* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * icon

* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из *




Скачати 179.08 Kb.
Назва* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из *
Дата05.09.2012
Розмір179.08 Kb.
ТипДокументи

Составим функцию * (3.39)

Перемножая двучлены и собирая подобные члены, получаем: * (3.40)

Если заменить числа * на объекты * , то коэффициенты при * в формуле (3.40) дадут перечисление неупорядоченных К -выборок без повторений, т. е. сочетаний без повторений из * объектов А і по к объектов.

Таким образом, производящая функция (3.39) является энумератором сочетаний без повторения из * элементов по к.

Если в выражениях (3.39) и (3.40) положить, что * (3.41)

получим функцию * (3.42)

в которой коэффициент при * равен числу сочетаний без повто­рения из * элементов по к . Следовательно, производящая функция (3.42) является денумератором сочетаний без повторения из 8 объектов * по * (*).


Используя денумератор (3.42), можно получить различные свойства сочетаний. Например, при * из формулы (3.42) следует известные равенства: * (3.43) * (3.44)

Взяв полусумму этих равенств, найдем * если * четно, * , если * нечетно.

(3.45)

Если из равенства (3.43) вычесть (3.44) и результат разделить на 2, получим * , если * нечетно, * , если * четно (3.46)

Таким образом, сумма биноминальных коэффициентов, стоящих на четныхс местах, равна сумме биноминальных коэффициентов, стоящих

на нечетных местах, и равна *

Представим денумератор *

в следующем виде: * (3.47)

Подставка выражения * (3.48)

в равенство (3.47) дает в результате формулу * .

Во второй сумме справа заменим индекс суммирования по формуле * : * или * .

Так как * , то последнее соотношение примет вид * , откуда следует, что * (3.49)

Справедливость этого свойства сочетаний была установлена ранее.


3.3.2. Производящие функции для сочетаний с повторением


Рассмотрим множество объектов *

и соответствующую ему числовую последовательность * так, что * .

Составим из объектов * различные сочетания по * объектов (неупорядоченные * -выборки). В сочетаниях без повторения каждый объект * может встретиться не более од­ного раза. Эту ситуацию учитывает множитель * в энумераторе (3.39) сочетаний без повторения.

В сочетаниях с повторениями по * объектов каждый объект * может содержаться от 0 до К раз включительно * , поэтому множители вида * в выражении (3.39) нужно заменить множителями * .

Таким образом, энумератор сочетаний с повторением имеет следующий вид: * (3.50)

Денумератор получим, полагая в формуле (3.50), что * :

Так как при * то * .

Используя разложение функции * в биномиальный ряд * (3.52)

идем * .

Коэффициент при * определяет число сочетаний с повторениями из * объектов * по *. Следовательно, *

что было установлено раньше (см. формулу (3.32)).

3.3.3. Некоторые общие задачи подсчета сочетаний

Предположим, что из объектов * нужно составить различные неупорядоченные * - выборки, удовлетворяющие заданным условиям. Поставим в в соответствие множеству * числовую последовательность * , так что * , * . По заданному способу выбора построим энумератор, в котором скобка, соответствующая объекту *, должна отражать ограничения, наложенные на возможное количество появлений этого объектов * - выборке. Полагая, что все * , получаем соотвествующий денумератор * . Разложим его в ряд по степеням * . Тогда коэффициент при * равен числу искомых комбинаций из * объектов * по * .

І-я общая задача. Подсчитать общее число сочетаний с повто­рениями из п объектов по * , в которых объект А встречается не менее * раз, объект * - не менее * раз, …, * - не менее * раз.

В качестве энумератора следует взять функцию * (3.53)

тогда соответствующий денумератор имеет вид * (3.54)

Далее нужно правую часть формулы (3.54) разложить в ряд по степеням * . Коэффициенты при * , где * , дадут искомое число сочетаний рассматриваемого типа.

Проанализируем два частных случая этой задачи.

І) Подсчитаем число неупорядоченных к -выборок с повторением, в которых каждый из * объектов встречается не менее одного раза ( * ) .

Согласно формуле (3.54) денумератором будет функция * .

Итак, * (3.55)

Таким образом, число неупорядоченных * - выборок с повторением, в которых каждый объект * встречается не менее одного раза, можно представить в виде * (3.56)


В частности, число * - выборок равно * , число 8 выборок * , число * выборок * и т. д.

П р и м е р 3.24. Сколько можно составить пятиэлементных сочетаний из трех о6ъектов А, В, С в которых каждый объект встречается не менее одного раза?

Здесь п = 3, к = 5, * .

Следовательно, искомых сочетаний шесть:

^ [АААВС], [ААВВС], [ААВСС], [АВССС], [АВВСС], [АВВВС].


Подсчитаем число сочетаний с повторениями из * объектов по * элементов, в которых каждый объект * встречается не менее * раз (*). В соотвествии с формулой (3.54) денумератором будет функция * .

Таким образом, * (3.57)


а общее число неупорядоченных к-выборок с повторениями, в которых каждый из * объектов встречается не менее * раз (*), равно * (3.58)

Пример 3.25. Сколько девятиэлементных сочетаний можно составить из трех объектов А, В, С в которых каждый ообъект встречается не менее двух раз?


Здесь *, *.


Следовательно, имеем десять искомых сочетаний: [АААААВВСС], [ААВВВВВСС], [ААВВССССС], [ААААВВВСС], [ААААВВССС], [АААВВВВСС], [ААВВВВССС], [АААВВСССС], [ААВВВСССС], [АААВВВССС].


2-я общая задача. Построить энумератор и денумератор наупорядоченных К – выборок с повторениями из * объектов, в которых объект * встречается не более * раз, объект * не более * раз, …, объект * - не более * раз.

В этом случае энумератором будет функция * (3.59)

Подставив в это выражение значения (3.41), получим денумератор * (3.60)

Пример 3.26. Из трех объектов А, В, С составить все сочетания, в которых объект А встречается не более трех раз, объект В – не более одного раза, объект С – не более двух раз. * .

Полагая здесь *, получим денумератор * .

Коэффициент при * перечисляет все к – выборки, обладающие указанными свойствами. Коэффициент при * в * определяет общее число таких к – выборок. Таким образом, имеются три 1-выборки [А], [В], [С], пять 2-выборок [АА]Ю [АС], [СС], [АВ], [ВС], шесть 3-выборок [ААА], [ААС], [АСС], [ААВ], [АВС], [ВСС], пять 4-выборок [АААС], [ААСС], [АААВ], [ААВС], [АВСС], три 5-выборки [АААСС], [АААВС], [ААВСС], одна 6-выборка [АААВСС].

3-я ообщая задача. Построить энумератор и денумератор неупорядоченных К – выборок с повторением, в которых количество появлений объекта * - одно их чисел * , где * ; количество появлений объекта * - одно из чисел * , где * ; количество появлений объекта * - одно из чисел * , где * .

Здесь в качестве энумератора нужно взять функцию * (3.61) тогда денумератор * (3.62)

Пример 3.27. Составить все сочетания с повторением из трех объектов *, в которых объект * встречается два или четыре раза, объект * - не более одного раза, объект * - один или три раза.

Энумератором, соответствующим условиям задачи, будет следующая функция: * .

Подставновка значений * приводит к денумератору * .

Следовательно, условиям задачи удовлетворяют такие кобминации: одна 3-выборка *, одна 4-выборка *, две 5-выборки *, и *, две 6-выборки * и *, одна 7-выборка *, одна 8-выборка * .

4-я общая задача. Подсчитать число сочетаний с повторениями из п объектов по к элементов, в которых каждый объект встречается число раз, кратное * .

В этой задаче денумератором будет функция * (3.63)

Таким образом, если * , то число соответствующих к -выборок равно * .

Пример 3.28. Сколько различных сочетаний с повторением можно составить из * объектов, в которых каждый о6ъект встречается четное число раз? Здесь ґ = 2, поэтому * (3.64)

Значит, если * , то число неупорядоченных * -выборок из * объектов, в которых каждый объект встречается четное число раз, равно * .

Вообще, любой разумной комбинации условий, относящихся к наличию или отсутствию объектов в неупорядоченных К -выборках с повторением, соответствуют определенные энумератор и денумератор.

3.3.4. Производящие функцки для размещений без повторений

Рассмотрим денумератор сочетаний без повторения * (3.65)

и учтем равенство * , (3.66)

связывающее сочетания и размещеяия без повторений из * элементов по * .

Подставив выражение (3.66) в формулу (3.65), получим производящую функцию-денумератор для

размещений без повторения: * (3.67)

Таким образом, денумератором для последовательности числа размещений * является экспоненциальная производящая функция (3.67). Число упорядоченных * -выборок без повторения из * элементов равно коэффициенту при * денумератора (3.67).

3.3.5. Производящие функции для размещений с повторениями

Согласно формуле (3.51) денумератор сочетаний с повторением из л элементов имеет вид * .

Заменив * на * , получим функцию * . (3.68)

Как известно, число размещений с повторением из * элементов по * равно *. Следовательно, функция * является экспоненциальной производящей функцией-денумератором для последовательности * числа размещений с повторением из * элементов по * (*).


Пример 3.29. Сколько можно составить упорядоченных к -выборок из четырех элементов, в которых каждый элемент встречается не менее одного раза?

Так как в интересующих нас к -выборках каждый из четырех элементов может встречаться только один и более раз, то соответствующий денумератор имеет вид * .

Учитывая, что * , окончательно имеем * .

Таким образом, количество различных упорядоченных к -выборок из четырех элементов, в которых каждый элемент встречается на менее одного раза, равно * .

В частности, различных 4 -выборок указанного типа будет 24, различных 5 -выборок - 240 и т. д.

Пример 3.30. перечислить все упорядоченные к –выборки из трех элементов, в которых каждый элемент встречается не более двых раз. В этом случае денумератором является функция * .

Следовательно, существуют три І -выборки, девять 2 -выборок, двадцять четыре 3 -выборки, пятьдесят четыре 4 -выборки, девяносто 5 -выборок и девяносто 6 -выборок, удовлетворяющих условию задачи.

Предположим, что среди л элементов имеется * экземпляров объекта А* , * экземпляров о6ъекта * , экземпляров объекта * , причем * .

Тогда в любой упорядоченной к -выборке из этих * элементов объект * может встретиться не более * раз, объект * - не более * раз, …, объект * - не более * раз. Поэтому денумератор имеет вид * . (3.69)


Коэффициент при * равен * , а коэффициент при * равен * .

Это число выражает количество различных перестановок из * элементов, среди которых имеется * неразличимых элементов * неразличимых элементов * , …, * неразличимых элементов * .

3.4. ЗАДАЧИ

3.1. Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 5?

3.2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, заканчивающихся четной цифрой?

З.З. Сколько неотрицательных целых чисел, меньших, чем миллион, содержит только цифры 1, 2, 3, 4 ?

З.Ч. Трое юношей и две девушки выбирают место работы. В городе три завода, где требуются мужчины, два завода, где требуются женщины, два завода, где требуются мужчины или женщины. Сколько существует способов их распределения между этими заводами?

3.5. В цехе 9 свободных рабочих мест, на двух могут работать только женщины, на трех - только мужчины, на четырех – мужчины и женщины. Сколькими способами можно распределить 3-х женщин и 4-х мужчин на рабочих местах?

3.6. Сколько существует четырехзначных чисел, в которых: а) цифра 3 встречается один раз; б) цифра 3 не встречается; в) цифра 7 встречается три раза?

3.7. Каких чисел больше среди натуральных чисел первого миллиона: тех, в записи которых встречается 1, или тех, в записи которых ее нет?

3.8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр І, 2, З, 4, 5? То же, если каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза?

3.9. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 если:

а) ни одна из цифр не повторяется более одного раза;

б) цифры могут повторяться;

в) числа должны быть нечетными, цифры могут повторяться?

3.10. Из 30 сотрудников отдела английский язык знают 19, немецкий – 17, французский – 11, английский и немецкий – 12, английский и французский – 7, немецкий и французский – 5, все три языка – 2. Сколько сотрудников отдела не владеют иностранными языками? Сколько из них знают только английский, только немецкий, только французский языки?

З.11. Сто абитуриентов сдавали три экзамена. Первый экзамен не сдали на "5" 25 человек, второй - 30 человек, третий – 40 человек, первый и второй – 10 человек, второй и третий – 15 человек, первый и третий – 12 человек, все экзамены – 7 человек. Сколько абитуриентов сдали экзамены на “5”?

З.12. При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60 % из них читает журнал А , 50 % - журнал В , 50 % - журнал С , 30 % - журнал А и В , 20 % - журналы В и С , 40 % - журналы А и С , 10 % - журналы А , В , С . Сколько студентов (процент):

а) не читает ни один из журналов;

б) читает в точности два журнала;

в) читает не мене двух журналов?

    1. а) Определить количество целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7;

б) Сколько целых положительных чисел, не превосходящих 1000, не делится ни на одно из чисел 6, 10 и 15.

в) Найти количество простых чисел, не превосходящих 250.

3.14. Среди 35 студентов 20 посещают математический кружок, 11 - физический, 10 - не посещают ни одного из этих кружков. Сколько студентов посещают и математический и физический кружок? Сколько студентов посещают только математический кружок?

З.15. Две радиостанции независимо друг от друга могут настраиваться на 10 фиксированных частот. Определить число способов их одновременной настройки.

3.16. В отделении 12 солдат. Каким числом способов можно составить наряд из двух человек, если один из них должен быть назначен старшим? То же, но старший не назначается?

3.17. Сколько можно образовать из элементов А, В, С, D, Е, F:

а) упорядоченных З-выборок с повторением;

б) упорядоченных 4-выборок с повторением;

в) упорядоченных 3-выборок без повторения;

г) неупорядоченных 4-выборок с повторением;

д) неупорядоченных 5-выборок с повторением;

е) неупорядоченных 5-выборок без повторения.

3.18. В комнате пять лампочек. Сколько существует различных способов освещения?

3.19. В некотором государстве каждые два человека отличаются набором зубов. Каково максимально возможное число жителей этого государства, если наибольшее число зубов у человека - 32?

3.20. Шесть пассажиров садятся на остановке в трамвайный поезд, состоящий из трех вагонов. Определить число различных способов распределния их в вагонах:

а) если учитывается, кто в какой вагон сел?

б) если нас интересует лишь число пассажиров в вагоне?

3.21. Коалиции А и В ведут войну между собой; * нейтральных государств находятся в нерешительном положении, причем * из них не присоединяется к А, а К из них не присоединяется к В. Сколько новых положений может оказаться в этой войне в зависимости от дальнейшего поведения нейтральных государств?

3.22. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, испанского на любой другой из этих пяти языков? На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10?

3.23. Студенту за 8 дней нужно сдать 4 экзамена. Сколькими способами это можно сделать? То же, если дополнительно известно, что последний экзамен он сдает на восьмой день?

3.24. Сколькими способами можно распределить * различных предметов по * различным ящикам?

3.25. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, З, 4, 5, если каждуо из цифр можно употребить:

а) не более одного раза;

б) три раза;

в) не более двух раз?

3.26. Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, З, 4, ..., 2п} так, чтобы каждое четное число стояло на четном месте?

3.27. Каким числом способов семь человек могут разместиться в очереди в кассу?

3.28. Сколько существует перестановок из * элементов, в которых два данных элемента не стоят рядом?

3.29. Сколькими способами можно посадить за круглый стол * мужчин и * женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

3.30. Найти число способов распределения группы из 23 студентов в бригады из 3 и 5 человек.

3.31. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в словах:

а) “инженер”;

б) “комбинаторика”?

3.32. Сколькими способами можно разместить 12 человек в трех комнатах, если в первую можно поместить два, во вторую - шесть, в третью - четыре человека?

3.33. Каким числом способов можно сформировать из 30 курсантов 3 бригады по 10 человек в каждой бригаде? А 10 бригад по 3 человека в каждой?

З.З4. Сколько диагоналей в правильном 20-угольнике? Сколь­ко сторон у правильного многоугольника с 35 диагоналями?

3.35. Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты. Таких квадратов в направлении с севера на юг * , а в направлении с востока на запад * . Сколько кратчайших дорог от одной из вершин прямоугольника до противоположной?

^ 3.36. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше (меньше) предыдущей?

3.37. Имеется п абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно соединить данные три пары абонентов?

3.38. Партия из к радиоламп содержит * бракованных. Сколько существует способов выбора г радиоламп так, чтобы ровно * из них были бракованные?

3.39. Сколько существует пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше (меньше) предыдущей?

3.40. В футбольной команде 13 полевых игроков и 2 вратаря. Каким числом способов можно выбрать играющий состав (II игрока, в том числа один вратарь)?

3.41. В роте 3 офицера, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий:

а) из 1 офицера, 2 сержантов, 20 рядовых;

б) то же, причем в отряд должен войти командир роты и старший из сержантов?


3.42. Сколько неотрицательных целых чисел, меньших, чем миллион, содержит цифры 1, 2, 3, 4?

3.43. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данных два лица не могут быть выбраны вместе?

3.44. В группе из 12 самолетов 3 носителя ядерного оружия и 9 - обычного. Места их в группе неизвестны, попадания з них равновозможны. Сколько существует вариантов сбить:

а) три самолета;

б) три носителя ядерного оружия;

в) два носителя ядерного оружия и один - обычного.

3.45. Сколько существует способов распределения по трем ка­налам связи девяти сообщений, так, чтобы:

а) на первый канал попали три сообщения;

б) на каждый канал попали по три сообщения;

в) на один из каналов попали четыре, на другой - три и на третий - два сообщения?

3.46. В розыгрыше первенства по футболу в высшей лиге участвуют 16 команд. Команды, которые займут первое, второе и третье места, награждаются соответственно золотой, серебряной и бронзовой медалями, а команды, которые займут два последние места, покинут высшую лигу. Сколько разных результатов может быть в играх на первенство?

3.47. Сколько существует способов размещения л одинаковых предметов по т различным ячейкам?

3.48. Сколькими способами можно распределить семь РЛС между тремя соединениями?

3.49. Каким числом способов можно разделить 40 снарядов между 4 артбатареями? То же, но так, чтобы каждая батарея получила по крайней мере 3 снаряда?

3.50. Имеется т различных сигнальных флагов и к мачт, на которых они вывешиваются. Значение сигнала зависит от того, в каком порядке вывешиваются флаги. Сколько сигналов можно передать этими флагами, если все флаги должны быть использованы, но некоторые из мачт могут остаться пустыми?

3.51. Рассмотрим р объектов А и * объектов В, расположенных на прямой так, чтобы никакие два объекта В не стояли рядом. Сколько есть таких ( * ) - выборок?

3.52. Экзамен состоит из десяти вопросов, три из них по математике. Сколькими способами можно поставить десять вопросов так, чтобы никакие два вопроса по математике не следовали один за другим?

3.53. Пусть в сочетания с повторениями из * элементов по * должны обязательно входить элементы * фиксированных типов (*). Показать, что число таких сочетаний равно * . В частности, если в каждое сочетание должен входить хотя бы один элемент каждого из * типов (это возможно только при * ), то число таких сочетаний равно * .

3.54. Доказать, что: 1) * ; 2) * .

3.55. Используя тождество * , доказать справедливость следующих равенств:

  1. * ;

  2. * ;

  3. * ;

  4. * ;

  5. * ;

  6. * ;

  7. * .

3.56. Найти * -преобразование числовых последовательностей:

  1. * ;

  2. * ;

  3. * ;

  4. * ;

  5. * ;

  6. * ;

  7. * ;

  8. * ;

  9. * ;

  10. * ;

  11. * .

3.57. Найти общий член * последовательности, для которой функция * является производящей:

  1. * ;

  2. * ;

  3. * ;

  4. * ;

  5. * 4

  6. * ;

  7. * .

3.58. Получить экспоненциальное * -преобразование следующих последовательностей:

  1. * ;

  2. * ;

  3. * ;

  4. * .

3.59. Сколько существует способов построения из букв * , * , * , * шестибуквенных слов так, чтобы буква а встречалась не болле 2 раз, * - не менее раза, С - не менне 3 раз, * - один раз?

3.60. Найти число неупорядоченных * -выборок с повторением из трех элементов, в которых каждый элемент повторяется не менее двух раз.

3.61. Найти число упорядоченных * -выборок с повторениями из двух элементов, в которых каждый элемент встречается не более трех раз.

3.62. Сколько существует способов построения из букв а , в , с пятибуквенных слов, так, чтобы буква а встречалась на более 3 раз, в – два раза, с - не менее 2 раз?

3.63. Составить денумератор неупорядоченных * -выборок с повторением, в которых каждый из * объектов встречается:

а) не менее двух раз;

б) не более четырех раз;

в) не менее одного и не больше пяти раз;

г) в количестве раз, кратном трем.

3.64. Составить денумератор сочетаний из * объектов по * элементов с повторением, в которых объект * встречается не меньше і раз. Составить также энумератор. Рассмотреть случай с пятью объектамм А , В , С , D , E .

3.65. Найти денумератор упорядоченных * -выборок с повторением, образуемых * элементами, в которых каждый элемент встречается:

а) не менее двух раз;

б) точно два раза;

в) не более двух раз;

г) четное число раз;

д) нечетное число раз.

3.66. Указать денумератор упорядоченных к -выборок с повторением, образуемых четырьмя элементами, с условием, что каждый элемент встречается не более одного раза. Выписать эти выборки.

3.67. Найти денумератор упорядоченных * -выборок с повторением, в которых встречается точно по одному элементу каждого из * других видов. Показать, что число таких * - выборок * . доказать рекуррентную формулу * .

3.68. В сочетаниях с повторениями из трех объектов * встречается не более одного раза, * - не более двух раз, * - один или два раза. Перечислить все такие сочетания и найти их число.

3.69. Поступающий в высшее учебное заведение должен сдать четыре экзамена. Он полагает, что для поступления достаточно набрать 17 баллов. Сколькими способами он может сдать экзамены, набрав не менее 17 баллов и не получив ни одной двойки?

Схожі:

* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconПідкресленням позначено ключові поля
Упражнения (код упражнения, название, описание, число повторений, тип упражнения, единица повторений), де значення поля «тип упражнения»...
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconЛотман Ю. Роман А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Комментарий оглавление
Без читательского интереса к произведению, любви к поэзии и культуры восприятия поэтического текста, без определенного уровня знаний...
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconБез залога и без поручителей
Процентная ставка на протяжении всего срока действия кредитного договора остается неизменной
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconБез залога и без поручителей
Процентная ставка на протяжении всего срока действия кредитного договора остается неизменной
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconТипичное максималистское построение представляет ленинская теория о «государстве-коммуне» как политической
Ное государство, а государство без постоянной армии, без противостоящей народу полиции, без постановленного над народом чиновничества»....
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconХviі. Особливості прийому та навчання іноземців та осіб без громадянства у вищих навчальних закладах України 17 Підготовка іноземців та осіб без громадянства здійснюється згідно із Законом України «Про правовий статус іноземців та осіб без громадянства»
move to 0-17125817
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconХудожньо-педагогічний аналіз музичних творів
Пізнання світу почуттів неможливе без розуміння й переживання музики, без глибокої духовної потреби слухати музику й діставати насолоду...
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconХviі. Особливості прийому та навчання іноземців та осіб без громадянства у вищих навчальних закладах України 17 Підготовка іноземців та осіб без громадянства здійснюється згідно із Законом України «Про правовий статус іноземців та осіб без громадянства»
України, приймаються на навчання на підставі направлень Міністерства освіти І науки, молоді та спорту в межах обсягів державного...
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconНародний театр та вертеп. Придворний та шкільний театр. Професійний український театр
Пройшовши багатовіковий шлях самостійного розвитку, народний театр на Русі мав великий вплив на театр професійний. Без народного...
* в формуле 40) дадут перечисление неупорядоченных к -выборок без повторений, т е. сочетаний без повторений из * iconФоростян А. Ф. Соціокультурний вимір історії психології
Взаємодія, співпраця, діалог потреба не лише становлення особистості студента, а й розвитку викладача: без допомоги нового покоління,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи