Іі: Векторная алгебра icon

Іі: Векторная алгебра




Скачати 196.68 Kb.
НазваІі: Векторная алгебра
Дата07.09.2012
Розмір196.68 Kb.
ТипДокументи

22083

ГЛАВА ІІ: Векторная алгебра

§1 Основные понятия


Рассматривая различные процессы и явления, мы встречаемся с объектами и величинами различной природы. Некоторые из физических величин - такая как масса, температура, объем, потенциал характеризуются одним числом. Они называются скалярными величинами или просто скаляром. Наряду со скалярами существуют величины, для характеристики которых необходимо указать также и направление. Такие, например, сила, скорость, перемещение, напряжение и прочие. Эти физические величины называются векторными величинами или векторами.

Геометрической моделью векторной величины является прямолинейный отрезок с выбранным на нем направлением.

В нашем курсе мы и будем иметь дело в основном с этой моделью, а потому прямолинейный отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая концом, будем называть геометрическим вектором или просто вектором.

Если ^ А - начало вектора, В - его конец, тогда сам вектор будем обозначать символом . Символ будет, очевидно, обозначать вектор, начало которого находится в точке ^ В, а конец - в точке А. Под длиной вектора будем понимать расстояние между началом и концом вектора. Длину, или, как часто говорят, модуль вектора , обозначают символом . Очевидно, векторы и имеют одинаковую длину (то есть =) и противоположные направления.

Выше было указано, что вектор полностью определяется своим началом и концом. Он может быть задан также началом, длиной и направлением. Но для целого ряда вопросов точка прикладывания (начало вектора) не обязательна - имеет значение лишь длина вектора и его направление. Такие векторы называются свободными. Поскольку точка прикладывания (начало вектора) любая, тогда вектор можно переносить, сохраняя его длину и направление, в любую точку пространства. А потому векторы, которые имеют равные длины и одинаковые направления, называются равными векторами. То есть, векторы равны, если при параллельном переносе векторов и совпадении их начал будут совпадать и их концы.

Поскольку для свободных векторов можно не указывать начало, тогда они часто определяются одной буквой: вектор , вектор и т.д. Длина вектора обозначается символом .

Введем еще три термина, которые часто встречаются в векторной алгебре.

Коллинеарными называются векторы, которые лежат на параллельных прямых. Или, векторы коллинеарные, если при параллельном их переносе и сопоставлении их начал они лежат на одной прямой.

Компланарными называются векторы, которые лежат на параллельных плоскостях. То есть, векторы компланарные, если при параллельном их переносе и сопоставлении начал они лежат в одной плоскости. Очевидно, что два вектора всегда компланарные.

Нулевым вектором является вектор, у которого начало совпадает с концом. Длина нулевого вектора равна нулю, а направление произвольно, а потому нулевой вектор можно считать коллинеарным любому другому вектору. Обозначать нулевой вектор будем символом .
^

§2 Линейные операции с векторами.


Вводя различные операции с векторами, сохраним принятые в алгебре чисел термины “прибавление” и “умножение”. Но необходимо принять во внимание, что поскольку понятие “вектор” и “число” существенно различные, тогда и содержание указанных операций может не совпадать с соответствующими операциями алгебры чисел. А потому необходимо исследовать основные правила этих по сути новых операций и проверить выполнение установленных в алгебре чисел законов: коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного.

Определение. Суммой двух векторов называется третий вектор, начало которого является началом 1-го вектора, концом - конец 2-го, при чем начало 2-го вектора сопоставлено с концом 1-го.

Из введенного определения вытекает, что при прибавлении векторов имеет место коммутативное свойство, то есть

(1)

Действительно, дополним треугольник, составленный из векторов , , к параллелограмму (рис. 3). Поскольку , и согласно определению суммы векторов и , тогда .



Рис. 3

Из приведенных соображений вытекает, что сумму двух векторов и можно определить как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , которые выходят из общего начала заданных векторов.

Легко проверить, что при прибавлении векторов имеет место ассоциативное свойство, то есть

(2),

а потому сумму трех векторов можно записать просто в виде . Действительно, построим из векторов и вектор ; построим также сумму векторов и вектора (рис. 4).



Отмеченный пунктиром вектор , согласно определению, и есть суммой векторов и , . Вместе с тем , таким образом, .

Проведенные рассуждения дают прием прибавления любого числа векторов. Пусть заданы k векторов , и необходимо найти их сумму. К концу вектора приложим начало вектора , к концу построенного вектора приставим начало вектора и т.д. Наконец, к концу вектора приставим начало вектора (рис. 5).



Тогда вектор , началом которого является начало вектора , а концом - конец вектора , и будет суммой векторов : . При этом безразлично, в каком порядке нумеруются заданные векторы.

Таким образом, сумма нескольких векторов представляет собой вектор, который замыкает ломаную, построенную на заданных векторах. Может произойти, что конец последнего вектора совпадет с началом первого, и, следовательно, у замыкающего вектора конец совпадет с началом. В этом случае сумма векторов является нулевым вектором.

Определение. Произведением вектора на число (или числа на вектор ) называется вектор , длина которого в раз больше длины вектора и направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению , если .

Поскольку деление на число представляет собой умножение на число , то можно выполнять и деление вектора на отличное от нуля число.

Пусть ненулевой вектор. Поскольку - положительное число, тогда вектор направлен так, как и вектор . Длина вектора равна, очевидно, 1. Вектор , который имеет длину равную 1 и направлен так, как и вектор , называется ортом вектора .

Произведение вектора на число -1 (или, что то же самое, произведение числа -1 на вектор ), то есть выражение (или ), записывают как - . Поскольку векторы и имеют в соответствии с определением одинаковые длины и противоположные направления, тогда

(3)

Как и в алгебре чисел, в алгебре векторов нет потребности рассматривать отдельно действие вычитания. Отнять от вектора вектор означает прибавить к вектору вектор - : . А потому в векторных равенствах векторы можно переносить из одной части равенства в другую, изменяя знак, который стоит перед вектором, на противоположный. То есть, если , тогда .

Нетрудно убедиться, что при умножении вектора на число имеет место ассоциативное и дистрибутивное свойства. Покажем, во-первых, что

(4)

(то есть имеет место ассоциативное свойство по отношению к числовым множителям).

Действительно, поскольку длина вектора равна , длина вектора равна и длина вектора равна , тогда длина векторов и одинаковая. Дальше, если, например, числа и положительны, тогда векторы , , направлены так, как и вектор , а потому все они имеют одинаковые направления. Если и , тогда векторы , , направлены все противоположно вектору , а потому также одинаково направлены.

Аналогичные рассуждения проводятся и во всех других случаях.

Докажем теперь, что

(5),

пусть (рис. 6 при и рис. 7 при ).






Поскольку , тогда углы ОАВ и ОА1В1 равны. Поскольку , тогда треугольники ОАВ и ОА1В1 подобны. Отсюда, точки О, В, В1 лежат на одной прямой и , а потому . Но и утверждение доказано.

Очевидно, имеет место также соотношение

(6)

Рассмотренные операции - прибавление векторов и умножение вектора на число - называются линейными операциями, а вектор

(7),

полученный в результате проведения нескольких линейных операций, линейной комбинацией векторов . Числа называются коэффициентами этой линейной комбинации.
^

§ 3 Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов


Пусть задано k векторов: . Назовем такое заданное множество векторов системой векторов.

Определение. Система векторов называется линейно-зависимой, если хотя бы один из векторов системы может быть выражен как линейная комбинация последних.

Таким образом, система векторов линейно-зависимая, если, например,

(1),

где α 1,2,…... . α k-1 - некоторые числа.

Отметим, если в заданную систему (множество) векторов включен нулевой вектор, тогда система обязательно линейно-зависимая. Действительно, всегда можно написать, что , то есть выражать нулевой вектор как линейную комбинацию (с нулевыми коэффициентами) последних векторов системы.

Приведенное определение линейной зависимости системы векторов выделяет из других один какой-то вектор системы. Во избежание такого выделения, часто вводят другое определение линейной зависимости.

Определение. Система векторов называется линейно-зависимой, если существуют числа , из которых хотя бы одно отличное от нуля, такие что

(2)

Такое определение, конечно, равнозначно предыдущему. Действительно, если имеем равенство

,

тогда, перенося в правую часть, получим =0, и, следовательно, имеем равенство (2) при . Наоборот, если выполнено условие (2) и, например, , тогда

,

и тем самым выполнено условие (1).

В полном соответствии со сказанным можно ввести и определение линейной независимости систем векторов, как отрицание линейной зависимости.

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если она не является линейно-зависимой.

Приведем другие, равнозначные определения:

система векторов называется линейно-независимой, если ни один из векторов системы не может быть выражен как линейная комбинация последних;

система векторов называется линейно-независимой, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

Простейшим примером линейно-зависимых векторов является пара коллинеарных векторов. Пусть заданы два коллинеарных ненулевых вектора и . Обозначим через отношение длин этих векторов, то есть число . Очевидно, что векторы и при сделанном выборе числа имеют одинаковые длины. Следовательно, если и одинаково направленные, тогда , если же они направлены в противоположные стороны, тогда . Таким образом, два коллинеарных вектора всегда линейно зависимые. Ясно, что верно и обратное утверждение: если два вектора линейно зависимые, тогда они коллинеарные.

Таким образом, условие

(3),

то есть условие линейной зависимости двух ненулевых векторов, есть условие, необходимое и достаточное для коллинеарности этих векторов.

Докажем теперь, что линейная зависимость трех векторов есть условие необходимое и достаточное для их компланарности.

Пусть заданы три компланарные ненулевые векторы . В соответствии с определением при сопоставлении начал этих векторов они окажутся в одной плоскости (рис. 8).



Будем считать, что векторы и не коллинеарные (в противном случае они линейно зависимые). Через конец вектора (точку С) проведем прямые, параллельные векторам и . Эти прямые пересекут прямые, на которых лежат векторы и , в точках А1 и В1. Векторы ОА1 и , очевидно, коллинеарные. А потому , и аналогично . Но . Таким образом, , и, следовательно, векторы линейно зависимые.

Справедливо и обратное утверждение: если векторы линейно зависимы, то они компланарные. Действительно, пусть . Если векторы и не коллинеарные, то они определяют некоторую плоскость. В той же плоскости лежат, очевидно, векторы и , а потому и их сумма - вектор . Если ж векторы и коллинеарные, тогда на той же прямой лежит и вектор , и три заданных вектора не только компланарные, но и коллинеарные.

Из приведенных рассуждений вытекает, что если на плоскости задана пара неколлинеарных векторов, то любой третий вектор, который лежит в той же плоскости, может быть представлен как линейная комбинация двух заданных.

Определение. Упорядоченная пара (если указан, какой вектор пары считается первым, а какой вторым) неколлинеарных векторов называется базисной системой векторов (базисом) на плоскости, определенной заданными векторами.

^ Теорема разложения. Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов, это представление (разложение по базисной системе) единственное.

Пусть векторы и базисные. Тогда, как показан выше, любой вектор может быть представлен в виде . Остается доказать единство разложения.

Будем считать, что существует еще одно разложение вектора по той же базисной системе:

,

при этом хотя бы одно из чисел и отличное от чисел и . Тогда получим . Следовательно, векторы и линейно зависимые, а потому коллинеарные. Но это противоречит утверждению, что и образовывают базисную систему. Таким образом, разложение заданного вектора по заданной базисной системе единственное.

Проведенные рассуждения легко переносятся и на векторы, заданные в пространстве.

Определение. Упорядоченная тройка (если указано, какой вектор тройки считать первым, какой вторым и какой третьим) некомпланарных векторов называется базисной системой векторов (базисом) в пространстве.

^ Теорема разложения. Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов; такое представление (“разложение по базисной системе”) единственное.

Доказательство. Пусть заданная базисная система векторов и - произвольный вектор. Пусть 0 - общее начало этих векторов. Через точку ^ D - конец вектора (рис. 9) - проведем прямую DE, параллельную вектору , и пусть E - точка пересечения этой прямой с плоскостью, определенную векторами и .



Через точку Е проведем прямые, параллельные векторам и , пусть В1 и А1 - точки пересечения этих прямых с прямыми, на которых лежат указанные векторы. Наконец, через точку D проведем прямую, параллельную ОЕ , до пересечения в точке С1 с прямой, на которой лежит вектор .



Имеем



Поэтому



Полученное разложение единственное, поскольку, если бы существовало еще одно разложение

,

то выполнялось бы равенство

,

при этом хотя бы одно из чисел было бы отличное от нуля. Это означало бы, что векторы были бы линейно зависимые, а потому и компланарные, что противоречит условию теоремы.

Из доказанного вытекает также, что любые четыре вектора линейно зависимые.

Введем еще одно существенно важное понятие.

Определение. Координатами вектора в заданном базисе называются коэффициенты разложения вектора по базисной системе векторов.

Следовательно, если задана базисная система векторов и , то координатами вектора в заданном базисе называются числа . Записываются координаты вектора в заданном базисе в виде строки: .

Встречается также запись в виде столбца



Таким образом, если задан базис , и в этом базисе , тогда .

Очевидно, если задан некоторый базис, то задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор, и, следовательно, два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты в каком-нибудь заданном базисе.

Используя правила линейных операций, получим такие теоремы:

^ При умножении вектора на число все его координаты в заданном базисе перемножаются на это число.

При прибавлении векторов складываются соответствующие координаты этих векторов.

Действительно, пусть задан базис , и в этом базисе два вектора:

, .

Тогда

;



Отметим, что в пространстве можно выбрать бесконечное множество базисных систем векторов, и один и тот вектор в различных базисных системах будет иметь различные координаты. Во многих задачах полезно переходить от одной базисной системы к другой и устанавливать соотношение между координатами вектора в различных системах. Покажем это на примерах.

^ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.88. В базисной системе заданы три вектора

, , .

В базисной системе вектор имеет координаты .

Найти координаты вектора , в базисе .





Следовательно

в базисе . ▲

1.89. Установить, являются векторы , заданные своими координатами в какой-нибудь базисной системе, линейно-зависимыми, и, если да, тогда выразить один из векторов через другие.

 В соответствии с определением линейной зависимости отыскиваются такие числа , чтобы . Поскольку при равенстве векторов должны быть равны их координаты, то



Третье уравнение является последствием двух других. Выбираем . Тогда

1.90. В базисе заданы четыре вектора

, , , .

Найти координаты вектора в базисе .

 Поскольку четыре вектора всегда линейно зависимые, то . Сравнивая координаты векторов, получим:



1.91. Выяснить, является система векторов

линейно зависимой.

 Пусть

,

где - некоторые числа.

Подставляем в это равенство выражения векторов

.

После умножения векторов на числа и прибавления векторов получим, что



Откуда

Эту систему линейных однородных уравнений решаем методом Гауса.



Получили трапецеидальную систему. Следовательно, заданная система является неопределенной, а потому, кроме нулевого решения имеет и ненулевое решение. Таким образом, рассмотренная система векторов - линейно зависимая. Можно найти коэффициенты линейно зависимой системы векторов . Для этого решаем полученную систему линейных уравнений



Свободными неизвестными можно считать . Выражая главные неизвестные и через свободное неизвестное , находим что .

Придадим произвольного значения, отличного от нуля, например -1. Получаем: , то есть =0. ▲

^

§4 Проекция вектора на ось


Будем называть осью прямую с выбранным на ней направлением.

Пусть задан вектор и ось ^ L. Рассмотрим вектор, началом которого есть точка А1 - проекция точки А на ось L, а концом - точка В1 - проекция точки В на ту же ось.

Определение. Проекцией вектора на ось L называется длина вектора , взятая со знаком “+”, если направление совпадает с направлением оси L, и со знаком “-”, если направление противоположно направлению оси L.

Проекция вектора на ось L обозначается . Будем называть ортом оси L вектор , направление которого совпадает с направлением оси L и длина равна 1.

Определение. Углом между двумя векторами (или между вектором и осью) называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора.

При этом нет значения, какой из двух векторов поворачивается: вектор до совпадения с направлением вектора или вектор до совпадения с направлением вектора . Другими словами, угол между векторами и является вместе с тем и углом между векторами и . Отсюда следует, что угол между двумя векторами не может быть отрицательным и не может быть больше радиан.
^

§5 Прямоугольная декартова система координат в пространстве


Выберем в пространстве какую-нибудь точку О, проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси, и на каждой из них возьмем единичный вектор, направленный по этой оси (орт оси). Ось с выбранным на ней началом отсчета и единицей длины называется координатной осью, а упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом отсчета и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

В выбранной упорядоченной системе координатных осей первую ось назовем осью абсцисс (или осью х), вторую - осью ординат (или осью у), третью - осью аппликат (или осью z). Поскольку на каждой оси выбран орт оси, то имеем также базисную тройку векторов. Векторы этой базисной тройки взаимно перпендикулярны. Такую базисную систему векторов называют ортогональной. Кроме того, длины всех трех наших базисных векторов равны единице. Такая система векторов называется нормированной (во многих случаях длину вектора называют нормой).

Таким образом, выбранная система базисных векторов - “координатный базис” - является ортогональной и нормированной, или, как часто говорят, ортонормированной. Первый вектор базисной тройки, направленный по первой оси (по оси абсцисс), обозначается символом , второй вектор, направленный по второй оси (по оси ординат), - символом , третий вектор, направленный по третьей оси (по оси аппликат), - символом .

Базисные, то есть некомпланарные тройки векторов в пространстве делятся на два типа. Если при наблюдении от конца 3-го вектора базисной тройки кратчайший поворот от 1-го вектора к 2-му проводится против часовой стрелки - базисная система называется правой. Если при наблюдении от конца 3-го вектора наикратчайший поворот от 1-го вектора к 2-му проводится по часовой стрелке - тройка векторов называется - левой.

Прямоугольная декартова система координат называется соответственно правой, если правой есть тройка ее базисных векторов, и левой, если тройка ее базисных векторов левая. Мы будем использовать только правую систему координат.

Как было показано ранее, любой вектор может быть разложен и при этом единственным образом по базисной тройке векторов. А потому любой вектор может быть записан в виде: . Поскольку начало вектора всегда можно поместить в начало координат (рис. 10), то числа , , , то есть координаты вектора в базисной тройке , , являются одновременно проекциями вектора на эти оси.



Для сокращения записи вместо применяют символы . А потому вектор можно записать в виде

(1)

Поскольку вектор вследствие взаимной перпендикулярности координат осей является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах , тогда

(2)

Углы образованы вектором с координатными осями, могут быть вычислены по формулам:

(3)

Возьмем в пространстве с заданной прямоугольной системой координат произвольную точку М. Радиус-вектором этой точки будем называть вектор с началом в начале координат и концом в заданной точке (рис. 11).



Определение. Координатами точки в заданной прямоугольной декартовой системе координат называются проекции радиус-вектора этой точки на координатные оси.

Координаты заданной точки М в заданной прямоугольной декартовой системе координат записываются, как правило, в виде (x, y, z), где

(4),

и называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой точки М.

Три плоскости, определенные парами координатных осей, разбивают все пространство на 8 частей - октантов. Плоскости эти называются координатными плоскостями. На плоскости xy (которая проходит через оси x и y) аппликата любой точки равна нулю, на плоскости xz (которая проходит через оси x и z) ордината любой точки равна нулю, на плоскости yz (которая проходит через оси y и z) абсцисса любой точки равна нулю.

Очевидно, в заданной системе координат координаты любой фиксированной точки определяются единственным образом, и задание координат любой точки (то есть задание упорядоченной тройки действительных чисел) единственным образом определяет положение самой точки. Другими словами, в заданной системе координат имеет место взаимно-однозначное соответствие между точками в пространстве и упорядоченными тройками действительных чисел. Поскольку вектор полностью определяется заданием положения его начала и его конца, то можно выразить координаты в ортонормированном базисе через координаты его концов.

Пусть в заданной прямоугольной декартовой системе координат начало вектора находится в точке M1(x1, y1, z1), а конец - в точке M2(x2, y2, z2) (рис. 12). Как известно, . Но вектор есть радиус-вектор точки М1, а - радиус-вектор точки М2.



Рис. 12


Поэтому



Следовательно,

(5)

Можно использовать и другую систему записи

,

.

Аппарат векторной алгебры и метод координат с успехом используется для решения многих геометрических задач.

Задача 1.

Найти расстояние между двумя заданными точками і .

Решение.

Вектор имеет координаты . Ранее было доказано, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат в ортонормированном базисе. А потому

(6)

Задача 2. Заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2). Найти координаты точки, которая лежит на отрезке и делит длину этого отрезка в отношении .

Решение. Пусть точка M(x, y, z) - искомая (рис. 12). Векторы и , очевидно, коллинеарные и одинаково направлены. Поэтому они могут отличаться только длиной. Из условия



Следовательно



При равенстве векторов должны быть равны их координаты. Поскольку , , тогда



получим

(7)

В частном случае, если n=m , то есть точка М лежит в середине данного отрезка М1М2 ,то

(8),

и, следовательно, координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Очевидно, что все полученные результаты можно перенести и на случай прямоугольной системы координат на плоскости. Векторами, которые образовывают ортонормированный базис, здесь будут и , а потому любой вектор в площади ху может быть записан в виде .

Чтобы получить из выведенных формул соответствующие формулы в прямоугольной декартовой системе координат на площади, достаточно считать равными нулю все проекции на ось z.





Схожі:

Іі: Векторная алгебра iconІі: Векторная алгебра §1 Основные понятия
Наряду со скалярами существуют величины, для характеристики которых необходимо указать также и направление. Такие, например, сила,...
Іі: Векторная алгебра iconТ. В. Вища математика. Частина Лінійна алгебра. Векторна алгебра. Аналітична геометрія. Повторити теоретичний матеріал за конспект
Будкіна Т. В. Вища математика. Частина Лінійна алгебра. Векторна алгебра. Аналітична геометрія
Іі: Векторная алгебра iconРобочий тематичний план навчальної дисципліни аналітична геометрія та лінійна алгебра
Мета курсу – оволодіння фундаментальними поняттями лінійної алгебри та аналітичної геометрії ( "векторний простір", "євклідів простір",...
Іі: Векторная алгебра icon"Алгебра, Топологія, Аналіз та застосування" 5–15 липня 2011 року (смт. Лазурне, Херсонська обл., Україна)
З приємністю запрошуємо Вас взяти участь у 8-мій літній школі "Алгебра, Топологія, Аналіз та застосування", яка проходитиме з 5 по...
Іі: Векторная алгебра icon11-а понеділок 1 Всесвітня історія 214 2 Алгебра І початки аналізу (лекція)

Іі: Векторная алгебра iconФормат опису модуля
Математичний аналіз, лінійна алгебра, практикум на пк, алгоритмічні мови І програмування, диференціальні рівняння
Іі: Векторная алгебра iconЛекция Реляционная алгебра международный научно-технический университет имени академика ю. Бугая кафедра компьютерных наук и информационных систем содержание

Іі: Векторная алгебра iconФормат опису модуля
Лінійна алгебра та аналітична геометрія, Основи програмування, Об’єктно-орієнтоване програмування
Іі: Векторная алгебра iconПитання до колоквіуму з курсу „Алгебра І теорія чисел”
Кільце многочленів від однієї змінної над кільцем (яке є підкільцем комутативного кільця з одиницею)
Іі: Векторная алгебра iconАлгебра событий
...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи