Основи теорії ймовірності icon

Основи теорії ймовірності




Скачати 254.4 Kb.
НазваОснови теорії ймовірності
Дата05.09.2012
Розмір254.4 Kb.
ТипДокументи

Основи теорії ймовірності

Учбово-методичний комплекс з курсу “Основи теорії ймовірностей для студентів факультету комп’ютерних наук заочної форми навчання


Укладач: А. О. Левитська


ІІ курс, 4 семестр

Вступ

Дисципліна “Теорія ймовірностей” відноситься до фундаментальних дисциплін. Метою вивчення курсу є засвоєння та оволодіння основами теорії ймовірностей як математичної науки, що вивчає закономірності випадкових явищ.

Курс “Теорія ймовірностей” є базовою дисципліною для викладання таких дисциплін: “Математичне програмування”. “Теорія автоматів”, “Економетрія”, “Математична статистика”, “Загальна статистика”.

Викладання курсу базується на теоретико-множинній основі, у зв’язку з чим випадкова подія інтерпретується як деяка множина елементів, а операції над подіями ототожнюються з відповідними операціями над множинами. Поняття ймовірності випадкової події ввадиться аксіоматично, виходячи з аксіоматики А. М. Колмогорова. Така формалізація основних понять теорії ймовірностей дає можливість побудувати математичну модель стохастичного експерименту (ймовірнісний простір) і досліджувати закономірності, що відбувються в експерименті, математичними методами.

В результаті вивчення курсу ”Теорія ймовірностей” студент повинен знати:

основні поняття теорії ймовірностей; класичне, статистичне, геометричне аксіоматичне визначення ймовірності, властивості ймовірності; основні закони розподілу випадкових величин: біноміальний, пуассоновський, гіпергеометричний, рівномірний, нормальний, експотенціальний; числові характеристики випадкових величин та їх властивості; типи зв’язку між випадковими величинами; основні граничні теореми теорії ймовірностей; Лапласа, теорему Пуассона, теорему Чебишева, теорему Бернуллі, центральну граничну теорему “Ляпунова.

вміти:

будувати математичну модель конкретного стохастичного експериемнту, обчислювати ймовірності випадкових подій у різних імовірнісних схемах; знаходити закон розподілу дискретних і функцію розподілу дискретних і неперервних випадкових величин; обчислювати числові характеристики випадкових величин.

Учбова програма

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей

Поняття множини, підмножини. Операції над множинами та закони, яким вони підпорядковуються.

Основне правило комбінаторики. Генеральна сукупність. Вибірка. Вибірка з поверненням і вибірка без повернення. Розміщення з повтореннями та без повторень.переставлення. сполучення. Основні співідношення для сполучень.

Детермінований і стохастичний експерименти. Випадкова подія. Частота події. Властивості частот. Статистична стійкість частот. Імовірність.

Простір елементарних подій. Випадкова подія. Класифікація подій. Алгебра подій.

Класичне визначення ймовірності та його недоліки; властивості ймовірностей у класичній схемі; теорема додавання; комбінаторний підхід до обчислення ймовірностей у класичній схемі.

Статистичне визначення ймовірності та його недоліки.

Геометричні ймовірності. Аксіоматичне визначення ймовірності; властивості ймовірностей; імовірнісний простір.

Тема 2. Умовні ймовірності. Теорема множення. Залежність і незалежність випадкових подій.

Умовна ймовірність. Властивості умовних імовірностей.

Теорема множення. Незалежність двох поезій. Незалежність у сукупності і попарна незалежність подій.

Повна група подій. Формула повної ймовірності. Формула Байеса.

Тема 3. Послідовність незалежних експериментів. Схема Бернуллі. Поліноміальна схема. Граничні теореми в схемі Бернуллі.

Послідовність незалежних експериментів. Схема Бернуллі. Формула Бернуллі.

Поліноміальна схема. Поліноміальні ймовірності.

Граничні теореми в схемі Бернуллі: теорема Пуассона, локальна теорема Муавра-Лапласа, інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Умови їх використання. Таблиці для обчислення відповідних імовірностей в граничних теоремах у схемі Бернуллі. Застоування граничних теорем у схемі Бернуллі при розв’язуванні конкретних задач.

Тема 4. Випадкові величини

Випадкова величина. Функція розподілу та властивості. Типи випадкових величин.

Дискретна випадкова величина та її закон розподілу. Основні закони розподілу цілочислових випадкових величин: біноміальний, Пуассонів, гіпергеометричний.

Неперервна випадкова величина. Функція та щільність розподілу, їх властивості. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин: рівномірний, експоненціальний, нормальний.

Сукупний розподіл кількох випадкових величин. Незалежність випадкових величин. Багатовимірний нормальний розподіл.

Визначення функції випадкових величин. Функція дискретного випадкового аргументу. Розподіл функції від дискретної випадкової величини. Функція неперервного випадкового аргументу. Функція розподілу функції неперервного випадкового аргументу. Теорема про щільність суми двох неперервних незалежних величин.

Тема 5. Числові характеристики випадкових величин

Математичне сподівання випадкової величини, яка задана на дискретному ймовірнісному просторі. Математичне сподівання неперервної випадкової величини. Математичне сподівання випадкового вектора. Властивості математичного сподівання.

Математичне сподівання функції випадкових величин.

Обчислення математичних сподівань випадкових величин, що мають біноміальний, Пуассонів, рівномірний, показниковий, нормальний закони розподілу.

Дисперсія та її властивості. Середнє квадратичне відхилення. Дисперсія функції випадкової величини. Обчислення дисперсії для основних законів розподілу: біноміального, Пуассонова, рівномірного, показникового, нормального.

Дисперсія випадкового вектора (кореляційна матриця).

Коваріація та її властивості. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Тема 6. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Теорема Бернуллі.

Послідовність незалежних випадкових величин. Визначення класу теорем під назвою “Закон великих чисел”.

Нерівність Чебишева та її значення. Теорема Чебишева, наслідок теореми Чебишева; практичні застосування теореми Чебишева.

Теорема Бернуллі та її значення.

Тема 7. Класи граничних теорем теорії ймовірності. Аналітичний апарат доведення граничних теорем: твірні і характеристичні функції. Центральна гранична теорема Ляпунова.

Класи граничних теорем теорії ймовірностей, граничні теореми в схемі Бернуллі, закон великих чисел, центральна гранична теорема.

Твірна функція. Властивості твірних функцій.

Характеристична функція. Властивості характеристичних функцій. Центральна гранична теорема Лапунова та її значення.

Методичні вказівки

При вивченні курсу “Основні теорії ймовірностей” рекомендуються такі підручники:

  1. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей.- М.: Наука, 1987.

  2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей.- М.: Высшая школа, 1998.

  3. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.- М.: Наука. 1988.

  4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1973.

  5. Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики.- М.: Наука, 1977.

Дані методичні вказівки складено відповідно до книги Чистякова В. П. “Курс теории вероятностей”. З метою скорочення далі назва підручника не повторюється, а потім вказуються номера глав, параграфів і задач підручника (задачі розміщені в підручнику в кінці кожної глави).

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей

Вступ; гл. 1, задачі 1,5-7; гл. 2, задачі 1-3, 6, 7. 19, 21.

Матеріал, що стосується елементів теорії множин і комбінаторного аналізу (перші два абзаци теми 1); носить допоміжний характер і вже розглядався в курсі “Дискретна математика”. Тому його слід повторити, звернувшись до відповідних лекцій, або, наприклад, до [5]. Коротко нагадаємо необхідні факти з комбінаторного аналізу.

Основне правило комбінаторики:

Нехай необхідно виконати одну за іншою * дій. Якщо першу дію можна виконати * спосібами, другу дію - * способами. Третю дію – 8 способами і т. д. до *-ої дії, яку можна виконати * способами, то всі * дії можуть бути виконані * способами.

Розглянемо множину * або, як прийнято говорити, генеральну сукупність з * елементів. Виберемо * елементів з А.

Множина *, що складається з * елементів, називається упорядкованою, якщо кожному елементу приписати один із номерів 1, 2, …, К.

Довільна упорядкована множина (*) з * елементів генеральної сукупності А будемо називати упорядкованою вибіркою (або просто вибіркою) об’єма К.

Можливі два способи вибору:

  1. Вибір з поверненням. При цьому способі одного разу видібраний з А елемент фіксується у виборці і знову повертається в А, тобто той самий елемент може бути відібраний декілька разів.

При виборі з поверненням вибірка (*) називається розміщенням з * елементів по * з повтореннями.

Число розміщень з * елементів по * з повтореннями дорівнює * .

  1. Вибір без повернення. При цьому способі вибору одного разу відібраний з А елемент в А не повертається, тобто вибірка не містить однакових елементів.

При виборі без повернення вибірка об’єма * з генеральної сукупності, що містить * елементів, називається розміщенням з * елементів по *.

Два розміщення з * елементів по * вважаються різними, коли вони відрізняються одне від одного або самими елементами, або їх порядком у виборці. Число * різних розміщень з * елементів по * дорівнює * .

Розміщення, в яких * , називаються переставленнями з * елементів.

Число * різних переставлень з * елементів дорівнює * .

Коли при виборі без повернення ми не упорядковуємо елементи вибірки, то отримані таким чином вибірки називаються неупорядкованими вибірками.

Довільна неупорядкована вибірка з * елементів генеральної сукупності А, що містить * елементів, називається сполученням з * елементів по 8.

Два сполучення вважаються різними, якщо вони відрізняються одне від одного хоча б одним елементом.

Число * різних сполучень з * елементів по * дорівнює * .

Має місце тотожність * .

Різне визначення ймовірності (5, 6, 7 абзаца теми 1) більш детально розглядаються в [3], параграфа 2-6.

Щоб добре засвоїти тему 1 необхідно ретельно розібрати задачі, які розв’язуються в підручнику, а також самостйно розв’язати задачі, що рекомендуються.

Приклади розв’язання типових задач.

Задача 1. Побудувати множину * елементарних подій у такому експерименті: кидають монету і відмічають, чи випав греб. Експеримент триває доти, поки герб не випаде двічі.

Нехай * , коли випадає герб при і-ому киданні монети,

  • , коли не випадає герб при і-ому киданні монети.

Тоді простір * елементарних подій складається з * -мірних векторів, * , сума координат кожного з яких дорівнює 2, причому * координата завжди дорівнює 1, тобто * .

Задача 2. З колоди карт (36 карт) навмання вибирають 5 карт. Знайти ймовірність того, що серед них будуть рівно два тузи, одна дама та бубновий король.

Розв’язання. Маємо класичну схему. Треба знайти ймовірність події * серед п’яти карт рівно два тузи, одна дама, бубновий король.

Згідно з класичним визначенням ймовірності події * , де * - число елементарних подій, з яких складається * , * - число елементарних подій, з яких складається * - простір елементарних подій.

Легко зрозуміти, що елементарними подіями в цьому експерименті є різні сполучення по 5 карт з 36 карт.

Тому * , де * - число способів вибрати двох тузів з 4-х; * - число способів вибрати одну даму з 4-х, * - число способів вибрати одного бубнового короля і * - число способів вибрати п’яту карту, яка не може бути тузом, дамою та бубновим королем. Таким чином * .

Питання для самоперевірки

  1. Який експеримент називається стохастичним?

  2. Що є частота події і які вона має властивості?

  3. В чому полягає властивісить статистичної стійкості частот?

  4. Що є предметом вивчення теорії ймовірностей?

  5. Дайте визначення простору елементарних подій, випадкової події, алгебри подій?

  6. Дайте різні визначення ймовірності:

а) класичне;

б) статистичне;

в) геометричне;

г) аксіоматичне.

7. Що є математичною моделлю стохастичного експерименту?

8. Які властивості має імовірність?

Тема 2. Умовні ймовірності. Теорема множення. Залежність і незалежність випадкових подій

Гл. 3, задачі 1, 10, 11, 13, 15.

Перед вивченням теореми множення: * , з’ясуйте для себе поняття добутку подій (Гл. І, параграф 2).

Особливу увагу приділіть формулі повної ймовірності: * , де * повна група подій.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Імовірність влучити в ціль при одному пострілі першим стрільцем дорівнює 0,8, а другим – 0,9. Знайти ймовірність того, що обидва стрільця влучать в ціль.

Розв’язування: Події * перший стрілець влучив в ціль і * другий стрілець влучив в ціль незалежні. Тому за теоремою множення ймовірностей незалежних подій ймовірність події АВ = обидва стрільця влучили в ціль дорівнює * .

Задача 2. Для деякої місцевості середнє число ясних днів в липні дорівнює 25. Знайти ймовірність того, що перші два дні в липні будуть ясними.

Розв’язання: Імовірність події * першого липня буде ясно * дорівнює * . Імовірність події * другого липня буде ясно * за умову, що першого липня буде ясно (подія А), дорівнює умовній ймовірності * .

Шукана ймовірність того, що перші два дні липня будуть ясними, згідно з теоремою множення ймовірностей дорівнює * .

Задача 3. В урні № 1 знаходяться 4 білих і 2 чорних куль, в урні № 2 – 6 білих і 3 чорних куль. З урни № 1 навмання взяли кулю і переклали в урну № 2. Потім з урни № 2 навмання взяли 3 кулі. Знайти ймовірність того, що серед цих 3-х куль є 2 білих кулі.

Розв’язання: За умовою задачі треба знайти ймовірність події * серед 3-х куль є дві білих .

Маємо таку повну групу подій: * з урни 1 взяли 1 білу кулю , * з урни 1 взяли 1 чорну кулю . Згідно з формулою повної ймовірнсоті можна записати * .

Обчислимо ймовірності, що стоять у правій частині останньої формули: * ; * 4 * .

Таким чином. * .

Питання для самоперевірки

  1. Дайте визначення умовної ймовірності.

  2. Дайте визначення незалежності двох подій.

  3. В чому полягають незалежність подій у сукупності та попарна незалежність подій; які пов’язані між собою ці типи незалежностей.

  4. Дайте визначення повної групи подій.

  5. Доведіть формулу повної ймовірності.

  6. Доведіть формулу Байеса.

Тема 3. Послідовність незалежних експериментів. Схема Бернуллі. Поліноміальна схема. Граничні теореми в схемі Бернуллі.

Гл. 4, параграф 1-3, задачі 7, 19, 20, 25.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Два гравці по черзі навмання витягають кулі (без повернення) з урни, яка містить 2 білих і 4 чорних кулі. Перемагає той, хто першим витягне білу кулю. Знайти ймовірність виграшу гравця, який розпочав гру.

Розв’язання: Той факт, що гравець витягає з урни білу (чорну) кулю, будемо позначати 1 (0). Тоді * , де кожна елементарна подія * , * містить на непарних місцях * результати витягання куль для 1-го гравця (який почав гру першим), а на парних – результати витягання куль для 2-го гравця (який гру почав другим).

Наша задача – знайти ймовірність події * виграв гравець, який розпочав груп * .

Подія А містить такі елементарні події: А * . Тому * .

Задача 2. Імовірність появи події у кожному з 100 незалежних випробувань дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що частота події відхилиться від імовірності появи події (за абсолютною величиною) не більше ніж на 0,03.

Розв’язування: За умовою * .

Позначимо шукану ймовірність через *. Тоді згідно з формулою * можна записати * .

З таблиці 2, що розташована в кінці підручника, знаходимо * . Таким чином, шукана ймовірність * .

Питання для самоперевірки

  1. Дайте визначення:

а) послідовності подій;

б) послідовності незалежних подій;

в) схеми Бернуллі;

г) полінеміальної схеми.

  1. Доведіть формулу Бернуллі.

  2. Дайте визначення поліноміального розподілу.

  3. Доведіть теорему Пуассона.

  4. Сформулюйте локальну і інтегральні теореми Муавра-Лапласа.

  5. В чому полягає різниця між локальною і інтегральною теоремами Муавра-Лапласа.

Тема 4. Випадкові величини

Гл. 5, задачі 1, 7, 11, 12

Приклади розв’язання типових задач.

Задача 1. Дискретна випадкова величина задається законом розподілу * , де в верхньому рядку стоять значення * , а в нижньому відповідно ймовірність, з якими * приймає ці значення. знайти функцію розподілу *.

Розв’язання: За визначенням функція розподілу * .

1*. Оскільки найменше значення * дорівнює 2, тому * для будь-якого * . Звідси випливає, що * , якщо * .

2*. Коли * , то * . Тому *, якщо * .

3*. Коли * , то * . Звідси * , якщо * .

4*. Коли * , то * . Звідси * , якщо * .

5*. Коли * , то подія * , тобто достовірна подія, і * Для будь-якого * .

Таким чином, функція розподілу * має такий вигляд: * .

Задача 2. Випадкова величина * задається функцією розподілу: * . Знайти ймовірність того, що * .

Розв’язання: Згідно з формулою (1,4) можна записати * . оскільки * , якщо * , якщо * , то * .

Задача 3. Знайти закони розподілу * і *, якщо сукупний розподіл випадкових величин *, * задається такою таблицею: *

Перший рядок таблиці містить всі можливі значення *, а перший стовпчик – всі можливі значення *, В клітині, якій відповідають, наприклад, значення * , стоїть імовірність * .

Розв’язання: Підсумовуючи ймовірності, що стоять в першому стовпчику, дістаємо * . Аналогічно дістаємо * , * . Отже, * .

Підсумувавши ймовірності, що стоять в першому рядку, будемо мати, що * , а підсумувавши ймовірності, що стоять у другому рядку, дістанемо * . Таким чином * .

Задача 4. Знайти ймовірність попадання двовимірної випадкової величин * в прямокутник, який обмежують прямим * , коли відома функція розподілу * , випадкового вектора * .

Розв’язання: Шукана ймовірність дорівнює * .

Задача 5. Знайти щільність двовимірної випадкової величини (*), коли відома її функція розподілу * .

Розв’язання. За визначенням щільність двовимірної випадкової величини (*) * . Спочатку знаходимо * , а потім * . Отже, * .

Задача 6. Знайти функцію розподілу двовимірної випадкової величини, знаючи її щільність * .

Розв’язання: За визначенням * . В нашому випадку * . Тому * .

Задача 7. Випадкові величини * – незалежні і рівномірно розподілені на [1, 2]. Знайти щільність розподілу * випадкової величини * .

Розв’язання: Використовуємо формулу (6, 7) * .

Оскільки в нашому випадку * , то шукана щільність * .

В останній формулі * , коли * , тобто коли * . Отже, * , коли точка * належить області * , що зображена на рисунку * . Звідси * .

Задача 8. Знайти закон розподілу суми двох незалежних випадкових величин * , кожна з яких має розподіл Пуассона з параметром * відповідно.

Розв’язання: Згідно з умовою * . Тоді * .

Питання для самоперевірки

  1. Дайте визначення випадкової величини.

  2. Дайте визначення функції розподілу і сформулюйте її властивості.

  3. Наведіть приклади дискретних і неперервних випадкових величин.

  4. Дайте визначення багатовимірної випадкової величини та її функції розподілу.

  5. Дайте визначення незалежності випадкових величин.

  6. Сформулюйте теорему про щільність розподілу суми двох незалежних величин.

Тема 5. Числові характеристики випадкових величин

Гл. 6, параграф 1-4; задачі 1, 2, 11.

Основні формули, які треба запам’ятати:

  1. Математичне сподівання дискретної випадкової величини * з множиною значень * є число * , якщо ряд абсолютно * збігається.

  2. Математичне сподівання неперервної випадкової величини * з щільністю розподілу * є число *, якщо * збігається.

  3. Математичне сподівання випадкового вектора * дорівнює *, якщо існують * .

  4. Математичне сподівання функції * дискретної випадкової величини * є число * , якщо ряд збігається абсолютно.

  5. Математичне сподівання функції * неперервної випадкової величини * дорівнює , якщо * збігається.

  6. Властивості математичного сподівання:

    1. Якщо * , то * .

    2. Якщо * , то * .

    3. * = * .

    4. Якщо * незалежні випадкові величини, то * .

В останніх двох формулах, якщо будь-які два математичних сподівання існують, то існує і третє.

  1. Дисперсія випадкової величини * є число * , якщо існує математичне сподівання в правій частині.

  2. При знаходженні дисперсії зручно користуватися формулою * .

  3. Дисперсія випадкового вектора * дорівнює * матриця, * варіація випадкових величин * .

  4. Коефіцієнтом кореляції випадкових величин * називається число * .

Приклади розв’язання типових задач

Задлача 1. Обчислити * , якщо * – незалежні випадкові величини відповідно з такими законами розподілу * .

Розв’язання: Згідно з властивостями математичного сподівання можна записати * . Обчислимо * .

Випадкова величина * має такий закон розпоідлу6 * .

Таким чином, * .

Згідно з властивостями дисперсії можна записати * . Обчислимо * , використовуючи формулу * : * . Випадкова величина * має такий закон розподілу * .

Отже, * , ми обчислили вище. Тому * . Аналогічно знаходимо * . * .

Шукана дисперсія дорівнює * .

Задача 2. Щільність розподілу * має вигляд * .

Обчислити * .

Розв’язання: Оскільки * , тому * .

Переходимо до обчислення * . * , * . Розглянемо окремо інтеграл * . Звідси * . Отже, шукана дисперсія дорівнює * .

Задача 3. * - незалежні випадкові величини; * має експоненціальний розподіл з параметром * ; * - нормально розподілена величина з параметрами * . Знайти коефіцієнт кореляції величин * .

Розв’язання: За визначенням * .

Праву частину останнього виразу перепишемо у такому вигляді * .

Оскільки * незалежні, то * .

Знайдемо *. За умовою щільність розподілу * має вигляд * . Отже, * .

За умовою * - нормально розподілена величина з параметрами * . Звідси * . Підставляємо значення *, * в останній вираз для коефіцієнта кореляції: * .

Питання для самоперевірки

  1. Дайте визначення математичного сподівання і сформулюйте його властивості.

  2. Дайте визначення дисперсії і сформулюйте її властивості.

  3. Дайте визначення коефіцієнта кореляції і сформулюйте його властивості.

Тема 6. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Теорема Бернуллі.

Гл. 4, параграф 5; задачі 23, 24.

Закон великих числе – це назва класу теорем (Чебишева, Бернуллі і т.д.), в яких формулюються умови, за яких сукупна дія багатьох випадкових причин приводить до результату, що майже не залежить від випадку.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Дискретна випадкова величина * має такий закон розподілу * . Використовуючи нерівність Чебишева, оцініть імовірність того, що абсолютна величина відхилення * буде менша за 1.

Розв’язання: Знайдемо математичне сподівання * : * .

Запишемо закон розподілу * : * .

Знайдемо математичне сподівання * : * . Визначим дисперсію * : * .

Використовуємо нерівність Чебишева: * .

Підставляючи в неї * дістаємо шукану оцінку * .

Задача 2. Послідовність незалежних випадкових величин * … задається відповідно законом розподілу * .

Чи можна застосувати до цієї послідовності теорему Чебишева?

розв’язання: Для того, щоб до послідовності випадкових величин можна було застосувати теорему Чебишева, достатньо, щоб ці величини були попарно незалежні, мали скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії (вимога рівномірної обмеженості дисперсії означає, що існує така стала С, що дисперсії всіх величин послідовності не перевершують С).

Оскільки дані випадкові величини незалежні, то вони тим більше попарно незалежні, тобто перша умова теореми виконується.

Перевіримо, чи виконується умова скінченності математичних сподівань: * .

Таким чином, кожна випадкова величина має скінчене математичне сподівання, тобто друга умова теореми також виконується.

Перевіримо, чи виконується умова рівномірної обмеженості дисперсій.

Випишемо закон розподілу * ; * .

Обчислимо математичне сподівання * : * .

Обчислимо дисперсію *, враховуючи, що * : * .

Отже, дисперсії всіх величин послідовності рівномірно обмежені числом * . Таким чином, і третя умова теореми виконується.

Оскільки всі умови теореми Чебишева, то до даної послідовності можна застосувати теорему Чебишева.

Питання до самоперевірки

  1. Сформулюйте нерівність Чебишева.

  2. Сформулюйте теорему Чебишева.

  3. Наведіть приклади застосування теореми Чебишева.

  4. Сформулюйте теорему Бернуллі.

  5. В чому полягає значення теореми Бернулі?

Тема 7. Класи граничних теорем теорії ймовірностей. Аналітичний апарт доведення граничних теорем: твірні і характеристичні функції. Центральна гранична теорема Ляпунова.

Клава 7, параграф1-4; задачі 2, 4, 6, 8.

Класи граничних теорем теорії ймовіріностеій, граничні теореми в схемі Бернуллі (локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа, теорема Пуассона); закон великих числе (теорема Чебишева, теорема Бернуллі); центральна гранична теорема (центральна гранична теорема Ляпунова).

Центральна гранична теорема означає будь-яке твердження про те, що при використанні певних умов функція розподілу суми індивідуально малих випадкових величин із зростанням числа доданків збігається до нормального закону розподілу.

Наведемо дві центральні граничні теореми.

Теорема 1 (теорема Ліндеберга-Леві). Нехай * – незалежні однаково. Розподілені випадкові величини, які мають скінченні математичні сподівання * і дисперсію * . Покладемо * . Тоді закон розподілу нормованої суми * цих величин збігається при * до нормального закону з параметрами 0 і 1, тобто * .

Теорема 2 (теорема Ляпунова).

Нехай * – незалежні випадкові величини, що мають скінченний третій абсолютний момент. Покладемо * .

Якщо при * , то при * .

Відзначимо, що інтегральна теорема Муавра-Лапласа – це окремий випадок теореми 1.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Нехай випадкова величина * має біноміальний закон розподілу. Знайти * .

Розв’язання: За умовою * .

Характеристична функція * величина * дорівнює * .

Диференціюємо (1) двічі по х: * .

Звідси, скористивашись формулою (1, 6) параграф 1, при * дістаємо * , *.

Оскільки * .

Задача 2. Нехай * – незалежні і рівномірно розподілені на [0, 1] випадкові величини. Знайти * , якщо * .

Розв’язання: За умовою щільність розподілу * .

Обчислимо * . * , звідси * .

Отже, умови теореми 1 виконані. Тому, щоб обчислити * , застосуємо теорему 1.

Для цього підрахуємо * .

Тепер згідно з теоремою 1 маємо: * .

У нашому випадку * .

Тому шукана ймовірність дорівнює * .

(Останні значення знаходимо з відповідних таблиць).

Питання для самоперевірки

  1. Дайте визначення твірної функції і сформулюйте властивості твірних функцій.

  2. Дайте визначення характеристичної функції і сформулюйте властивості характеристичних функцій.

  3. Сформулюйте теорему Ляпунова.

  4. В чому полягає значення теореми Ляпунова.

Додаткові задачі з теорії ймовірностей

Щоб краще засвоїти пройдений матеріал, рекомендується розв’язати такі задачі:

Задача 1. Колода гральних карт містить 52 карти (4 масті по 13 карт). Колоду ретельно тасують і навмання витягають 6 карт. Описати простір елементарних подій, а також:

  1. Знайти ймовірність того, що серед цих карт буде пиковий король.

  2. Знайти ймовірність того, що серед цих карт будуть представники всіх мастей.

  3. Яке найменше число карт треба взяти з колоди, щоб імовірність того, що серед них зустрінуться хоча б дві карти з однаковим найменуванням, буде більша за ½?

Відповідь: 1 * ;

  1. * .

3.Щоб знайти * треба розв’язати нерівність * .


Задача 2. Відомо, що 5 % всіх чоловіків і 0,25 % всіх жінок страждають на дальтонізм.

Навмання обрана особа є дальтонік. Яка ймовірність, що це чоловік? (Вважати, що чоловіків і жінок однакове число). Відповідь: 20/21.

Задача 3. З урни, що містить 3 білих і 2 чорних кулі, навмання взяли 2 кулі і переклали в урну, що містить 4 білих і 4 чорних кулі. Знайти ймовірність витягнути з другої урни білу кулю. Відповідь: 0,52.

Задача 4. Імовірність для виробу деякого підприємства задовольняти стандарту дорівнює 0,96. Пропонується спрощена система перевірки на стандартність, що дає позитивний результат з імовірністю 0,98 для виробів, які задовольняють стандарту, а для виробів, які не задовольнять стандарту, з імовірністю 0,05. Знайти ймовірність того, що виріб, який перевірка визнала стандартним, дійсно задовольняє стандарту. Відповідь: * .

Задача 5. Незалежні випадкові величини * мають такі закони розподілу: * . Знайти * .

Відповідь: * .

Задача 6. Випадкові величини * незалежні і нормально розподілені з одними і тими ж параметрами * . Знайти коефіцієнт кореляції величин * .

Відповідь: * .

Задача 7. Імовірність появи події А в кожному з 100 незалежних експериментів дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що А з’явиться в цих експериментах:

а) рівно 90 разів;

б) не менше за 80 і не більше за 90 разів.

Відповідь: а) 0,004; б) 0,4838.

Задача 7. Незалежні випадкові величини * рівномірно розподілені на [0, 1]. Знайти щільність розподілу суми * .

Відповідь: * .

Задача 8. Випадкова величина * експоненціально розподілена з параметром 8 . Знайти * .

Відповідь: * .

Задача 9. Знайти характеристичні функції для таких законів розподілу:

а) рівномірного розподілу на інтервалі (-а, а);

б) біноміального розподілу;

в) розподілу Пуассона;

г) експоненціального розподілу з щільність * ;

д) нормального розподілу з щільністю * .

Після вивчення тем 1-7 студенти повинні виконати контрольну роботу.

Екзаменаційні питання

  1. Стохастичний експеримент. Випадкова подія. Частота події. Властивість статистичної стійкості частот. Імовірність.

  2. Простір елементарних подій. Формельне визначення випадкової події. Алгебра подій. Класифікація подій.

  3. Частота події. Властивості часто.

  4. Класичне визначення ймовірності. Властивості ймовірностей в класичній схемі.

  5. Статистичне визначення ймовірності.

  6. Геометричні ймовірності.

  7. Аксіоматичне визначеннй ймовірності. Властивості ймовірностей. Імовірнісний простір.

  8. Умовні ймовірності та їх властивості.

  9. Теорема множення.

  10. Незалежність подій (у сукупності, попарна).

  11. Повна група подій. Формула повної ймовірності. Формула Байеса.

  12. Загальне визначення послідовності незалежних експериментів. Схема Бернуллі. Формула Бернуллі.

  13. Поліноміальна схема. Поліноміальні ймовірності.

  14. Теорема Пуассона.

  15. Локальна теорема Муавра-Лапласа.

  16. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

  17. Визначення випадкової величини.

  18. Функція розподілу та її властивості.

  19. Типи випадкових величин. Дискретна випадкова величина та її закон розподілу. Приклади основних законів розподілу дискретних випадкових величин.

  20. Незалежність дискретних випадкових величин. Приклади незалежних випадкових величин.

  21. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості.

  22. Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Середнє квадратичне відхилення.

  23. Визначення неперервної випадкової величини. Щільність розподілу та її властивості. Приклади неперервних випадквих величин.

  24. Визначення незалежності неперервних випадкових величин.

  25. Математичне сподівання неперервної випадкової величини та його властивості.

  26. Дисперсія неперервної випадкової величини та її властивості.

  27. Моменти випадкових величин.

  28. Нормальний закон розподілу та його параметри.

  29. Експоненціальний закон розподілу та його параметр.

  30. Визначення багатовимірної випадкової величини. Багатовимірна функція розподілу.

  31. Багатовимірний нормальний розподіл.

  32. Типи зв’язку між вдома випадковими величинами: функціональний, стохастичний, кореляційний, стохастична незалежність випадкових величин.

  33. Коваріація та її властивості.

  34. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

  35. Числові характеристики векторної випадкової величини (математичне сподівання, дисперсія).

  36. Визначення функції випадкових величин.

  37. Функція дискретного випадкового аргументу та її числові характеристики.

  38. Функція неперервного випадкового аргументу та її числові характеристики.

  39. Теорема про щільність розподілу суми двох незалежних неперервних величин.

  40. Визначення класу теорем під назвою “Закон великих чисел”.

  41. Нерівність Чебишева та її значення.

  42. Теорема Чебишева та її наслідок. Застосування теореми Чебишева.

  43. Теорема Бернуллі та її значення.

  44. Визначення класу теорем під назвою “Центральна гранична теорема”.

  45. Твірна функція. Властивості твірних функцій.

  46. Характеристична функція. Властивості характеристичних функцій.

  47. Центральна гранична теорема Ляпунова.

Схожі:

Основи теорії ймовірності iconФормат опису модуля
Основи математичної логіки. Основи теорії нечітких множин. Відношення та їх властивості. Види відношень. Основи комбінаторики та...
Основи теорії ймовірності iconМатематичні основи інформатики
Основи теорії чисел: прості числа, ділення із залишком, найбільший спільний дільник, взаємно прості числа. Основи алгебри: многочлени...
Основи теорії ймовірності iconОснови економічної теорії як навчальна дисципліна. Метою викладання дисципліни „Основи економічної теорії ”
Метою викладання дисципліни „Основи економічної теорії ” є опанування студентами системи категорій та найактуальніших теоретичних...
Основи теорії ймовірності iconФізичні основи теорії відносності
Особливу увагу звернуто на принцип відносності в електродинаміці. Показано, що незвичні ефекти теорії відносності логічно витікають...
Основи теорії ймовірності iconНапрями – со назва модуля: Практикум з соціології економіки Код модуля
«Вступ до теорії ймовірності та соціальна статистика», «Спеціальні та галузеві соціологічні теорії», «Методи збору соціологічної...
Основи теорії ймовірності iconОснови економічної теорії”
Програма І робоча програма дисципліни „Основи економічної теорії” для студентів 3 курсу денної форми навчання спеціальності 070800...
Основи теорії ймовірності iconОснови економічної теорії”
Програма І робоча програма дисципліни „Основи економічної теорії” для студентів 3 курсу заочної форми навчання спеціальності 070800...
Основи теорії ймовірності iconФізичні основи
Особливу увагу звернуто на принцип відносності в електродинаміці. Показано, що незвичні ефекти теорії відносності логічно витікають...
Основи теорії ймовірності iconМетодичні вказівки до практичних занять з курсу "теорія ймовірностей" на тему "Короткий курс теорії ймовірностей" для студентів усіх спеціальностей
Початковими поняттями теорії ймовірностей є поняття стохастичного експерименту, випадкової події та ймовірності випадкової події
Основи теорії ймовірності iconОснови мовної комунікації Методичні вказівки Теоретичний курс «Основи теорії мовної комунікації»
Теоретичний курс «Основи теорії мовної комунікації» ставить собі за мету ознайомити судентів із загальними засадами мовної комунікації,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи