Ііі. Дифференциальное исчисление icon

Ііі. Дифференциальное исчисление




Скачати 79.76 Kb.
НазваІіі. Дифференциальное исчисление
Дата07.09.2012
Розмір79.76 Kb.
ТипДокументи

22100

РАЗДЕЛ ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ГЛАВАVI: Производные и дифференциалы

§ 1 Понятие производной


Пусть функция определена на промежутке (возможно бесконечном). Возьмем произвольную точку и придадим ей произвольный прирост такой, чтобы . Функция получит в точке соответствующий прирост



Определение1. Производной функции в точке называется граница отношения прироста этой функции к приросту аргумента , когда прирост аргумента движется к нулю.

Производная обозначается одним из символов: . В дальнейшее, как правило, будем отдавать преимущество первому символу, который ввел Лагранж.

Следовательно, по определению

(1)

Отношение

(2)

называется дифференциальным отношением.

В случае, когда граница отношения (2) при не существует, будем считать, что функция в точке не имеет производной.

Если функция имеет производную в каждой точке , то обозначим эту производную или .

Следовательно, если - фиксированная точка промежутка Х, то производная в случае ее существования - некоторое число. Если же производная существует в каждой точке , то уже функция от х.

Замечание 1. Если промежуток Х - замкнутый, например, и , то в формуле (1) граница правосторонняя



Аналогично, если , то



(граница левосторонняя).

Замечание 2. Понятно, что граница (1) существует не для любой функции и не всякой для точки . Например, для функции в точке граница (1) не существует, поскольку дифференциальное отношение (2)



Замечание 3. Если существуют границы

и ,

то их называют соответственно левой и правой производной функции в точке и обозначают і . Это так называемые односторонние производные. Например, эти производные в точке имеет функция , причем и .

Если существуют левая и правая производные и = , то, очевидно, существует производная , причем = = . Поскольку для функции , то не существует.

Замечание 4. Если для некоторого значения х выполнено одно из условий

или ,

то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную определенного знака.

Аналогично устанавливается понятие односторонних бесконечных производных. Например, функция в точке имеет бесконечную производную, что равно . Действительно,

.

В дальнейшем, если не оговаривается отдельно, под словами функция имеет производную будем понимать лишь наличие конечной производной.

Определение 2. Функция , которая имеет производную в точке , называется дифференцированной на промежутке Х.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

Теорема (о связи между понятиями дифференцированности и непрерывности). Если функция дифференцирована в точке , то она в этой точке непрерывная.

Доказательство. Поскольку функция дифференцирована в точке , то существует граница



Запишем тождество



и перейдем в нем к границе, если . Получим



А это и означает, что функция непрерывна в точке .

Подчеркнем, что функция непрерывная в точке , не обязательно дифференцированная в этой точке. Так, например, функция , о которой говорилось выше, очевидно, непрерывна в точке , тем не менее, производной в этой точке нет.

Известны примеры функций, которые непрерывны на всем промежутке Х, тем не менее ни в одной точке не имеют производной.
^

§2 Содержание производной


К понятию производной приводят разнообразные задачи геометрии, механики, химии, экономики, биологии и других наук. Рассмотрим некоторые из них.

2.1. Задача про касательную к кривой

Пусть функция дифференцирована в точке , то есть существует производная . Уравнение секущей , которая проходит через точки и график функции (рис. 45),




Рис. 45
^

имеет вид




где X и Y - переменные координаты точки секущей. Угловой коэффициент секущей при следует к . А потому предельное положение секущей определяется уравнением

.

Прямая, которая задается этим уравнением, называется касательной к графику функции в точке . Угловой коэффициент касательной .

Последняя формула приводит к геометрическому содержанию производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .

Геометрическое толкование производной как углового коэффициента касательной к графику функции распространяется и на случай бесконечной производной. В этом случае касательная параллельна оси Оу.

^ 2.2. Задача о мгновенной скорости

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение тела, что начинается в момент времени . Будем считать, что путь, преодоленный телом за время , равен . Функция называется законом движения тела.

Путь , который преодолеет тело за отрезок времени , находится как



Средней скоростью движения за промежуток времени называется отношение



в котором легко узнать дифференциальное отношение.

Мгновенной скоростью движения в момент называется граница этого отношения, если , то есть

.

Следовательно, производная от пути по времени равна мгновенной скорости прямолинейного движения тела.

^ 2.3. Задачи о затратах производства и выручку

Пусть - затраты производства однородной продукции - некоторая функция количества продукции х. Укажем, что количеству продукции отвечают затраты производства продукции . Следовательно, дифференциальное отношение, которое характеризует средний прирост затрат производства,



Оно отображает прирост затрат производства на единицу прироста количества продукции.

Граница



называется предельными затратами производства.

Пусть - выручка от продажи х единиц товара. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к границе



которую называют предельной выручкой.
^

§3. Правила дифференцирования


3.1 Дифференцирование суммы, произведения и частного

Теорема 1. Если функции и дифференцированные в точке х, то функции (в последнем случае предполагается, что ) тоже дифференцированные в этой точке и имеют место формулы:

а) ;

б) ;

в) .

Доказательство. а) Придадим х некоторый прирост . Тогда функции и будут иметь приросты и , а функция - прирост . И, следовательно,



то есть функции действительно дифференцированные в точке х , и имеет место формула а).

б) Придадим х некоторый прирост . Тогда функции и будут иметь приросты и , а функция - прирост



И, следовательно,



Отметим, что функция непрерывна в точке х, поскольку она дифференцированная в этой точке, а потому при . Переходя к границе при в последнем равенстве, получим , то есть функция действительно дифференцированная в точке х и имеет место формула б).

в) Придадим х некоторый прирост , тогда функция и будут иметь приросты и , а функция - прирост



Переходя к границе при в последнем равенстве, получим , то есть функция действительно дифференцированная в точке х и имеет место формула в).

Следствие. Предположим, в формуле б) , тогда и , то есть постоянный сомножитель можно выносить за знак производной.

^ 3.2. Дифференцирование сложной функции

Теорема 2. Пусть - сложная функция, где и - дифференцированные функции своих аргументов. Точнее, внешняя функция в точке имеет производную (по U) , а внутренняя функция в точке х имеет производную (по х) . Тогда сложная функция - дифференцированная в точке х, причем ее производная исчисляется по формуле



или коротко

чи

Доказательство. Придадим х некоторый прирост . Тогда функция получит прирост , а функция - прирост .

При условии имеем



Переходя в этом равенстве к границе при , получим



что и требовалось доказать.

При доказательстве учтено, что функция непрерывна в точке х, поскольку она дифференцированная в этой точке и, следовательно, при .

Замечание. Предположение, что довольно малому отвечает , конечно же, важное. Тем не менее, если случится, что (кстати, этот случай встречается редко), то формулу дифференцирования сложной функции нетрудно установить немного другим путем.

Следствие. (дифференцирование обратной функции). Пусть функция обратная по отношению к функции , причем функции и имеют производные соответственно в точках х и . Установим связь между производными и .

Поскольку при всех х, то по правилу дифференцирования сложной функции производные от обеих частей этого равенства , откуда или коротко или .

Последние формулы имеют простое геометрическое содержание. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке , а угловой коэффициент к графику функции в точке (рис. 2).



Очевидно, что , а потому или .




Схожі:

Ііі. Дифференциальное исчисление iconІіі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы
Пусть функция определена на промежутке (возможно бесконечном). Возьмем произвольную точку и придадим ей произвольный прирост такой,...
Ііі. Дифференциальное исчисление iconРекомендована література
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, Т. 1-2, 1964
Ііі. Дифференциальное исчисление iconДокументи
...
Ііі. Дифференциальное исчисление iconДокументи
...
Ііі. Дифференциальное исчисление iconЛекция Реляционное исчисление международный научно-технический университет имени академика ю. Бугая кафедра компьютерных наук и информационных систем содержание
Имеет средства языка запросов, но не обладает возможностями манипулирования данными (как и реляционная алгебра)
Ііі. Дифференциальное исчисление iconІнформація про проведення ІІ туру Всеукраїнського конкурсу "Учитель року 2009" в номінації іноземні мови
В конкурсі взяли участь 13 педагогів, з них вчителі, що працюють в сільській школі (І-ІІІ ст., І-ІІ ст.) 6, міській (І-ІІІ ст., І-ІІ...
Ііі. Дифференциальное исчисление iconПравила выполненения расчетно-графической работы
Курсанты 2-го курса специальности «Судовождение» во 2-ом семестре должны выполнить расчетно-графическую работу №4 по изученным темам:...
Ііі. Дифференциальное исчисление iconЗасідання журі ІІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з історії
Білопільська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №2 Білопільської районної ради
Ііі. Дифференциальное исчисление iconТематичний план практичних занять ІІІ семестру
Орган зору. ІІ, ІІІ, ІV,vі пари черепних нервів. Провідні шляхи зорового аналізатора
Ііі. Дифференциальное исчисление iconЗасідання журі ІІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з англійської мови
Липоводолинська спеціалізована школа І-ІІІ ступенів Липоводолинської районної ради
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи