Применение производных к исследованию функций icon

Применение производных к исследованию функций




Скачати 154.67 Kb.
НазваПрименение производных к исследованию функций
Дата07.09.2012
Розмір154.67 Kb.
ТипДокументи

22104

ГЛАВА 7: Применение производных к исследованию функций

§ 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке


В этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем изложении при доказательстве теорем будем опираться на эти теоремы как на очевидные факты.

Теорема 1. (Про наибольшую и наименьшую стоимость функции). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она приобретает на этом промежутке по крайней мере один раз свою наибольшую и свою наименьшую стоимость.

Строгое доказательство этой теоремы (как и следующей) основывается на теории действительных чисел. Мы ограничимся объяснением ее содержания, использовав при этом геометрическое изображение функций.

Теорема гласит, что когда функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то существует на нем по крайней мере одна такая точка х1 (рис. 47), что для всех стоимостей х из промежутка axb будет выполняться неравенство

f(x)f(x1).

Стоимость f(x1) называется наибольшей стоимостью функции f(x) на промежутке [a, b] и обозначается буквой М

f(x1)

При тех же условиях теорема гласит о существовании, по крайней мере, одной точки x2 на промежутке [a, b], что для всех стоимостей х из рассмотренного промежутка будет выполняться неравенство

f(x1)f(x).

Стоимость f(x2) называется наименьшей стоимостью функции f(x2) на промежутке [a, b] и обозначается буквой m.

Может показаться, что утверждение теоремы совсем очевидное и тривиальное. Но достаточно взять открытый промежуток (a, b) - и мы убедимся, что теорема становится неверной. Рассмотрим, например, непрерывную функцию f(x)= х2 (рис. 48) на открытом промежутке (-2, 2). Она приобретает наименьшую стоимость нуль в точке х=0, но нельзя указать такую точку, для которой функция имеет наибольшую стоимость. Действительно, какую бы не взяли мы точку х1 левее правого конца х=2 (или по правую сторону левого конца х=-2), всегда найдется другая точка, например, х2= (посредине между х= х1 и х=2), в которой функция х= х2 имеет большую стоимость, чем в точке х= х1. Когда бы точки х=-2 и х=2 не были исключены, то есть, если бы мы рассматривали функцию в= х2 на замкнутом промежутке [-2, 2], существовала бы наименьшая стоимость функции 4 аж в двух точках х=-2 и х=2.

Если взять, например, функцию у=х, что есть непрерывной в любом открытом промежутке, то нетрудно убедиться, что она не достигает в нем ни наибольшей, ни наименьшей стоимости.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и имеет на его концах противоположные знаки, то есть f(a)∙ f(b)<0, то она, по крайней мере, один раз становится нулем внутри этого промежутка.

Предположим, что f(x) непрерывная функция на промежутке [a, b] и что f(а)>0, а f(b)<0 (рис. 49)

Теорема гласит, что существует по крайней мере одна точка внутри промежутка [a, b] такая, что . Из рис. 49 видно, что переход функции от добавочной стоимости f(а) к отрицательной f(b), принимая во внимание непрерывность кривой - графика непрерывной функции, - произойдет с обязательным пересечением оси Ох по крайней мере в одной точке ξ. Разрывные функции (рис. 50), вообще говоря, не имеют этого свойства. Из теоремы 2 как следствие следует третья важная теорема о непрерывности функции.

Теорема 3. (о промежуточных стоимостях функции). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и имеет на его концах неравные между собой стоимости f(а)=А и f(b)=B, то внутри промежутка она приобретает по крайней мере один раз любую стоимость С, содержащуюся между А и В.

Доказательство. Пусть A
Введем вспомогательную функцию



На промежутке [a, b] эта функция непрерывна, т.к. непрерывна на нем, по предположению, f(x). Но F(a)=f(a)-C=A-C<0 и F(b)=f(b)-C=B-C>0. Следовательно, по теореме 2, функция F(x) становится нулем при некотором . Поэтому



то есть . Это и надо было доказать.

Геометрическое содержание этой теоремы такое: любая прямая у=С, параллельная оси Ох, пересечет график функции f(x) по крайней мере в одной точке, если только С содержится между A=f(a) и B=f(b). На рис. 51 имеем три такие точки

Теорему 3 часто формулируют так: непрерывная функция, переходя от одной стоимости к другой, приобретает все промежуточные стоимости. Разрывная функция не имеет такого свойства. Между стоимостями А1 и В2 (рис. 50) нет стоимостей функции (она их приобретает), изображенной на этом рисунке.

Теорему 2 можно применить к приближенному вычислению корней уравнения. Стоимость х= х0, при которой функция f(x) становится нулем, называется корнем функции или корнем уравнения f(x)=0.
^

§ 2 Теоремы о среднем значении


Исследования функций с помощью производных основываются на некоторых основных теоремах дифференциального исчисления.

^ Теорема Ролля. Пусть функция непрерывная на отрезке , дифференцированная на интервале и . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .

Доказательство. По теореме Вейерштрасса непрерывная на функция приобретает на нем наибольшее значение М и наименьшее значение m.

Если , то - постоянная для всех и за точку можно взять любую точку интервала .

Если , то по крайней мере одно из значений m или М достигается во внутренней точке с отрезку , то есть в точке, которая принадлежит интервалу . Пусть, например, в точке с функция приобретает наименьшее значение. Докажем, что . Действительно, для довольно малых точка , причем



Поэтому при

и ,

а при

і.

Поскольку функция дифференцирована в точке с, то . Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля означает, что среди всех касательных к графику функции найдется по крайней мере одна, параллельная оси Оx.

В точке с функция приобретает наименьшее значение (рис. 52).

^ Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцированная на интервале (a; b). Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что

.

Доказательство. Рассмотрим на вспомогательную функцию

.

Очевидно, удовлетворяет все требования теоремы Ролля. Она непрерывная на как разность двух непрерывных на функций и ; дифференцированная на , причем и .

Следовательно, по теоремой Ролля существует, по крайней мере, одна точка такая, что , то есть

.

Откуда , что и нужно было доказать.

Геометрически теорема Лагранжа означает, что среди всех касательных к графику функций найдется, по крайней мере, одна, параллельная секущей АВ, которая соединяет точки и . Действительно (рис. 53), отношение есть угловым коэффициентом секущей АВ, а - угловым коэффициентом касательной к графику, проведенной в точке . Эти коэффициенты равны, следовательно, касательная и секущая АВ действительно параллельны.

Замечание 1. Теорема Ролля есть частным случаем теоремы Лагранжа, если .

Замечание 2. Равенство называется формулой Лагранжа. Ее можно записать и немного иначе. Очевидно, что где . Так вот, , где .

Положим , будем иметь также

,

где .

Следствие. Пусть функция дифференцирована на промежутке Х і при любом , тогда на Х - постоянная. Действительно, пусть - фиксированная точка Х, а x - его произвольная точка. По теореме Лагранжа , где с - некоторая точка, которая находится между и х. Поскольку при любом , то , а потому при всех .

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывные на отрезке [a;b] и дифференцированные на интервале (a;b), причем во всех точках . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что

.

Доказательство. Сначала отметим, что , поскольку в противоположном случае , согласно с теоремой Ролля для функции найдется по крайней мере одна точка такая, что . А это противоречит тому, что во всех точках (a;b). Дальше рассмотрим на [a;b] вспомогательную функцию

.

Очевидно, удовлетворяет все требования теоремы Ролля. Она непрерывная на [a;b] как разность двух непрерывных на [a;b] функций и ; дифференцированная на (a;b), причем



и.

Следовательно, по теореме Ролля существует, по крайней мере, одна точка такая, что , то есть

.

Откуда, поскольку , получим формулу Коши

, ,

что и нужно доказать.

Замечание. Теорема Лагранжа есть частным случаем теоремы Коши, если .
^

§ 3 Правила Лопиталя


При исследовании функций часто возникает необходимость находить границы дроби , числитель и знаменатель которой при следуют к нулю или к бесконечности. Нахождение таких границ называют раскрытием неопределенностей. Наиболее простыми и эффективными методами раскрытия неопределенностей являются правила Лопиталя.

Теорема 1. (первое правило Лопиталя). Пусть функции и дифференцированные на интервале (a;b); и на (a;b). Тогда, если существует (конечная или бесконечная) граница

,

то граница также существует и .

Доказательство. Пусть и . Доопределим функции и в точке а, предположив . Тогда они, очевидно, станут непрерывными на отрезке и будут удовлетворять на нем все требования теоремы Коши предыдущего параграфа. А потому найдется такая точка , которая

.

Если , то и . Переходя к границе в последнем равенстве, имеем

,

что и нужно доказать.

Замечание 1. Теорема 1 доказана для правых границ. Она остается верной и для левых, и к границе вообще.

Замечание 2. Утверждение теоремы 1 остается в силе, если . Действительно, возьмем, например, . Предположим, и пусть , тогда

.

При раскрытии неопределенностей другого типа действует теорема, которая приводится без доказательства.

Теорема 2. (второе правило Лопиталя). Пусть функции и дифференцированные на интервале (a;b); и на (a;b). Тогда, если существует (бесконечная или конечная) граница , то граница также существует и .

Замечания, представленные к теореме 1, остаются в силе и для теоремы 2.

Случается, что для производных и выполняются условия одной из теорем, тогда правила Лопиталя можно применять повторно:

.

Вообще, при выполнении соответствующих условий эту процедуру можно применять несколько раз.

Теорема 1 и 2 применяются к случаям, когда обе функции и при следуют одновременно к нулю или к бесконечности.

Соответственно, нахождение называют раскрытием неопределенностей типа или .

С помощью тождественных преобразований к основным случаям или можно свести и неопределенности других типов: .

Неопределенность , то есть произведение , где , сводится к виду или по формулам

или .

Неопределенность сводится к виду с помощью преобразования

.

Неопределенности имеют место при рассмотрении функций , если функция следует соответственно 0,1 и , а - соответственно 0,1 и 0, когда . Как правило, используется равенство



и дело сводится к раскрытию неопределенности вида в показателе

Пример 1. Найти следующие границы:

а) ;

б) ;

в) .

∆ а) Числитель и знаменатель следуют к нулю, если , а потому имеем неопределенность типа . Используем правило Лопиталя, то есть рассмотрим границу отношения производных заданных функций:

,

поскольку и , если .

б) Неопределенность типа . Применяя дважды формулу Лопиталя, получим:

.

На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться тождественными преобразованиями, которые упрощают отношения, а также комбинируют это правило с любыми другими приемами вычисления границ.

в) .

Освободим знаменатель дроби от множителя , поскольку он имеет границу 1 при . Разложим числитель, как разность кубов



и освободим числитель от множителя , который имеет границу 3 при . После таких упрощений получим

.

Используя первую важную границу, получим конечный ответ , уже без правила Лопиталя. ▲

Пример 2. Найти границы

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

∆ а) Здесь мы имеем неопределенность типа . Представим произведение в виде частного, а потом, получив неопределенность типа ,применим правило Лопиталя:

.

б) Это неопределенность типа . Для того, чтобы найти границу функции, приведем дроби к общему знаменателю, а потом, получив неопределенность типа , применим правило Лопиталя:

.

в) Это неопределенность типа . Обозначим данную функцию через y , то есть , и прологарифмируем ее:

.

Вычислим границу логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопределенность типа ):

.

Следовательно, .

г) Это неопределенность типа . Положим, , и прологарифмируем:

;

Применив правило Лопиталя, получим:

.

Освободим знаменатель от множителя , поскольку он следует к 1, если ;

.

То есть .

д) Это неопределенность типа . Введем обозначения

.

Тогда является неопределенностью типа . Преобразуем выражение до вида

.

Согласно правила Лопиталя, получим:

.

Следовательно, . ▲
^

§4 Исследование функций


4.1. Условия монотонности функций

Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х, если для любых выполнено неравенство (соответственно ).

Теорема 1 (достаточные условия монотонности). Если функция дифференцирована на промежутке Х и на Х, то функция возрастающая (убывающая) на этом промежутке.

Доказательство. Пусть для конкретности на Х і - любые точки с Х, причем . По формуле Лагранжа , где .

Поскольку и , то или , то есть функция возрастает на Х.

Случай, когда на Х, исследуется аналогично.

^ 4.2. Условия локального экстремума

Определение 2. Точка называется точкой строгого локального минимума (максимума) функции , если при всех с некоторого -окружения точки выполняется неравенство

.

Аналогично, если в некотором -окружении точки выполняется неравенство

,

то точка называется точкой локального минимума (максимума). Часто для сокращения слово локальный не употребляют.

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума, а значение функции в этих точках - ее экстремумами.

^ Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Если точка есть точкой экстремума функции и в этой точке функция дифференцирована, то .

Доказательство. Пусть для конкретности - точка максимума, тогда при довольно малых и , а, следовательно,



Поскольку же функция дифференцирована в точке , то

.

Случай, когда - точка минимума, исследуется аналогично.

Теорема 2 имеет простое геометрическое содержание: касательная к графику дифференцированной функции в соответствующей точке параллельна оси Ох.

Замечание 1. Если , то отсюда еще не следует, что - точка экстремума. Например, для функции производная и . Тем не менее , очевидно, не является точкой экстремума.

Замечание 2. Точка , в которой функция недифференцированная, также может быть точкой экстремума. Например, функция не имеет производной в точке , но эта точка является для нее точкой минимума.

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными. Стационарные точки, а также точки, где функция определена, но ее производная не существует, называются критическими. Именно среди них следует искать точки экстремума.

^ Теорема 3 (достаточные условия строгого экстремума первого типа). Пусть функция непрерывная в некотором -окружении точки : , дифференцированная в нем, кроме, возможно, самой точки . Тогда, если при и при , то точка является точкой строгого минимума (максимума).

Коротко эту теорему формулируют таким образом: если в точке производная изменяет знак с минуса на плюс (с плюса на минус), то - точка строгого минимума (максимума)

Доказательство. Пусть для конкретности при и при .

Сначала рассмотрим . Применим формулу Лагранжа к функции на отрезке . Имеем

,

где . Поскольку и , то или при .

Если же , то, применяя формулу Лагранжа к функции на отрезке , будем иметь

,

где . Поскольку и , то или при .

Таким образом, для любого из - окружения точки , а это и означает, что точка является точкой строгого минимума.

Случай изменения знака производной с плюса на минус исследуется аналогично.

Замечание. Если имеет одинаковые знаки на интервалах и , то не является точкой строгого экстремума.






Схожі:

Применение производных к исследованию функций iconПрименение производных к исследованию функций § 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
В этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем...
Применение производных к исследованию функций iconДифференцированность элементарных функций
В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные...
Применение производных к исследованию функций iconДифференцированность элементарных функций
В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные...
Применение производных к исследованию функций icon§4 Применение функций в экономике
Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции
Применение производных к исследованию функций icon§4 Применение функций в экономике
Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции
Применение производных к исследованию функций iconПрактическая работа № Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций
Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени
Применение производных к исследованию функций iconФункций
Функция psigmf представляет собой произведение двух сигмоидных функций принадлежности
Применение производных к исследованию функций iconПрактическая работа № Тема: Построение графиков в системе
Цель: Закрепить знания по применению MathCad для построения графиков функций, научиться находить экстремумы функций
Применение производных к исследованию функций iconТема Природа и состав функций менеджмента Понятие и классификация функций управления
В целом область деятельности, называемая менеджментом фирмы, может быть разделена на отдельные функции, которые сосредоточены в трех...
Применение производных к исследованию функций iconПрактическая работа № Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций
Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи