§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными icon

§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными




Скачати 220.2 Kb.
Назва§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Дата07.09.2012
Розмір220.2 Kb.
ТипРешение

22079

§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными


5.1. Правило Крамера

Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче - решению и исследованию систем уравнений 1-ого порядка. Начнем изучение этого вопроса с разбора того основного случая, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Пусть задана система:

(1)

Будем считать, что система (1) имеет какое-либо решение и нужно только найти его. Обозначим через А основную матрицу системы.



Помножим все члены 1-го уравнения системы (1) на А11 - алгебраическое дополнение элемента а11 матрицы А, все члены 2-го уравнения системы (1) на А21 - алгебраическое дополнение элемента а21 матрицы А, наконец, все члены n-го уравнения системы (1) на Аn1 - алгебраическое дополнение элемента а n1 матрицы А. Тогда получим систему

(1')

Прибавим почленно все уравнения системы, получим

(ai1Ai1)x1+(ai2Ai1)x2+...+(ainAi1)xn=biAi1

Согласно теоремы про алгебраические дополнения имеем

ai1Ai1=det A ai2Ai1=0, ........., ainAi1=0

Поэтому полученное уравнение можно переписать в виде

Рассмотрим матрицу

,

полученную из матрицы А заменой элементов 1-го столбца столбцом свободных членов уравнений системы. Раскладывая det B1 по элементам 1-го столбца, получим det B1=biAi1, а потому

Аналогично, умножив уравнения системы (1) соответственно на Аі2 (и=1, 2, ... n) и добавляя их, получим

где

,

Поступив таким образом и в дальнейшем, получим систему уравнений

(2),

где матрица Вk получена из А заменой k-го столбца столбцом свободных членов. Очевидно, любое решение системы (1) является и решением системы (2).

Будем считать теперь, что определитель основной матрицы системы не равен нулю. Тогда система (2) имеет единственное решение

(3)

Напомним, что формулы (3) получены с предположением, что система (1) имеет решение. Непосредственной подстановкой найденных значений Хі в систему (1) можно убедиться в том, что они являются решением системы (1) и, следовательно, в предположении, что , система (1) имеет решение и к тому же единственное.

^ Теорема (теорема Крамера): если определитель основной матрицы системы п уравнений 1-го порядка с п неизвестными отличный от нуля, тогда система имеет единственное решение. При этом значение каждого из неизвестных равно части от деления определителей двух матриц: в знаменателе стоит определитель основной матрицы системы, а в числителе определитель матрицы, полученной из основной матрицы системы заменой столбца, что отвечает выбранному неизвестному, столбцом свободных членов.

Из этой теоремы выходит, что если система уравнений однородная то есть свободные члены во всех уравнениях системы равны нулю, и если определитель основной матрицы системы отличный от нуля, тогда система имеет только нулевое решение. Действительно, в таком случае, матрицы, определители которых стоят в числителе формул (3), содержат столбец, который включает в себя лишь нули, и, следовательно, все числа Хі равны нулю. Из доказанного вытекает следующая теорема:

^ Если система п однородных уравнений 1-го порядка с п неизвестными имеет хотя бы одно ненулевое решение, тогда определитель основной матрицы системы равен нулю. Действительно, если бы этот определитель был не равен нулю, тогда система имела бы только нулевое решение, что противоречит условию.

В дальнейшем мы докажем, что равенство нулю определителя системы есть не только обязательное, необходимое условие существования ненулевого решения, но и условие, достаточное для существования такого решения. Иначе говоря, если определитель системы однородных уравнений равен нулю, тогда система имеет ненулевое решение (и при этом бесконечное множество таких решений).

^ 5.2. Решение и исследование систем уравнений первого порядка методом полного исключения (Метод Гаусса).

Формулы Крамера дают возможность, используя прием вычисления определителей, найти числовые значения решения системы уравнений в случае, когда определитель основной матрицы системы отличный от нуля. Но практическое применение этих формул во многих случаях усложнено. Прежде всего, необходимо отметить, что для нахождения решений по формулам (3) необходимо вычислить n+1 определитель n-го порядка, что представляет собой довольно трудоемкую работу, даже при использовании тех приемов, которые были указаны в §4. Но самое главное то, что в случае, когда коэффициенты уравнения заданы приближенно (в реальных задачах это бывает почти всегда), погрешность решения может быть довольно большая. Это объясняется тем, что слагаемые, которые входят в каждый из определителей, через которые определяется решение системы, могут быть довольно большие (напомним, они представляют собою произведение n сомножителей - различных коэффициентов расширенной матрицы системы), а сам определитель, который представляет собой алгебраическую сумму таких слагаемых, может быть малый. Даже в том случае, когда коэффициенты в системе исходных уравнений известны точно, но сами вычисления ведутся с учетом лишь заданного числа значащих цифр, мы по тем же причинам сможем получить довольно большие погрешности в результате. А потому при практическом решении систем уравнений в большинстве случаев используют не формулы Крамера, а другие приемы вычислений.

В данном курсе мы рассмотрим метод полного исключения, относительно решения систем уравнений 1-ого порядка также и в том случае, когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных. Но изложение этого метода начнем с основного случая: когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Таким образом, пусть снова задана система n уравнений с n неизвестными:

(1)

Поскольку хотя бы один из коэффициентов ai1 отличный от нуля (иначе в систему вообще не входило бы х1), и уравнения в системе возможно менять местами, тогда без какого-либо ограничения всеобщности можно считать, что Поделим 1-е уравнение системы на a11 и приведем его к виду ,

где



Перемножая все члены полученного уравнения на аі1 и вычитая из і-го уравнения системы (1), получим новую систему

(2),

где



i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ... , n

Поскольку уравнения системы (2) получены как линейные комбинации уравнений системы (1), то любое решение системы (1) является также и решением системы (2). Вместе с тем поскольку



то уравнения системы (1) могут быть получены как линейная комбинация уравнений системы (2). Следовательно, любое решение системы (2) является и решением системы (1). Таким образом, система (1) и (2) равнозначны. (Линейной комбинацией двух уравнений с11х112х2+...+с1nхn=d1 і, с21х122х2+...+с2nхn=d2 будем называть уравнение 1(c11x1+c12x2+...+c1nxn)+2(c21x1+c22x2+...+c2nxn)=1d1+2d2, где 1 та 2 - числа)


Сравним теперь определители D1 и D2 основных матриц систем (1) и (2). Первая строка основной матрицы системы (2) получена из первой строки основной матрицы системы (1) делением на а11. Такая операция отвечает делению D1 на а11. Другие строки получены вычитанием из соответствующих строк основной матрицы системы (1) величин, пропорциональных первой строке. Эта операция не изменяет величины определителя. Отсюда выходит, что определитель D2 основной матрицы системы (2) равен . А потому , если и D2=0, если D1=0. Отметим, наконец, что вычисления мы проводили только с коэффициентами уравнений системы (1), поэтому нет необходимости писать сами уравнения. Достаточно написать лишь расширенную матрицу системы и преобразовать только элементы этой матрицы.

Будем обозначать переход от одной расширенной матрицы к другой, то есть фактически переход от одной системы уравнений к системе, ей равнозначной, символом или . Тогда проведенные операции можно записать так:



Будем считать сначала, что определитель D1 основной матрицы системы (1) отличный от нуля. Тогда, как сказано выше, , а потому, в крайнем случае, одно из чисел (и=1, 2, ... , n) отлично от нуля, поскольку, если бы все были равны нулю, был бы равен нулю и определитель D2 основной матрицы системы (2).

Поскольку уравнения в системе (2) можно менять местами, поэтому, без ограничения, можно считать, что . Поделим 2-е уравнение системы (2) на , помножим полученную строку на (і=1, 3, 4, ... , n) и вычтем из і-й строки.

Тогда будем иметь



Система уравнений, что отвечает матрице В3, равнозначна системе (2), а поэтому и исходной системе (1). Определитель D3 основной матрицы этой системы отличный от нуля, поскольку отличный от нуля определитель D2. Отсюда, в крайнем случае, одно из чисел (и=3, ... , n) отлично от нуля и можно снова провести те ж операции, что и ранее. Продолжая аналогичные размышления, после n операций получим матрицу



Соответствующая система уравнений имеет вид

(3),

ее единственным решением есть (4)

Поскольку система (3) равнозначна системе (1), имеет единственное решение, то имеет единственное решение, что определяется формулами (4), и исходная система(1).

Пример 1. Решить систему



Решение



x1=1; x2=-1; x3=0; x4=2

Отметим, если система однородна, то есть все числа bi (и=1, 2, ... , n) равны нулю, тогда равны нулю и все числа Поэтому система (1) имеет в этом случае только нулевое решение.

Пусть теперь определитель D1 основной матрицы системы (1) равен нулю. Тогда уже нельзя утверждать, что среди чисел (и=m, m+1, ... , n), полученных после (m-1)-го этапа преобразований, будет хотя бы одно, отличное от нуля. Больше того, на каком-то этапе все эти числа обязательно станут равными нулю (иначе мы имели бы разобранный случай). Таким образом, пусть получена матрица



Переставим m-ый столбец матрицы на место n-го, а все следующие за m-м столбцом, кроме столбца свободных членов сдвинем на одно место влево (такая операция, очевидно, означает перестановку неизвестных в уравнениях системы или их перенумерацию, что, конечно, не изменяет решения системы). В результате получим матрицу

,

где

и=1, 2, ... , n;

k=m, m+1, ... , n.

Продолжая те ж преобразования, что и ранее, получим, в конечном счете, матрицу

(5)

Матрице (5) отвечает система уравнений

(6),

в которой неизвестные отличаются от неизвестных хі в системе (1) лишь нумерацией. Поскольку система (6) равнозначна системе (1), тогда вывод о решении системы (1) равносильный выводу о решении системы (6).

Очевидно, что если хотя бы одно из чисел (и=k+1, ... , n) не равно нулю, тогда уравнение системы (6), а потому и уравнение системы (1), несовместимы. Если есть все (і=k+1, ... , n) равны нулю, тогда уравнения совместны. При этом неизвестным можно дать любые значения, и система имеет такие решения:

,

где t1, t2, ... , te ( =n-k) произвольные

Для того, чтобы было удобно возвращаться к исходной системе неизвестных, полезно над столбцами матриц, которые получаются при проведении преобразований, надписывать обозначения соответствующих неизвестных. Укажем, кроме того, что если исходная система (1) однородна, тогда все числа (и=1, 2, ... , n) равны нулю. Поэтому имеют место такие два утверждения.

1. Система однородных уравнений 1-ого порядка всегда совместна.

2. Если определитель системы однородных уравнений 1-ого порядка равен нулю, тогда система имеет бесконечное множество решений.

Пример 2




Решение




Система уравнений, что отвечает полученной матрице, имеет вид:



Система совместна, х4=t произвольно. Система имеет бесконечное множество решений



причем t - произвольное число.

Отметим, что если бы свободные члены в уравнениях были другими, чем задано в условии, система могла бы быть несовместимой. Пусть, например, b4=1. Тогда преобразованная матрица системы будет



и последнее уравнение системы приобретет такой вид 0х1+0х2+0х3+0х4=1, что не имеет смысла.

Пример 3.



Решение.



Система совместима, х2=t произвольно; x1=1-t, x2=t, x3=-2, x4=1.

Разобранный метод без каких-либо изменений переносится и на тот случай, когда число неизвестных не совпадает с числом уравнений.


ІІ. Примеры решения задач

1.20. Решить систему



Вычислим определитель системы



Поскольку определитель системы отличный от нуля, применим правило Крамера. Для вычисления определителя detB1 заменим столбец определителя системы столбцом из свободных членов . Имеем



Определитель detB2 получим заменой столбца определителя системы столбцом из свободных членов:



Согласно правила Крамера, находим ;

Совокупность чисел (5;-4) является единственным решением данной системы.

1.21. Найти решения системы



Определитель из коэффициентов системы отличный от нуля:

detA==2·3·(-5)+5·(-9) ·2+(-8) ·4·3-(-8) ·3·2-5·4·(-5)-2·3·(-9)=-140


Поэтому можно применить правило Крамера



отсюда находим ; ;

Совокупность чисел (3, 2, 1) является единственным решением системы.

1.22. Решить систему



Выпишем расширенную матрицу системы

/IVp+II-I-III/ ~

Нетрудно видеть, что определитель из коэффициентов системы равен нулю, поскольку 4-ая строка его состоит из нулей. Последняя строка расширенной матрицы свидетельствует о том, что система не совместна.

1.23. Решить систему



Выпишем расширенную матрицу системы

/IIp. -2· I, IIIp. -I, IVp. -II-III/ ~ ~

/поделим ІІІр. на (-3), IVp. на (-3)/

~ /ІІІр. +2· ІІ/ ~

В результате всех преобразований данная система линейных уравнений свелась к треугольному виду.



Она имеет единственное решение.

х3=1 х4=-1 х2=-2 х1=2 ▲

1.24.







Уравнения совместимы, х4=t произвольно,

1.25. Найти решения системы








Система совместна, х4=t произвольно,

1.26. Решить систему







Система совместима, х4=t произвольно, x1=t, x2=-2t, x3=0, x4=t. ▲
^

§6 Ранг матрицы, теорема о совместимости систем уравнений первого порядка


Для исследования многих вопросов, связанных с решением систем уравнений 1-ого порядка, часто вводят понятие ранг матрицы.

Определение. Рангом матрицы называется самый высокий порядок отличного от нуля определителя квадратной субматрицы, полученной из заданной матрицы вычеркиванием некоторых строк и столбцов.

Рассмотрим, например, матрицу



Вычеркиванием любого числа строк и столбцов невозможно из заданной матрицы получить квадратную матрицу порядка выше 3-го. Отсюда, ранг ее не может быть больше трех. Но, вычеркивая один из столбцов, мы будем получать квадратные матрицы, которые имеют две одинаковые строки, а потому их определители равны нулю. Отсюда, ранг исходной матрицы меньше 3-х. Вычеркнув, например, 3-й и 4-й столбец и 3-й строку, получим квадратную матрицу , определитель которой не равен нулю. Таким образом, все определители субматрицы 3-го порядка равны нулю, но среди определителей матриц 2-го порядка есть отличный от нуля. Тем самым ранг исходной матрицы равен двум.

Докажем теорему: ранг матрицы не изменяется при линейных операциях с ее строками.

Действительно, линейные операции со строками какой-либо матрицы приводят к тем же линейным операциям со строками любой субматрицы. Но, как указано выше, при линейных операциях со строками квадратных матриц определители этих матриц получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля. Отсюда, нулевой определитель остается нулевым, а отличный от нуля - отличным от нуля, то есть не может измениться наивысший порядок отличного от нуля определителя субматриц. Не влияет, очевидно, на ранг матрицы и перестановка столбцов, поскольку такая перестановка может влиять лишь на знак соответствующих определителей.

Из доказанной теоремы выходит, что рассмотренные в предыдущем параграфе преобразованные матрицы имеют тот же ранг, что и исходные. Поэтому ранг основной матрицы системы уравнений первого порядка равен числу единиц на главной диагонали преобразованной матрицы.

Докажем теперь теорему про совместимость систем уравнений 1-ого порядка (теорема Кронекера-Капелли): для того чтобы система уравнений 1-ого порядка была совместима, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы.

Пусть ранг основной матрицы системы равен k. Если ранг расширенной матрицы системы также равен k, тогда это означает, что или система содержит только k уравнений, или - все числа (i= k+1, ... , k) в преобразованной матрице равны нулю (в противном случае ранг расширенной матрицы преобразованной, а потому и исходной системы был бы k +1)

Пусть ранг превращенной (а потому и исходной) расширенной матрицы системы больше k, то есть больше, чем число единиц на главной диагонали преобразованной матрицы. Тогда существует хотя бы одна субматрица (k+1)-го порядка, определитель которой не равен нулю. Такая субматрица может быть получена только прибавлением к единичной матрице порядка k (что находится в левом верхнем углу превращенной матрицы) какой-то одной строки и столбца, который состоит из первых k свободных членов уравнений преобразованной системы и любого одного свободного члена из следующих n-k уравнений. Чтобы определитель указанной субматрицы был отличный от нуля, отличным от нуля должен быть и этот последний добавленный элемент, то есть число (i=k+1, ... , k). Но, как было доказано ранее, в этом случае система несовместима. Следовательно, система совместима тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

ІІ. Примеры решения задач

1.39. Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований



, где знак указывает, что соединенные ним матрицы получаются одна из другой элементарными преобразованиями, а потому имеют один и тот же ранг.

Прибавим далее к ІІІр+3ІІ, Іст:2, добавляя его к ІІІст и отнимая из Ivст, и переставив, наконец, местами первые два столбца, будем иметь



Ранг матрицы А равен 2, то есть r=2. ^

1.40. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы





r=3, т.к. определитель треугольной матрицы с первых трех столбцов не равен нулю. ▲

Вычисление рангу матрицы методом обрамления

Выбираем в данной матрице минор второго порядка, отличный от нуля. Потом вычисляем миноры третьего порядка, которые обрамляют (включают в себя) выбранный, пока не найдем среди них отличного от нуля. Дальше вычисляем миноры четвертого порядка, которые обрамляют отличный от нуля минор ІІІ-го порядка, пока не найдем среди них отличный от нуля, и т.д. Если найти отличный от нуля минор r-го порядка, а все обрамляющие его миноры (r+1)-го порядка равны нулю или их уже нет, то ранг матрицы равен r.

1.41. Вычислить ранг матрицы

Вычеркнули ІІІр. , поскольку 2·ІІр. +І естьІІІр.

Выберем, например,

Вычислим миноры ІІІ-го порядка, которые обрамляют его



минор ІІІ-го порядка отличный от нуля.

Он содержится в определителе IV порядка заданной матрицы, который равен нулю. Следовательно, r=3. ▲

1.42. Решить системы уравнений



а) Здесь r(A)=3, r(B)=3; система совместимая, определенная.

Поскольку ,

тогда из первых трех систем, например, согласно формул Крамера, находим

х1=-1, х2=0, х3=1

b) Здесь r(A)=2, r(B)=2; система совместима, но не определенная.

Определитель

и из первых двух уравнений системы



Находим

,

где неизвестным х3 и х4 можно давать любые значения.

в) в этом случае r(A)=2, r(B)=3; и система несовместима.

1.43. Методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решить однородную систему уравнений:



и найти ее фундаментальную систему решений.

Выпишем расширенную матрицу системы (при этом нулевой столбец можно, конечно, не писать). После понятных преобразований будем иметь

то есть заданная система равнозначна следующей:



Здесь r=3, и три неизвестных можно выразить через последние, например, так:

х45

х2=-2х3-3х4-9х5=-2х3-12х5

х1=-2х2-3х3-4х4-5х53+15х5

Фундаментальную систему можно получить, если свободным неизвестным х3, х5 придавать значение х3=1, х5=0 (тогда х1=1, х2=-2, х4=0) и значение х3=0, х5=1 (тогда х1=15, х2=-12, х4=1). Это дает фундаментальную систему решений:

e1=(1, -2, 1, 0, 0), e2=(15, -12, 0, 1, 1)

С использованием фундаментальной системы часто записывают общее решение в виде линейной комбинации решений е1 та е2, то есть:

e=


1.44. Найти фундаментальную систему решений системы линейных уравнений и записать ее общее решение







IVp. отбросим (пропорционально к І), или IVp. =II+III, IIp. -I, IIIp. -I



Третью строку отбросим. Система свелась к ступенчатой с основніми неизвестными х1, х2 и свободными х3, х4:



Из последнего уравнения . Из первого Свободных неизвестных 2. Поэтому берем определитель ІІ порядка с единичными элементами главной диагонали и нулевыми - побочной: .

Будем считать х3=1, х4=0. Тогда

Получим вектор e1=( )

Дальше будем считать х3=0, х4=1. Получим вектор e2=

Векторы e1 и e представляют собой фундаментальную систему решений.

Теперь общее решение можно записать в виде

e=

Присваивая коэффициентам , любые (произвольные) числовые значения будем получать разнообразные частичные решения.

1.45.



/из всех строк вычтем IV/

II, III, V строки, которые пропорциональны к І-й, вычеркнем. В полученной матрице переставим І и ІІ столбцы:

Ранг матрицы равен 2.

Основные неизвестные х2 и х1. Свободные - х3, х4, х5. Система теперь имеет вид:



Присваивая свободным неизвестным последовательно значения, которое равны элементам столбцов определителя



1) х3=1, х4=0, х5=0; 2) х3=0, х4=1, х5=0; 3) х3=0, х4=0, х5=1

получим:

1) х2=1, х1=1; 2) х2=1, х1=-2; 3) х2=-2, х1=1

то есть векторы С1=(1, 2, 1, 0, 0)

С2=(-2, 1, 0, 1, 0)

С3=(1, -2, 0, 0, 1)

составляют фундаментальную систему решений. Общее решение системы теперь останется.

c=

1.46.



Матрица коэффициентов

имеет ранг r=2 (проверьте).

Выберем за базисный минор

Тогда сокращенная система имеет вид:



Откуда, считая х3=с1, х4=с2, х5=с3, находим



Общее решение системы



Из общего решения находим фундаментальную систему решений



С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано

e=с1e1+с2e2+с3e3
^

§7 Основные операции с матрицами


В предыдущем параграфе широко применялись линейные операции со строками и столбцами различных матриц. Но в некоторых вопросах линейной алгебры приходится рассматривать операции с матрицами как с единым объектом.

В основе изучения операций с матрицами лежит понятие равенства матриц. Будем исходить из такого определения: две матрицы одной и той ж размерности называются равными, если равны все их соответствующие элементы.

Следовательно, матрицы А і В одной и той же размерности nxm равны тогда и только тогда, когда Aik=Bik i=1, 2,... , n; k=1, 2,... , m. При этом еще раз подчеркнем, что сравнивать можно лишь матрицы одной и той же размерности.

Суммой двух матриц А и В одной и той же размерности nxm называется матрица С той же размерности такая, что

(С)ik=(A)ik+(B)ik (1)

Следовательно, при прибавлении матриц (прибавлять можно только матрицы одной и той же размерности) надо складывать все их соответствующие элементы.

Поскольку прибавление матриц сводится к прибавлению чисел - элементов этих матриц, очевидно, имеет место коммутативное и ассоциативное свойство.

А+В=В+А; (А+В)+С=А+(В+С) (2)

Произведением матрицы А на число  (или числа  на матрицу А) называется матрица В такая, что

(В)ik=(A)ik (3),

то есть при умножении матрицы на число (или числа на матрицу) необходимо все элементы матрицы умножить на это число. Напомним, что при умножении на число определителя матрицы достаточно было умножить на это число лишь элементы любой строки (или столбца).

Легко проверить, что при умножении матрицы на число имеет место распределительное свойство:

(А+В)=А+В; (+)=А+В (4)

Определим теперь произведение двух матриц. Пусть дана матрица А размерности nxm и матрица В размерности mxp.

Определение. Произведением матрицы А размерности nxm на матрицу В размерности mxp называется матрица С размерности nxp такая, что

(5),

иначе говоря, для получения элемента, что находится в і-й строке и в k-ом столбцу матрицы произведения, нужно вычислить сумму произведений элементов і-й строки первого множителя и соответствующих элементов k-го столбца второго множителя. Следовательно, для того чтобы возможно было сложить указанную сумму, нужно равенство числа столбцов в первой матрице (то есть число элементов в каждой строке) числу строк в другой (то есть числу элементов в каждом столбце).

Пример 1.



Найти АВ

Решение. Матрица А имеет размерность 3х2, матрица В 2х2; произведение существует - это матрица размерности 3х2.



Произведение матриц не имеет переставного свойства: АВ, вообще говоря, не равно ВА.

Во-первых, из того, что можно вычислить АВ, совсем не выходит, что имеет смысл ВА. Например, в только что разобранном примере перестановка множителей, то есть умножение В на А невозможно, поскольку нельзя матрицу размерности 2х2 умножить на матрицу размерностью 3х2 - число столбцов первой матрицы здесь не равно числу строк другой. Но даже если произведение ВА существует, то нередко . Рассмотрим пример.

Пусть . Тогда





Вместе с тем, можно доказать (такое доказательство мы рекомендуем провести читателю), что

(АВ)С=А(ВС) (6)

А(В+С)=АВ+АС

(обычно принимается к вниманию, что все эти произведения имеют смысл).

В соответствии с определением произведения матриц всегда возможно умножение квадратных матриц одного порядка, при этом произведение будет матрицей того же порядка. Отметим без доказательства одно из свойств произведения квадратных матриц одного порядка: определитель произведения двух матриц одного и того же порядка равен произведению определителей матриц, которые перемножаются.

Очень часто приходится рассматривать произведение матрицы размерности nxm на матрицу размерности mx1, то есть на матрицу с одним столбцом. Очевидно, мы должны получить в результате матрицу размерности nx1, то есть также матрицу с одним столбцом. Пусть, например, необходимо умножить матрицу

на матрицу

В результате получим матрицу , элементы которой исчисляются по формулам:



Но это означает, что систему уравнений 1-ого порядка, рассмотренную в предыдущем параграфе, можно записать в очень удобной матричной форме: АХ=В.

Существенную роль в различных применениях матричной алгебры играет квадратная матрица, у которой все диагональные элементы (то есть элементы, которые находятся на главной диагонали) равны 1, а все другие элементы равны нулю. Такая матрица называется единичной матрицей. Очевидно, что определитель единичной матрицы

= 1

Характерны следующие свойства единичной матрицы: пусть задана квадратная матрица А порядка n и Е-единичная матрица того же порядка. Тогда АЕ=ЕА=А.

Действительно , но

Поэтому в сумме отличные от нуля только те составные, для которых e=k. Следовательно, (АЕ)ік=(А)ік , и отсюда АЕ=А. Аналогично получаем и для произведения ЕА.

Примеры решения задач

1.61. Найти произведение АВ и ВА двух матриц



∆ Произведение АВ не существует, так как число столбцов матрицы А не равно числу строк матрицы В. Число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А. Следовательно существует произведение ВА:




1.62. Найти матрицу 2А+5В, если






Схожі:

§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Высшая математика» для курсантов 1-го курса дневной формы обучения
Определители 2-го порядка. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными
§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconПрактическая работа № Тема: Нахождение решений уравнений и систем уравнений
Цель: Освоить графический метод для решения уравнений и систем уравнений, научиться решать уравнения с одним неизвестным с помощью...
§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconРешение алгебраических уравнений и систем

§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconРешение уравнений и систем уравнений
Такие программы наряду с множеством уже реализованных в них методов позволяют пользователям самостоятельно разрабатывать схемы решения...
§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconТематическийпла н
Тема Матрицы и основные операции с матрицами. Определители матриц. Системы уравнений первой степени: правило Крамера. Метод полного...
§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconПравила выполненения расчетно-графической работы
Курсанты 2-го курса специальности «Судовождение» во 2-ом семестре должны выполнить расчетно-графическую работу №4 по изученным темам:...
§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconРешение нормальных уравнений с помощью обратной матрицы

§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconТехнология решения систем линейных алгебраических уравнений в распределенной вычислительной среде
Рассматривается технология решения больших систем линейных алгебраических уравнений вида
§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Судовождение»
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи