исходная прямая записана через направляющий вектор (как прямая в пространстве), то уравнение искомой прямой целесообразно искать через нормаль (как плоскость в пространстве). Так как прямые перпендикулярны, то нормаль к искомой прямой параллельна направляющему вектору заданной прямой, в частности, эти векторы можно считать равными. Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид: 5x + 4(y + 3) = 0
1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКовалев Ю. Н., д т. н. Ницын А. Ю., д т. н. Передача субъективного пространства в живописи
В статье раскрыта связь между приемами изображения пространства в мировой живописи и эволюцией сознания человека, цивилизации и общества...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКонкурс на для кандидатов из: Центральной Европы, Балканского Полуострова, Восточной Европы, России, Кавказа и Средней Азии
Охватывает тему истории и современности Центрально-Восточной Европы, России и всего посткоммунистического пространства, фокусируется...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconТрудовая миграция и ее влияние на развитие территориальных социальных систем
Сумская область, как и многие другие области страны, несет значительные издержки в результате оттока рабочей силы. К ним относятся...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconМетодические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической химии
Глушкова Е. М. Качественный анализ. Методические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconРоль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства аджемов артем Сергеевич – ректор мтуси, д т. н., профессор
Роль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи