6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии




Назва6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
Сторінка8/8
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8
^
6.8.2 Векторы, длины, объемы

1 Вектор спроектировать на прямую L (вычислить длину проекции)

L:

Вычислить проекцию вектора на прямую значит найти проекцию данного вектора на какой-либо вектор, параллельный прямой; в качестве такого вектора можно взять координаты направляющего вектор прямой. Если уравнение прямой записано в каноническом виде



то координаты направляющего вектора равны (m; n; p), в противном случае надо уравнение привести к каноническому виду. В случае прямой L необходимо числитель и знаменатель в первом отношении поделить на 2. Получим:

Теперь задача проектирования вектора на прямую сведена к задаче проектирования вектора на вектор. Длина проекции вектора на вектор



2. Вычислить угол между произведением [] и прямой

; причем



Векторное произведение двух векторов вычисляется как определитель, в первой строке которого стоят базисные векторы, а во второй и третьей строке – координаты векторов-сомножителей.



Угол между вектором и прямой вычисляется как угол между вектором и направляющим вектором прямой . Используя скалярное произведение, получим



Т.е. угол между векторным произведением и прямой равен 0.56 рад.

3. Определить площадь треугольника ABC:



Площадь треугольника вычисляется как половина площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения. Поэтому по трем вершинам треугольника вычислим координаты векторов-сторон .





4. Определить объём параллелепипеда ABCD A1B1C1D1



Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю определителя, по столбцам которого стоят координаты этих векторов. По заданным четырем не лежащим в одной плоскости вершинам параллелепипеда можем построить три необходимых вектора. Для этого выберем одну вершину (например, А) в качестве начала, тогда в качестве трех порождающих параллелепипед векторов возьмем , координаты которых вычисляются как разности координат конечной и начальной точек.



Теперь мы можем вычислить объем как модуль определителя21



Отметим, что таким же способом решается вопрос о независимости трех данных трехмерных векторов (столбцов высоты три). Если три вектора зависимы, то они лежат в одной плоскости. Тогда объем параллелепипеда, построенный на этих векторах, равен нулю (параллелепипед сплющился в параллелограмм). То есть, нужно вычислить определитель, по столбцам(строкам) которого стоят координаты векторов, и если он не равен 0, то вектора независимы, иначе – зависимы.

Вопрос о принадлежности четырех данных точек одной плоскости решается вполне аналогично. Выбрав одну из них в качестве начальной, по четырем точкам строите три вектора, вычисляя разности соответствующих координат. Таким образом, вопрос о принадлежности четырех точек одной плоскости сводится к уже изложенному вопросу о независимости трех векторов.

5. Провести плоскость через следующие три точки



Напомним, что уравнение плоскости имеет вид:

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

где (x0,y0,z0) - координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора-нормали к плоскости. Таким образом, задача нахождения уравнения плоскости сводится к определению вектора-нормали и какой-либо точки,

принадлежащей плоскости. В качестве такой точки можно взять любую из данных, например, A. Для нахождения нормали воспользуемся тем, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, в которой они лежат. В качестве таких векторов возьмем .

Мы вычислили определитель путем разложения по элементам третьей строки – это наиболее удобно, поскольку она содержит два нуля. Далее, мы учли что jk = 0i + 1j – 1k; отсюда и получился приведенный выше вектор столбец. Теперь, располагая координатами точки и нормали, напишем уравнение искомой плоскости

0(x–2) + 1(y–1) – (z–0) =0 (y–1) – z = yz – 1 = 0

6. Определить угол между двумя плоскостями





Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями, который вычисляется через скалярное произведение аналогично тому, как это было сделано в примере 2 настоящего раздела. Отметим, что отсутствие переменной z во втором уравнении означает, что третья координата вектора-нормали равна нулю.





7. Определить угол между двумя прямыми:





Легко заметить (см. предыдущую задачу), что по форме эти уравнения похожи на уравнение плоскости в пространстве. Следовательно, речь идет об уравнениях прямых на плоскости, которые заданы с помощью вектора-нормали; нормаль к первой прямой – вектор , а ко второй – вектор . Аналогично предыдущему угол между двумя прямыми равен углу между нормалями к ним, который в свою очередь вычисляется через скалярное произведение



Задача определения угла между прямой и плоскостью также решается подобным образом – она сводится к нахождению угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой . Отметим важное отличие – угол между прямой и плоскостью не равен углу между и , а дополняет его до .
^
6.8.2. Квадратичные формы

Дана квадратичная форма F(x1,x2) = a11x1 + a12x1x2 + a22x222 . Выяснить, является ли она положительно определенной методом Сильвестра и методом собственных значений.

1. В соответствии с критерием Сильвестра, для того, чтобы квадратичная форма F была положительно (или отрицательно), определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные (диагональные) миноры матрицы формы А были одного знака

22

Пусть F(x1,x2) = 11x1 + 8x1x2 + 5x222 . Прежде всего, запишем матрицу А квадратичной формы. В этой матрице элементы a11, a12 совпадают с одноименными коэффициентами квадратичной формы, но a12 и a21 получим, деля коэффициент a12 формы на 2. .Вычислим ее главные миноры:

Т.к. оба главных минора больше 0, то по критерию Сильвестра форма положительно определена.

2. Для того, чтобы форма F(x1,x2) была положительно (отрицательно) определена, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы А были вещественны и положительны (отрицательны). Решая характеристическое уравнение det(A–лE) = 0, получим



Т.к. все собственные числа матрицы А больше нуля, форма положительно определена.


1 Так определенные величины дik называются символами Кронекера

2 Действительно, пусть взаимно ортогональная система оказалась зависимой. Тогда в силу зависимости один вектор (пусть f1) выражается через остальные: f1=2.f2 +3.f3 +…m.fm. Т.к. в силу ортогональности (fifk)= 0 при ik, умножая f1 скалярно на f2 получим (f1f2) =2.(f2 f2)+3.(f3 f2)+…m.(fm f2)=2.(f2 f2)= 0 т.к. f1 и f2 взаимно перпендикулярны. Следовательно, 2=0, т.к. (f2 f2)0 . Аналогично, умножая скалярно f1 на fi, получим, что все i=0, а значит f1 = 0, что невозможно, т.к. по предположению система не содержит нуль-вектора.

3 Напомним, что векторы параллельны только если они пропорциональны a=b

4 Если один из векторов в (28) нуль-вектор, то по определению полагаем =/2, т.е. нуль-вектор по определению перпендикулярен любому вектору.

5 Т.е. направление это одномерное подпространство, за исключением нуль-вектора.

6 Точка есть конец вектора с теми же координатами именно потому, что начальная точка вектора по умолчанию имеет нулевые координаты (см. (31)).

7Переменные это величины, которые могут изменяться в пределах данного объекта, а параметрами называются величины, изменение которых приводит к смене объекта: например, оценки студента в текущей сессии есть его переменные, а имя и отчество это его параметры.

8 Мы дали определение открытого шара. Иногда шаром называют замкнутое множество, т.е. множество, содержащее свою границу. В этом случае знак “<” в (35) нужно заменить на “”

9 Разумеется, строго говоря, вектор r-r0 принадлежит не плоскости P, а параллельной ей плоскости, проходящей через начало координат.

Термин “нормаль” применяется не только по отношению к плоскости, но и к прямой, и к иным, в том числе, нелинейным, геометрическим объектам. Нормаль к объекту означает вектор, перпендикулярный к любому вектору, который данному объекту принадлежит. Отличие “кривых” объектов в том, что они в разных точках имеют разные нормали. Например, нормаль к сфере в данной точке это радиус, проведенный в данную точку. Он перпендикулярен любому вектору, который лежит в плоскости, касательной к сфере в данной точке. В этом же смысле радиус окружности есть нормаль к окружности. Очевидно, что нормали, построенные в разных точках сферы, не параллельны между собой.

10 Наше уравнение описывает плоскость как двумерное подпространство (плоскость, проходящую через начало координат), сдвинутое на вектор r0. Такие объекты “подпространства со сдвигом” называются линейными многообразиями.

11Какое бы значение z мы в уравнение плоскости не подставили, уравнение будет удовлетворено, и плоскость через точку с такими координатами пройдет.

Этот пункт носит характер развернутого замечания, показывающего, что всю теорию плоскостей можно было бы изложить с иной точки зрения с точки зрения линейных функций. Отметим, что при таком подходе наличие скалярного произведения не является обязательным.

12 Разумеется, в пространстве любого числа измерений n можно построить теорию подпространств размерности n1 как ядер линейных функционалов и многообразий размерности n1 как соответствующих подпространств, сдвинутых на постоянный вектор. Такие многообразия размерности n1 в пространстве размерности n называются гиперплоскостями.

13 Напомним, что вектора параллельны только если их координаты пропорциональны

14 Геометрически это соответствует умножению направляющего вектора t на число, при этом меняется его длина, но не меняется направление.

15 Воспользуемся разложением определителя по третьему столбцу и тем, что ¦k¦= 1.

16 Геометрически ясным становится равенство нулю определителя с зависимыми строками (столбцами) . Зависимую систему n векторов можно разместить в (n–1)-мерном подпространстве, значит, n-мерный объем становится равным нулю.

17 Включая произведение на себя, т.е. включая квадраты переменных.

18 Во многих случаях в записи квадратичной формы приведены подобные члены и присутствует только одно из симметричных слагаемых: F(х1, х2) = х12 8 х1х2 + 3 х22 в данном примере отсутствует член х2х1. В таких случаях составляя матрицу квадратичной формы соответствующие элементы матрицы равны половине коэффициента формы. В приведенном примере a12 = a21 = 4.

19 В уравнении прямой может появиться 0 в знаменателе (на 0 можно делить!), т.к. реального деления не происходит. 0 в знаменателе указывает на то, что прямая перпендикулярна оси (в данном случае – оси Y), и координата y вдоль прямой не изменяется, оставаясь равной –1. Т.е., если 0 оказался в знаменателе отношения, то и в числителе такого отношения должен стоять 0.

20 Напомним, что для прямой на плоскости есть две формы канонического уравнения – через нормаль и через параллельный (направляющий) вектор.

21 Мы вычисляем определитель путем разложения по элементам третьего столбца

22 Здесь показано, как выглядит критерий для положительно определенной формы; при отрицательной определенности знаки неравенств чередуются, причем .


1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКовалев Ю. Н., д т. н. Ницын А. Ю., д т. н. Передача субъективного пространства в живописи
В статье раскрыта связь между приемами изображения пространства в мировой живописи и эволюцией сознания человека, цивилизации и общества...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconКонкурс на для кандидатов из: Центральной Европы, Балканского Полуострова, Восточной Европы, России, Кавказа и Средней Азии
Охватывает тему истории и современности Центрально-Восточной Европы, России и всего посткоммунистического пространства, фокусируется...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconТрудовая миграция и ее влияние на развитие территориальных социальных систем
Сумская область, как и многие другие области страны, несет значительные издержки в результате оттока рабочей силы. К ним относятся...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconМетодические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической химии
Глушкова Е. М. Качественный анализ. Методические указания для студентов 2-го курса фармацевтического факультета по аналитической...
6. евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии iconРоль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства аджемов артем Сергеевич – ректор мтуси, д т. н., профессор
Роль информационных технологий в формировании общего образовательного пространства
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи