Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр icon

Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр




Скачати 50.92 Kb.
НазваЛ. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр
Дата06.09.2012
Розмір50.92 Kb.
ТипРешение

Удк 519.816

Л.Ф.Василевич


Решение нечётких матричных игр


Точное задание элементов платежной матрицы матричной игры, как правило, затруднено из-за недостаточности, неточности исходной информации или неточности модели исследуемой системы, что особенно характерно для экономических систем. В этом случае, предлагается задавать элементы платежной матрицы в виде нечётких чисел aij , i=1…n, j=1…m, где n – число чистых стратегий игрока 1; m- число чистых стратегий игрока 2. Нечёткие числа 1 полностью описываются своими функциями принадлежности ij (x), которые определяются или экспертным опросом или на основе нечёткой модели исследуемой системы. Таким образом, возникает нечёткая матричная игра. В данной статье предлагается методика решения таких игр и анализа чувствительности и стабильности полученного решения.

Решение любой матричной игры (n  m) может быть сведено к решению пары двойственных задач линейного программирования 2. Однако в случае нечёткой матричной игры возникает проблема в использовании для решения этих задач симплекс-метода, связанная с делением на нечёткие числа, носитель которых содержит нуль. Эта операция над нечёткими числами неопределена 1. Для избежания этой проблемы предлагается решать нечёткие матричные игры итерационным методом Брауна-Робинсон 2, для которого не требуется деления на нечёткие числа , а осуществляются лишь операции сложения и сравнения нечётких чисел.

Все арифметические операции осуществляются просто, если нечёткие числа задавать трапецеидальными функциями принадлежности (боковые ветви (х) описываются линейной функцией). Как показано в 3 , задание боковых ветвей (х)

другим образом практически не изменяет решения, но усложняет выполнение арифметических операций. При использовании трапецеидальных функций любое нормальное нечёткое число задаётся четырьмя параметрами (а1122) , где а1 и а2 – определяют нижнюю и верхнюю границы носителя n нечёткого числа, а в1 и в2 - соответственно границы ядра r.

В этом случае нормальное нечёткое число А , равное сумме двух нормальных чисел с параметрами (а1122) и (с1122) будет определяться в соответствии с принципом обобщения Заде параметрами (а1+с1,в1+б1,в2+б2,а2+с2).

При сравнении нечётких чисел можно использовать различные индексы ранжирования 1. В частности, предлагается использовать

индекс ранжирования, вычисляемый по формуле:

HA =  A + + (1-) А , (1)


где A + - max A ; A - min A ; A - срез нечёткого числа А на уровне  ;   0 , 1 и отражает степень рискованности лица принимающего решение (обычно берут = 0,5). Аналогично вычисляется HВ. Далее процедура сравнения сводится к определению отношения HA\ HВ. Если HA  HВ, то в соответствии с данным индексом ранжирования считается, что А В, а величина отношения определяет степень их отличия. Можно использовать и другие индексы ранжирования 1.

В результате решения конечной матричной игры методом Брауна- Робинсон будут получены чёткие квазиоптимальные , в общем случае, смешанные стратегии игроков SA = \p1,p2,…,pn\ и SB = \g1,g2,…,gn\ и нечёткая цена игры


V = 1\2 ( min j + max i ), (2)


где j- суммарный выигрыш игрока А за k итераций для j-ой стратегии игрока 2; i - суммарный выигрыш игрока В за k итераций для i-ой стратегии игрока 1.

После получения решения нечёткой игры возникает задача оценки чувствительности и стабильности полученного решения от задания нечётких элементов платёжной матрицы.

Предлагается методика решения этой задачи на основе оценок показателей размытости цены игры V и элементов платёжной матрицы aij 3. В качестве показателя размытости dA нечёткой величины А, хХ, А (x)  0,1, будем рассматривать функционал аналогичный шенноновской энтропии:




dA= -  А (x) ln А (x) dx. (3)

-

Выбор показателя размытости не оказывает влияния на общий подход к оценке чувствительности и стабильности нечёткой матричной игры, определения которых приводятся ниже.


Определение1. Дифференциальной чувствительностью Кij нечёткой матричной игры к нечёткому заданию элемента aij её платёжной матрицы является отношение относительного приращения  dv \ dv показателя размытости dv цены игры V к относительному приращению  dij \ dij показателя размытости dij нечёткого элемента aij , вызвавшего изменения в цене игры:


Кij = ( dv \ dv) \ (  dij \ dij) =  ln dv \  ln dij . (4)


При оценке чувствительности системы к одновременному изменению нескольких элементов платёжной матрицы игры суммарная чувствительность


К =  Кij. (5)

i j


Определение 2. Нечёткая игра обладает свойством (- стабильности к изменению элементов платёжной матрицы, если при изменении суммы модулей относительных изменений показателей размытости этих элементов в пределах  (   dij \ dij   ) модуль относительного изменения показателя размытости цены игры не превышает  (  dv \ dv   ).

Анализ чувствительности и стабильности нечётких игр легче проводить, если использовать ряд свойств показателя размытости нечёткого числа, которые были определены в 3. Применим предлагаемую методику для следующего случая. Пусть во всех элементах платёжной матрицы нечёткой матричной игры расширили носитель на n. В этом случае, показатель размытости каждого элемента в соответствии со свойствами, приведенными в 3, изменится на

 dij = 0.25n. (5)


Показатель размытости цены игры, определяемой в соответствии с методом Брауна – Робинсон по формуле (2), также изменится на величину


 dv = 0.25n. (5)

Это следует из свойства матричных игр, заключающегося в том, что прибавление одного и того же числа ко всем элементам платежной матрицы не изменит оптимальные стратегии, а лишь на эту величину изменит цену игры 2. В рассматриваемом случае ко всем элементам был прибавлен нечёткий нуль с носителем n. Тогда получаем, что чувствительность


Кij = ( dv \ dv) \ (  dij \ dij) = dij \ dv. (6)


К =  Кij =  dij \ dv n m, (9)

i j i j


где dv =  pi gj dij .

i j


Далее получаем, что нечёткая матричная игра обладает свойством (- стабильности, если одновременно выполняются два неравенства:

n  4 dij \ n m; (7)


n  4 dv. (8)


Как видно из неравенства (7), при увеличении размерности игры стабильность уменьшается, т.е. увеличение числа чистых стратегий игроков вынуждает оценивать элементы платёжной матрицы более тщательно. В частном случае, для n = m =5;  = 0,5 и  = 0,1 получаем, что изменения носителей элементов платёжной матрицы могут быть до половины dij = 0,25( nij - rij ) и до половины

dv = 0,25( nv - rv ), что свидетельствует о большой устойчивости данной игры. Оценки чувствительности и стабильности нечётких матричных игр позволят определить требования к проведению экспертного опроса при получении соответствующих функций принадлежности элементов платёжной матрицы игры.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Зайченко Ю.П. Исследование операций: Нечёткая оптимизация. Уч.пособие – Киев: Вища школа., 1991. – 191 с.

  2. Василевич Л.Ф. Теория игр. Уч. Пособие. – Киев: КИИМ.,2000. –98 с.

  3. Василевич Л.Ф. Анализ чувствительности и стабильности нечётких систем. \\ Кибернетика и системный анализ. – 1998. – №1. – С. 166- 171.

Схожі:

Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр icon2 Упрощение матричных игр
Решение матричных игр тем сложнее, чем больше размерность платежной матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр iconКонтрольные вопросы по курсу "Исследование операций и теория игр"
Теорема о активных стратегиях. Сведение матричных игр (2 Х n), (m Х 2) к матричной игре (2 Х 2)
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр iconКиевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998
Пособие представляет собой конспект лекций. Кроме того, оно содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр iconКиевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998
Пособие представляет собой конспект лекций. Кроме того, оно содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр icon§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений
При рассмотрении действий с матрицами не вводится операция деления. Но возможно ввести понятие, которое разрешает дать некоторый...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр icon§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений
При рассмотрении действий с матрицами не вводится операция деления. Но возможно ввести понятие, которое разрешает дать некоторый...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр iconП. И. Чайковский 3 основные понятия теории игр и их классификация 3 > Предмет и задачи теории игр 3 > Терминология и классификация игр 4 > Примеры игр 6 тесты
Книга содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать для проведения практических занятий, а также для самостоятельного...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр iconП. И. Чайковский 4 основные понятия теории игр и их классификация 4 > Предмет и задачи теории игр 4 > Терминология и классификация игр 7 > Примеры игр 12 тесты
Книга содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать для проведения практических занятий, а также для самостоятельного...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр icon1. основные понятия теории игр и их классификация предмет и задачи теории игр
Даже идея Руссо об эволюции от «естественной свободы» к «гражданской свободе» формально соответствует с позиций теории игр точке...
Л. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр icon1. основные понятия теории игр и их классификация предмет и задачи теории игр
Даже идея Руссо об эволюции от «естественной свободы» к «гражданской свободе» формально соответствует с позиций теории игр точке...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи