Ііі: Аналитическая геометрия icon

Ііі: Аналитическая геометрия




Скачати 144.25 Kb.
НазваІіі: Аналитическая геометрия
Дата07.09.2012
Розмір144.25 Kb.
ТипДокументи

22086

Глава ІІІ: Аналитическая геометрия

§1 Соответствие между геометрическими образами и уравнениями


Как уже известно из элементарного курса математики, метод координат дает возможность установить соответствие между некоторыми геометрическими образами и уравнениями или их неравенствами. В школьных курсах рассматривалась прямоугольная декартова система координат на плоскости ху (то есть на плоскости, для всех точек которой z=0) и говорилось про уравнение прямой, про уравнение параболы, про график и т.д. Теперь, после введения прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, рассмотрим этот вопрос с более общих позиций.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат и нужно установить зависимость между координатами любой точки, что находится на заданном расстоянии R от общей точки С(a, b, c).

Пусть ^ Q есть множество таких точек, то есть множество точек сферы S с центром в С и радиусом R. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка множества Q. Тогда , и потому



или

(1)

Каждая точка множества Q, то есть каждая точка сферы, имеет координаты, которые отвечают уравнению (1). Если точка N лежит не на сфере, а внутри нее, то , если точка N вне сферы, то . Уравнение (1) называется поэтому уравнением, которое отвечает заданной сфере, или просто уравнением заданной сферы.

Определение. Уравнением, что отвечает заданному множеству точек, называется уравнение, которому отвечают координаты всех точек множества, и не отвечают координаты точек, которые не принадлежат заданному множеству.

Определение. Множеством точек, что отвечает заданному уравнению, называется множество тех, и только тех точек, координаты которых отвечают заданному уравнению.

Рассмотрим множество точек, которые находятся на равных расстояниях от точки А(1, 3, -2) и от точки В(-1, 1, 0) (это множество точек есть плоскость, которая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна вектору ). Пусть М(x, y, z) произвольная точка заданного множества. Согласно условию, , и потому . Возведем обе части в квадрат и приведем подобные члены, получим .

Если точка N не принадлежит заданному множеству точек , тогда



и



Таким образом, уравнением, которое отвечает заданному множеству, является уравнение .

Рассмотрим множество ^ Q точек, которые находятся на заданном расстоянии R от оси Z. Заданное множество точек есть бесконечная цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси Z и находятся от нее на расстоянии R (рис. 15).



Составим уравнение этой поверхности. Пусть точка M(x, y, z) произвольная точка множества Q; точка М0 - проекция точки М на ось Z - имеет координаты (0, 0, Z). Согласно условию,

и потому или

(2)

Следовательно, координаты любой точки множества ^ Q удовлетворяют уравнению (2). Пусть теперь точка N - любая точка, которая не принадлежит множеству Q , и N0 ее проекция на ось Z. Тогда , и потому . Мы доказали тем самым, что уравнение (2) есть уравнением, что отвечает множеству ^ Q, то есть уравнением бесконечной цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси Z и находятся от нее на расстоянии R.

Рассмотрим множество ^ Q точек плоскости, перпендикулярной оси Z, что проходит через точку М0(0, 0, 2). Поскольку эта плоскость параллельна плоскости XY, то все ее точки имеют одну и ту ж аппликату Z=2. Если же возьмем какую-нибудь точку N(x, y, z), что не лежит на заданной плоскости, то для нее . Таким образом, уравнение Z=2 есть уравнением заданной поверхности.


Из приведенных примеров видно, что уравнениям, в которые входят три, две и даже одна неизвестная, в пространстве отвечает некоторая поверхность. Исключением являются случаи, когда поверхность «вырождается» в отдельные точки, в линию или вообще представляет собой пустое множество точек. Так, например, уравнению отвечает одна точка - начало координат, уравнению отвечает ось Z, уравнению - пустое множество точек.

Поскольку любая линия может быть представлена как пересечение двух поверхностей, то линия в пространстве может быть задана системой двух уравнений. Так, например, системе уравнений



отвечает множество точек, что принадлежит как плоскости Z=0, так и бесконечной цилиндрической поверхности , то есть окружность радиусом ^ R, которая имеет центр в начале координат и лежит в плоскости Z=0.

Во многих задачах, особенно в задачах, связанных с движением, линии задаются несколько иначе. Пусть материальная точка двигается по какой-то линии. Каждому моменту времени t в процессе движения отвечает некоторое определенное положение точки М, что двигается. Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Поэтому каждому значению t в процессе движения отвечает некоторый радиус - вектор . Тем самым задана векторная функция . Векторное уравнение называют параметрическим векторным уравнением траектории.

Пусть і . Тогда для координат точки M(x, y, z), что двигается, имеем параметрическое скалярное уравнение.

(3)

Исключая t из первых и из последних двух уравнений системы (3), получим два уравнения, которые связывают координаты x, y, z произвольной точки траектории, то есть уравнение двух поверхностей, которые пересекаются по этой траектории.

В нашем примере параметром (вспомогательной переменной), через которую выражался радиус-вектор любой точки линии, было время. Но параметром может быть не только время, но и длина пройденной материальной точкой дуги, угол поворота и другие физические или геометрические переменные. Важно только то, чтобы по каждому (в некотором промежутке, что рассматривается) значению параметра полностью определялось положение переменной точки.

В целом ряде задач наряду с заданием поверхностей и линий необходимо рассматривать и области, ограниченные этими поверхностями или линиями.

Как правило, эти области могут быть заданы с помощью одного или нескольких неравенств.

Пусть рассматривается множество точек, которые ему принадлежат, в середине сферы радиусом R с центром в M0(a, b, c) и пусть M(x, y, z) - произвольная точка этого множества. Очевидно

,

и потому



Все точки заданного множества и только точки, которые ему принадлежат, имеют координаты, которые отвечают полученному неравенству. Поэтому оно может быть названо неравенством, которое отвечает заданному множеству точек.

Множеству точек, которые находятся между двумя плоскостями, которые перпендикулярные оси х и пересекают эту ось в точках А(1, 0, 0) и В(3, 0, 0), отвечает система неравенств 1. Множеству точек, которые находятся между концентрическими кругами с центром в начале координат, радиусами R1=2 и R2=3 и лежат в плоскости ху, отвечает система условий:

и т.д.
^

§2 Линейные образы - плоскость и прямая


Изучение геометрических образов с помощью метода координат естественно начать с простейших объектов - плоскостей и прямых. Покажем, во-первых, что этим объектам отвечает уравнение 1-й степени.

Теорема. Любой плоскости в пространстве с заданной прямоугольной декартовой системой координат отвечает уравнение 1-й степени и любому уравнению 1-й степени в пространстве отвечает некоторая плоскость.

Доказательство. Пусть в пространстве с заданной прямоугольной декартовой системой координат выбрана некоторая плоскость Q. Возьмем на этой плоскости любые три точки М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), которые не лежат на одной прямой. Как известно, такие точки полностью определяют плоскость, которая рассматривается. Пусть М(x,y,z) - произвольная точка плоскости Q. Рассмотрим три вектора . Поскольку они лежат в одной плоскости Q, то их смешанное произведение должно равняться нулю для всех точек М, которые принадлежат плоскости Q (и только для этих точек).

Таким образом, уравнение

(1)

является уравнением рассматриваемой плоскости Q. Поскольку точки М1, М2, М3 не лежат на одной прямой, то векторы не коллинеарные, и векторное произведение не может быть нулевым вектором. Обозначим это векторное произведение через ={A,B,C}. Как было указано выше, хотя бы одно из чисел А,В,С отличное от нуля. Вместе с тем вектор перпендикулярен плоскости векторов и, следовательно, представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости Q (вектор нормали к заданной поверхности). Поскольку ={x-x1, y-y1, z-z1}, уравнение (1) можно переписать в виде

A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0 (2)

Первая половина теоремы уже доказана: любой плоскости отвечает уравнение 1-й степени. Еще раз укажем, что в этом уравнении (x1,y1,z1) - координаты заданной точки плоскости, (x,y,z) - координаты произвольной (переменной) точки плоскости, А,В,С - коэффициенты при переменных координатах - координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

Уравнение (2) можно переписать в виде

Ax+By+Cz+D=0 (3)

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Докажем теперь, что любому уравнению 1-й степени с тремя неизвестными в пространстве с заданной прямоугольной декартовой системой координат отвечает некоторая плоскость.

Пусть задано общее уравнение 1-й степени с тремя неизвестными Ax+By+Cz+D=0, причем хотя бы одно из чисел A,B,C отличное от нуля. Пусть, например, , Зададим произвольно два числа х0 и у0 и найдем z0 так, чтобы выполнялась равенство

Ax0+By0+Cz0+D=0

Тогда D=-(Ax0+By0+Cz0).

Подставляя в начальное уравнение вычисленное значение D, получим равенство

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Построим вектор ={A,B,C} и через точку М(x0,y0,z0) проведем плоскость, перпендикулярную вектору . Пусть М(x,y,z) - произвольная точка этой плоскости. Поскольку вектор для любой точки М, что лежит на построенной плоскости (и только для точек этой плоскости), перпендикулярный , тогда , и, следовательно, уравнение

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,

а потому и равнозначное ему уравнение.

Ax+By+Cz+D=0 является уравнением плоскости.

Таким образом, мы не только доказали, что начальному уравнению отвечает плоскость, но также установили, что это за плоскость: это плоскость, перпендикулярная вектору ={A,B,C} и проходит через точку (x0,y0,z0) такую, что Ax0+By0+Cz0+D=0

Отметим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Если С=0, то есть общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+D=0, тогда проекция вектора на ось Z равна нулю и, следовательно, вектор перпендикулярен оси Z. Но перпендикулярен заданной плоскости Q. Отсюда, заданная плоскость параллельна оси Z. Аналогично, уравнению Ax+Cz+D=0 отвечает плоскость, параллельная оси в, уравнению By+Cz+D=0 - плоскость, параллельная оси х.

Если D=0, то есть уравнение имеет вид Ax+By+Cz=0, тогда заданная плоскость проходит через начало координат.

Если А=В=0, то есть уравнение имеет вид Cz+D=0, тогда плоскость, как показано выше, параллельна оси х и оси у, а потому параллельна плоскости ху (и, следовательно, перпендикулярна оси z).

Если в общем уравнении плоскости коэффициент , то, разделив все члены уравнения на -D, уравнение плоскости можно привести к виду

(3')

(где а=-D/A, b=-D/B, c=-D/C). Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках: в нем а,b,c - соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями 0х, 0у, 0z.

Так же можно рассмотреть и все другие возможные частные случаи.

Теперь рассмотрим задачу про вычисление угла между двумя плоскостями. Угол между двумя плоскостями, точнее один из смежных углов между двумя плоскостями, может быть вычислен как угол между нормалями к этим плоскостям. Если плоскости заданы своими общими уравнениями:

A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0,

тогда их нормальные векторы имеют вид 1={A1,B1,C1}, 2={A2,B2,C2} и потому угол  между плоскостями находится по формуле:



Плоскости параллельные тогда и только тогда, когда и, следовательно, A2=A1, B2=B1, C2=C1,

или



Плоскости перпендикулярные тогда и только тогда, когда =0 и, следовательно

A1A21B2+C1C2=0

Прямая линия в пространстве может быть определена в соответствии с указанным в предыдущем параграфе, как пересечение двух плоскостей, то есть как множество точек, которые определяются системой двух уравнений 1-й степени

(5)

Выделим особенно тот случай, когда одна из этих плоскостей есть плоскость ху, и , следовательно, прямая, которая рассматривается, лежит в плоскости ху. В этом случае система (5) может быть записана в виде

(6)

и представляет собой пересечение плоскости ху с плоскостью Ах+Ву+D=0, параллельной оси z.

Рассмотрим вектор ={A,B,0}, который лежит в плоскости ху и перпендикулярен плоскости Ах+Ву+D=0. Этот вектор перпендикулярен прямой, что определяется системой (6), и называется нормальным вектором этой прямой.

Будем теперь время рассматривать только точки плоскости ху и решать задачи, которые относятся только к геометрическим образам, которые лежат на этой плоскости. Тогда можно третьи координаты точек и векторов даже и не записывать, принимая ко вниманию, что они должны равняться нулю.

Как уже отмечалось выше, уравнению Ах+Ву+D=0 в плоскости z=0 отвечает прямая. А, потому в аналитической геометрии на плоскости уравнение

Ах+Ву+D=0 (7)

называют общим уравнением прямой. Нормальный вектор этой прямой запишем теперь в форме ={A,B}.

Если А=0, тогда прямая параллельна оси абсцисс, если В=0 - оси ординат.

Пусть . Тогда общее уравнение прямой приводится к виду . Будем считать , получим уравнение прямой в виде

y=kx+b (8)

Выясним геометрическое содержание коэффициентов k и b. Рассмотрим вектор ={-B,A}. Поскольку , то вектор направлен вдоль прямой Ах+Ву+D=0. Он называется направляющим вектором прямой. Обозначим через  угол между вектором и осью х (рис.16).



рис. 16

Тогда



отсюда



Найдем точку М0 пересечения прямой (8) с осью ординат. Поскольку абсцисса точки М0 равна нулю, то ее ордината равна b.

Таким образом, в уравнении (8) коэффициент k есть тангенс угла, между заданной прямой и осью абсцисс (выбирается угол в верхней полуплоскости), а свободный член b - ордината точки пересечения прямой с осью ординат. Число k называется угловым коэффициентом прямой, а b - начальной ординатой. Само же уравнение (8) называется уравнением прямой (которая лежит в плоскости ху) с угловым коэффициентом.

Поскольку при выводе уравнения (8) мы считали только, что , то в таком виде можно записать уравнение любой прямой (в плоскости ху), кроме прямых, параллельных оси ординат.

Простейшими и вместе с тем основными задачами, связанными с прямыми линиями на плоскости, есть определение точки пересечения двух прямых и вычисление угла между прямыми. Поскольку любой прямой на плоскости ху отвечает уравнение 1-й степени с двумя неизвестными, и точка пересечения двух прямых должна принадлежать каждой из этих прямых, то для определения точки пересечения двух прямых необходимо, очевидно, решить соответствующую систему уравнений.

Для вычисления угла между двумя прямыми, которые лежат в плоскости ху, можно использовать методы вычисления угла между двумя векторами.

Пусть прямые заданы своими общими уравнениями:

A1x+B1y+D1=0, A2x+B2y+D2=0

Как было показано выше, направляющими векторами этих прямых есть векторы

={-B1,A1} і ={-B2,A2}

А потому косинус угла между прямыми (точнее косинус одного из углов между прямыми) вычисляем по формуле

(9)

В частности, если две прямые взаимно перпендикулярны, то или в скалярной форме

А1А21В2=0

Верно, конечно, и обратное утверждение: если А1А21В2=0, то cos=0, и прямые перпендикулярны.

Таким образом, равенство А1А21В2=0 есть условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности двух прямых. Если прямые параллельны, то и тогда А2=А1, В2=В1, то есть коэффициенты при переменных координатах в уравнениях параллельных прямых соответственно пропорциональны



Если прямые заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами:

y=k1x+b1, y=k2x+b2 ,

то

A1=k1, B1=-1, A2=k2, B2=-1,

и условие перпендикулярности двух прямых приобретает вид:

k1k2=-1 или (10)

Таким образом, для перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратные по величине и противоположные по знаку.

Возвратимся к вопросам геометрии в пространстве.

Прямую можно задать не только как пересечение двух плоскостей, но и двумя точками, которые лежат на ней, или, что фактически одно и то же, точкой, что лежит на прямой, и вектором, коллинеарным прямой.

Таким образом, пусть задана точка М0, что лежит на прямой L, и вектор , коллинеарный прямой L. Пусть О - начало координат и М - произвольная (перменная) точка заданной прямой (рис. 17).



Обозначим через радиус - вектор и через радиус - вектор . Поскольку вектор коллинеарный вектору , то для любого положения точки М на L существует такое действительное число t, что =t . Изменяя параметр t от к , получим любую точку прямой L и только точки прямой L. А потому, заменив через , получим, что уравнение

=t (11)

есть векторным уравнением прямой, что рассматривается.

Естественно назвать это уравнение параметрическим уравнением прямой в векторной форме.

Пусть точка М0 имеет координаты x0, y0, z0, a вектор координаты l,m,n. Обозначим через x,y,z координаты произвольной (переменной) точки М нашей прямой. Тогда параметрическое векторное уравнение (11) запишется в такой скалярной форме:

x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt (12)

В случае, если заданная прямая лежит в плоскости ху, числа z и n равны нулю, а потому уравнение (12) будет иметь вид

x=x0+lt, y=y0+mt, z=0

Если , то есть прямая не перпендикулярна оси х, тогда, исключив параметр t, получим уравнение z=0, y-y0=k(x-x0), где и  - угол между направляющим вектором и осью абсцисс.

Таким образом, в плоскости z=0 уравнение

y-y0=k(x-x0) (13)

является уравнением прямой, которая проходит через точку M0(x0,y0,z0), и что имеет угловой коэффициент k.

Если прямая не перпендикулярна ни одной из координатных осей, то есть числа l,m,n отличные от нуля, тогда, исключая из системы (12) параметр t ,получим уравнение

(14),

которое называется каноническим уравнением прямой.

Рассмотрим в отдельности кождое из уравнений системы (14). Уравнение , которое следует из сказанного в начале этого параграфа, отвечает плоскости, параллельной оси аппликат. Вместе с тем, все точки прямой, что рассматривается, должны лежать в этой плоскости, или плоскость включает в себя заданную прямую. Поскольку плоскость перпендикулярна плоскости ху, то она проектирует заданную прямую на эту плоскость. Аналогично уравнение отвечает плоскости, которая проектирует заданную прямую на плоскость yz, а уравнение является следствием двух первых, определяет плоскость, которая проектирует заданную прямую на плоскость уz.

Важной задачей, связанной из взаимным положением прямой и плоскости в пространстве, есть задача про вычисление угла между прямой и плоскостью.

Пусть L - заданная прямая уравнением



и Q - заданная плоскость, уравнение которой

Аx+By+Cz+D=0



Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. А потому, угол  между прямой и плоскостью не больше . Пусть - направляющий вектор прямой, а - вектор нормали к плоскости (рис. 18).

(15)

Поскольку

, тогда



Очевидно, прямая L и плоскость Q перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные.

Таким образом, для перпендикулярности прямой и плоскости необходимо и достаточно, чтобы или

A=l, B=m, C=n (16)

Ясно также, что прямая L и плоскость Q параллельны тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы и , то есть для параллельности прямой и плоскости необходимо и достаточно, чтобы или

Al+Bm+Cn=0 (17)




Схожі:

Ііі: Аналитическая геометрия iconІіі: Аналитическая геометрия §1 Соответствие между геометрическими образами и уравнениями
Теперь, после введения прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, рассмотрим этот вопрос с более общих позиций
Ііі: Аналитическая геометрия iconДемонстрационные материалы с элементом интерактивности в дистанционном курсе «начертательная геометрия»
«Начертательная геометрия», необходимо в полной мере воспользоваться потенциалом компьютерных технологий для обеспечения наглядности,...
Ііі: Аналитическая геометрия iconРеинжиниринг кредитных организаций. Управленческая аналитическая разработка
Тютюнник А. В. Реинжиниринг кредитных организаций. Управленческая аналитическая разработка Издательская группа "бдц-пресс", 2001...
Ііі: Аналитическая геометрия iconДокументи
1. /итоги монит. математика/Аналитическая справка - 09.doc
Ііі: Аналитическая геометрия iconДокументи
1. /Одинцова Е.А. Аналитическая деятельность классного руководителя.doc
Ііі: Аналитическая геометрия iconДистанционный курс «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» Неня В. Г., Салтыкова О. И

Ііі: Аналитическая геометрия iconУдк 622. 691 Аналитическая характеристика центробежного нагнетателя
Умг «Прикарпаттрансгаз»; 48, ул. Независимости, г. Ивано-Франковск, 76018. E-mail: tpptg ptg@naftogaz net
Ііі: Аналитическая геометрия iconІнформація про проведення ІІ туру Всеукраїнського конкурсу "Учитель року 2009" в номінації іноземні мови
В конкурсі взяли участь 13 педагогів, з них вчителі, що працюють в сільській школі (І-ІІІ ст., І-ІІ ст.) 6, міській (І-ІІІ ст., І-ІІ...
Ііі: Аналитическая геометрия iconСтатья будет опубликована в спецвыпуске сборника «Прикладная геометрия и инженерная графика»
Б) (по возможности) одного напечатанного экземпляра статьи на бумаге формата А4 (210х297 мм)
Ііі: Аналитическая геометрия iconЦели системы учета потребления энергоресурсов Создание основы для формирования системы энергоменеджмента в городе Донецке
Информационно-аналитическая поддержка принятия решений в области энергоменеджмента
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи