Скачати 196.68 Kb.
|
ГЛАВА ІІ: Векторная алгебра§1 Основные понятияРассматривая различные процессы и явления, мы встречаемся с объектами и величинами различной природы. Некоторые из физических величин - такая как масса, температура, объем, потенциал характеризуются одним числом. Они называются скалярными величинами или просто скаляром. Наряду со скалярами существуют величины, для характеристики которых необходимо указать также и направление. Такие, например, сила, скорость, перемещение, напряжение и прочие. Эти физические величины называются векторными величинами или векторами. Геометрической моделью векторной величины является прямолинейный отрезок с выбранным на нем направлением. В нашем курсе мы и будем иметь дело в основном с этой моделью, а потому прямолинейный отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая концом, будем называть геометрическим вектором или просто вектором. Если ^ - начало вектора, В - его конец, тогда сам вектор будем обозначать символом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Выше было указано, что вектор полностью определяется своим началом и концом. Он может быть задан также началом, длиной и направлением. Но для целого ряда вопросов точка прикладывания (начало вектора) не обязательна - имеет значение лишь длина вектора и его направление. Такие векторы называются свободными. Поскольку точка прикладывания (начало вектора) любая, тогда вектор можно переносить, сохраняя его длину и направление, в любую точку пространства. А потому векторы, которые имеют равные длины и одинаковые направления, называются равными векторами. То есть, векторы равны, если при параллельном переносе векторов и совпадении их начал будут совпадать и их концы. Поскольку для свободных векторов можно не указывать начало, тогда они часто определяются одной буквой: вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Введем еще три термина, которые часто встречаются в векторной алгебре. Коллинеарными называются векторы, которые лежат на параллельных прямых. Или, векторы коллинеарные, если при параллельном их переносе и сопоставлении их начал они лежат на одной прямой. Компланарными называются векторы, которые лежат на параллельных плоскостях. То есть, векторы компланарные, если при параллельном их переносе и сопоставлении начал они лежат в одной плоскости. Очевидно, что два вектора всегда компланарные. Нулевым вектором является вектор, у которого начало совпадает с концом. Длина нулевого вектора равна нулю, а направление произвольно, а потому нулевой вектор можно считать коллинеарным любому другому вектору. Обозначать нулевой вектор будем символом ![]() ^ Вводя различные операции с векторами, сохраним принятые в алгебре чисел термины “прибавление” и “умножение”. Но необходимо принять во внимание, что поскольку понятие “вектор” и “число” существенно различные, тогда и содержание указанных операций может не совпадать с соответствующими операциями алгебры чисел. А потому необходимо исследовать основные правила этих по сути новых операций и проверить выполнение установленных в алгебре чисел законов: коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного. Определение. Суммой двух векторов называется третий вектор, начало которого является началом 1-го вектора, концом - конец 2-го, при чем начало 2-го вектора сопоставлено с концом 1-го. Из введенного определения вытекает, что при прибавлении векторов имеет место коммутативное свойство, то есть ![]() Действительно, дополним треугольник, составленный из векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 3 Из приведенных соображений вытекает, что сумму двух векторов ![]() ![]() ![]() ![]() Легко проверить, что при прибавлении векторов имеет место ассоциативное свойство, то есть ![]() а потому сумму трех векторов можно записать просто в виде ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отмеченный пунктиром вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проведенные рассуждения дают прием прибавления любого числа векторов. Пусть заданы k векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, сумма нескольких векторов представляет собой вектор, который замыкает ломаную, построенную на заданных векторах. Может произойти, что конец последнего вектора совпадет с началом первого, и, следовательно, у замыкающего вектора конец совпадет с началом. В этом случае сумма векторов является нулевым вектором. Определение. Произведением вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку деление на число ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Произведение вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Как и в алгебре чисел, в алгебре векторов нет потребности рассматривать отдельно действие вычитания. Отнять от вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нетрудно убедиться, что при умножении вектора на число имеет место ассоциативное и дистрибутивное свойства. Покажем, во-первых, что ![]() (то есть имеет место ассоциативное свойство по отношению к числовым множителям). Действительно, поскольку длина вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогичные рассуждения проводятся и во всех других случаях. Докажем теперь, что ![]() пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, имеет место также соотношение ![]() Рассмотренные операции - прибавление векторов и умножение вектора на число - называются линейными операциями, а вектор ![]() полученный в результате проведения нескольких линейных операций, линейной комбинацией векторов ![]() ![]() ^ Пусть задано k векторов: ![]() Определение. Система векторов называется линейно-зависимой, если хотя бы один из векторов системы может быть выражен как линейная комбинация последних. Таким образом, система векторов ![]() ![]() где α 1, 'α 2,…... . α k-1 - некоторые числа. Отметим, если в заданную систему (множество) векторов включен нулевой вектор, тогда система обязательно линейно-зависимая. Действительно, всегда можно написать, что ![]() Приведенное определение линейной зависимости системы векторов выделяет из других один какой-то вектор системы. Во избежание такого выделения, часто вводят другое определение линейной зависимости. Определение. Система векторов ![]() ![]() ![]() Такое определение, конечно, равнозначно предыдущему. Действительно, если имеем равенство ![]() тогда, перенося ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и тем самым выполнено условие (1). В полном соответствии со сказанным можно ввести и определение линейной независимости систем векторов, как отрицание линейной зависимости. Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если она не является линейно-зависимой. Приведем другие, равнозначные определения: система векторов называется линейно-независимой, если ни один из векторов системы не может быть выражен как линейная комбинация последних; система векторов называется линейно-независимой, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Простейшим примером линейно-зависимых векторов является пара коллинеарных векторов. Пусть заданы два коллинеарных ненулевых вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, условие ![]() то есть условие линейной зависимости двух ненулевых векторов, есть условие, необходимое и достаточное для коллинеарности этих векторов. Докажем теперь, что линейная зависимость трех векторов есть условие необходимое и достаточное для их компланарности. Пусть заданы три компланарные ненулевые векторы ![]() ![]() Будем считать, что векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Справедливо и обратное утверждение: если векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из приведенных рассуждений вытекает, что если на плоскости задана пара неколлинеарных векторов, то любой третий вектор, который лежит в той же плоскости, может быть представлен как линейная комбинация двух заданных. Определение. Упорядоченная пара (если указан, какой вектор пары считается первым, а какой вторым) неколлинеарных векторов называется базисной системой векторов (базисом) на плоскости, определенной заданными векторами. ^ Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов, это представление (разложение по базисной системе) единственное. Пусть векторы ![]() ![]() ![]() ![]() Будем считать, что существует еще одно разложение вектора по той же базисной системе: ![]() при этом хотя бы одно из чисел ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проведенные рассуждения легко переносятся и на векторы, заданные в пространстве. Определение. Упорядоченная тройка (если указано, какой вектор тройки считать первым, какой вторым и какой третьим) некомпланарных векторов называется базисной системой векторов (базисом) в пространстве. ^ Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов; такое представление (“разложение по базисной системе”) единственное. Доказательство. Пусть заданная базисная система векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Через точку Е проведем прямые, параллельные векторам ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем ![]() Поэтому ![]() Полученное разложение единственное, поскольку, если бы существовало еще одно разложение ![]() то выполнялось бы равенство ![]() при этом хотя бы одно из чисел ![]() ![]() ![]() ![]() Из доказанного вытекает также, что любые четыре вектора линейно зависимые. Введем еще одно существенно важное понятие. Определение. Координатами вектора в заданном базисе называются коэффициенты разложения вектора по базисной системе векторов. Следовательно, если задана базисная система векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Встречается также запись в виде столбца ![]() Таким образом, если задан базис ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, если задан некоторый базис, то задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор, и, следовательно, два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты в каком-нибудь заданном базисе. Используя правила линейных операций, получим такие теоремы: ^ При прибавлении векторов складываются соответствующие координаты этих векторов. Действительно, пусть задан базис ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Отметим, что в пространстве можно выбрать бесконечное множество базисных систем векторов, и один и тот вектор в различных базисных системах будет иметь различные координаты. Во многих задачах полезно переходить от одной базисной системы к другой и устанавливать соотношение между координатами вектора в различных системах. Покажем это на примерах. ^ 1.88. В базисной системе ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В базисной системе ![]() ![]() ![]() Найти координаты вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно ![]() ![]() ![]() ![]() 1.89. Установить, являются векторы ![]() В соответствии с определением линейной зависимости отыскиваются такие числа ![]() ![]() ![]() Третье уравнение является последствием двух других. Выбираем ![]() ![]() 1.90. В базисе ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найти координаты вектора ![]() ![]() Поскольку четыре вектора всегда линейно зависимые, то ![]() ![]() 1.91. Выяснить, является система векторов ![]() Пусть ![]() где ![]() Подставляем в это равенство выражения векторов ![]() После умножения векторов на числа ![]() ![]() Откуда ![]() Эту систему линейных однородных уравнений решаем методом Гауса. ![]() Получили трапецеидальную систему. Следовательно, заданная система является неопределенной, а потому, кроме нулевого решения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свободными неизвестными можно считать ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Придадим ![]() ![]() ![]() ^ Будем называть осью прямую с выбранным на ней направлением. Пусть задан вектор ![]() Определение. Проекцией вектора ![]() ![]() ![]() ![]() Проекция вектора ![]() ![]() ![]() Определение. Углом между двумя векторами (или между вектором и осью) называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора. При этом нет значения, какой из двух векторов поворачивается: вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ Выберем в пространстве какую-нибудь точку О, проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси, и на каждой из них возьмем единичный вектор, направленный по этой оси (орт оси). Ось с выбранным на ней началом отсчета и единицей длины называется координатной осью, а упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом отсчета и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве. В выбранной упорядоченной системе координатных осей первую ось назовем осью абсцисс (или осью х), вторую - осью ординат (или осью у), третью - осью аппликат (или осью z). Поскольку на каждой оси выбран орт оси, то имеем также базисную тройку векторов. Векторы этой базисной тройки взаимно перпендикулярны. Такую базисную систему векторов называют ортогональной. Кроме того, длины всех трех наших базисных векторов равны единице. Такая система векторов называется нормированной (во многих случаях длину вектора называют нормой). Таким образом, выбранная система базисных векторов - “координатный базис” - является ортогональной и нормированной, или, как часто говорят, ортонормированной. Первый вектор базисной тройки, направленный по первой оси (по оси абсцисс), обозначается символом ![]() ![]() ![]() Базисные, то есть некомпланарные тройки векторов в пространстве делятся на два типа. Если при наблюдении от конца 3-го вектора базисной тройки кратчайший поворот от 1-го вектора к 2-му проводится против часовой стрелки - базисная система называется правой. Если при наблюдении от конца 3-го вектора наикратчайший поворот от 1-го вектора к 2-му проводится по часовой стрелке - тройка векторов называется - левой. Прямоугольная декартова система координат называется соответственно правой, если правой есть тройка ее базисных векторов, и левой, если тройка ее базисных векторов левая. Мы будем использовать только правую систему координат. Как было показано ранее, любой вектор может быть разложен и при этом единственным образом по базисной тройке векторов. А потому любой вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для сокращения записи вместо ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку вектор ![]() ![]() ![]() Углы образованы вектором ![]() ![]() Возьмем в пространстве с заданной прямоугольной системой координат произвольную точку М. Радиус-вектором этой точки будем называть вектор ![]() ![]() Определение. Координатами точки в заданной прямоугольной декартовой системе координат называются проекции радиус-вектора этой точки на координатные оси. Координаты заданной точки М в заданной прямоугольной декартовой системе координат записываются, как правило, в виде (x, y, z), где ![]() и называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой точки М. Три плоскости, определенные парами координатных осей, разбивают все пространство на 8 частей - октантов. Плоскости эти называются координатными плоскостями. На плоскости xy (которая проходит через оси x и y) аппликата любой точки равна нулю, на плоскости xz (которая проходит через оси x и z) ордината любой точки равна нулю, на плоскости yz (которая проходит через оси y и z) абсцисса любой точки равна нулю. Очевидно, в заданной системе координат координаты любой фиксированной точки определяются единственным образом, и задание координат любой точки (то есть задание упорядоченной тройки действительных чисел) единственным образом определяет положение самой точки. Другими словами, в заданной системе координат имеет место взаимно-однозначное соответствие между точками в пространстве и упорядоченными тройками действительных чисел. Поскольку вектор полностью определяется заданием положения его начала и его конца, то можно выразить координаты в ортонормированном базисе через координаты его концов. Пусть в заданной прямоугольной декартовой системе координат начало вектора находится в точке M1(x1, y1, z1), а конец - в точке M2(x2, y2, z2) (рис. 12). Как известно, ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 12 Поэтому ![]() Следовательно, ![]() Можно использовать и другую систему записи ![]() ![]() Аппарат векторной алгебры и метод координат с успехом используется для решения многих геометрических задач. Задача 1. Найти расстояние между двумя заданными точками ![]() ![]() Решение. Вектор ![]() ![]() ![]() Задача 2. Заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2). Найти координаты точки, которая лежит на отрезке ![]() ![]() Решение. Пусть точка M(x, y, z) - искомая (рис. 12). Векторы ![]() ![]() ![]() Следовательно ![]() При равенстве векторов должны быть равны их координаты. Поскольку ![]() ![]() ![]() получим ![]() В частном случае, если n=m ![]() ![]() и, следовательно, координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов. Очевидно, что все полученные результаты можно перенести и на случай прямоугольной системы координат на плоскости. Векторами, которые образовывают ортонормированный базис, здесь будут ![]() ![]() ![]() Чтобы получить из выведенных формул соответствующие формулы в прямоугольной декартовой системе координат на площади, достаточно считать равными нулю все проекции на ось z. |
![]() | Іі: Векторная алгебра §1 Основные понятия Наряду со скалярами существуют величины, для характеристики которых необходимо указать также и направление. Такие, например, сила,... | ![]() | Т. В. Вища математика. Частина Лінійна алгебра. Векторна алгебра. Аналітична геометрія. Повторити теоретичний матеріал за конспект Будкіна Т. В. Вища математика. Частина Лінійна алгебра. Векторна алгебра. Аналітична геометрія |
![]() | Робочий тематичний план навчальної дисципліни аналітична геометрія та лінійна алгебра Мета курсу – оволодіння фундаментальними поняттями лінійної алгебри та аналітичної геометрії ( "векторний простір", "євклідів простір",... | ![]() | "Алгебра, Топологія, Аналіз та застосування" 5–15 липня 2011 року (смт. Лазурне, Херсонська обл., Україна) З приємністю запрошуємо Вас взяти участь у 8-мій літній школі "Алгебра, Топологія, Аналіз та застосування", яка проходитиме з 5 по... |
![]() | 11-а понеділок 1 Всесвітня історія 214 2 Алгебра І початки аналізу (лекція) | ![]() | Формат опису модуля Математичний аналіз, лінійна алгебра, практикум на пк, алгоритмічні мови І програмування, диференціальні рівняння |
![]() | Лекция Реляционная алгебра международный научно-технический университет имени академика ю. Бугая кафедра компьютерных наук и информационных систем содержание | ![]() | Формат опису модуля Лінійна алгебра та аналітична геометрія, Основи програмування, Об’єктно-орієнтоване програмування |
![]() | Питання до колоквіуму з курсу „Алгебра І теорія чисел” Кільце многочленів від однієї змінної над кільцем (яке є підкільцем комутативного кільця з одиницею) | ![]() | Алгебра событий ... |