Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) icon

Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума)




Скачати 163.66 Kb.
НазваSdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума)
Дата07.09.2012
Розмір163.66 Kb.
ТипДокументи

22105

Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума). Если в окружении точки вторая производная непрерывная, причем , а , то функция имеет в точке максимум, когда , и минимум, когда .

Доказательство. Пусть . Принимая во внимание непрерывность , существует некоторое окружение точки , в котором . Поэтому в этом окружении функция будет убывающей, т.к. ее производная - - отрицательная. Но при , следовательно, при переходе (слева направо) через точку функция изменяет знак с плюса на минус. А это означает, что в точке функция имеет максимум.

Аналогично доказывается, что, когда и , то - минимум функции .

Если же в некоторой критической точке , то второе правило не применимо и исследование следует проводить с помощью первой производной (опираясь на теорему 3).

Пример 3. Исследовать на максимумы и минимумы.



  1. Находим производную .

  2. Приравниваем к нулю и находим ее корни, то есть критические точки



  1. Вычисляем вторую производную



  1. Подставляя в выражение второй производной найденные корни первой производной, получим (правило не применимо), (максимум), (минимум).

Из-за того, что при , прибегаем к первому правилу. Имеем при , при (но ) .

Производная не изменяет знака, экстремума в точке нет.

С помощью теории максимумов и минимумов функции решаются многочисленные задачи из геометрии, экономики, механики и из других наук.

4.3. Нахождение наименьшего и наибольшего значений

Остановимся на вопросе о нахождении наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a;b]. По теореме Вейерштрасса (см. гл. 7, §1) такая функция обязательно приобретет эти значения в некоторых точках [a;b]. Это могут быть как внутренние точки отрезка, так и его концы.

Следовательно, для нахождения наименьшего (наибольшего) значения непрерывной на [a;b] функции нужно найти ее локальные экстремумы на (a;b) и сравнить их со значениями . Наименьшее (наибольшее) из этих значений и будет наименьшим (наибольшим) значением функции на отрезке [a;b].

Может произойти, что функция на (a;b) совсем не имеет точек экстремума. В этом случае ее наименьшее(наибольшее) значение будет среди значений и .

При практической работе следует иметь в виду, что поскольку наименьшее (наибольшее) значение достигается в критических точках или на концах отрезка, то не нужно проверять достаточные условия наличия экстремума функции в критических точках. Достаточно лишь найти значения функции во всех критических точках и сравнить их со значениями , . Наименьшее (наибольшее) из них и будет наименьшим(наибольшим) значением функции на [a;b].

Пример 4. Из пункта А, который лежит на линии прямолинейной железной дороги, в пункт В, который находится от этой линии на расстоянии , нужно перевозить грузы. Стоимости перевоза единицы груза на единицу расстояния железной дорогой и дорогой равны соответственно m и n . До какой точки М линии железной дороги следует проложить дорогу, чтобы транспортирование груза из А в В было наиболее экономичным?

Пусть ,

тогда (рис. 54а). Стоимость перевозки k единиц груза по дороге ВМ составит , железной дорогой МА - соответственно . Общая стоимость транспонирования груза



Рис. 54

.

Найдем наименьшее значение этой функции при .

Беря производную



и приравнивая ее к нулю, получим уравнение , решение которого определяет единственную критическую точку . Легко проверить, что производная в этой точке изменяет знак с минуса на плюс. Следовательно, если , то есть CM стоимость транспортирования груза из А в В наименьшая.

Если же при , то есть (рис. 54б), то дорогу следует, очевидно, проложить вдоль прямой ВА.

^ 4.4 Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой

Относительно функции , график которой представлен на рис. 55, подразумевается, что она имеет непрерывную вторую производную.

Определение 1. Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некоторой точке М, если в окружении этой точки лежит под (над) касательной, проведенной в точке М (на рис. 55 в точке кривая выпуклая, - вогнутая).

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на некотором промежутке, если она выпуклая (вогнутая) во всех точках этого промежутка.



Рис. 55

При построении графика очень важно знать, на каких промежутках график функции выпуклый и на каких он вогнутый.

Теорема 5. Если на промежутке (a;b) вторая производная функции отрицательная, то кривая выпуклая на этом промежутке; если ж положительная на (a;b), то кривая вогнутая.

Представим лишь некоторые рассуждения геометрического характера. Если везде на промежутке (a;b), , то это означает, что сама функция, то есть - убывающая. Следовательно, убывает на рассмотренном промежутке угловой коэффициент касательной ( ) к кривой и, конечно, убывает и угол , создаваемый касательной с осью ОХ (рис. 56)


Очевидно, кривая во всех точках промежутка (a;b), расположенная под касательной, то есть она выпуклая.

Если , то такие же геометрические рассуждения доказывают, что кривая будет вогнутой (рис. 77).

Определение. Точка, которая отделяет выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой или наоборот, называется точкой перегиба кривой.

На рис. точка является точкой перегиба. В точках перегиба касательная пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны - над нею.

Теорема. Если вторая производная функции в некоторой точке становится , а при переходе через эту точку меняет знак, то точка кривой с абсциссой является точкой перегиба.

Доказательство. Предположим, что в точке М с абсциссой и меняет знак, например, с плюса на минус. Тогда слева от М кривая вогнутая , а справа - кривая выпуклая . Следовательно, в точке М кривая меняет вогнутость на выпуклость, а точка М является точкой перегиба.

Пример 5. Найти точки перегиба и определить промежутки выпуклости и вогнутости кривой .

Имеем .

Вторая производная становится нулем при . Если , то ; когда .

Таким образом, на промежутке график выпуклый, а на промежутке - вогнутый. Точка кривой с абсциссой является точкой перегиба.

Пример 6. Исследовать на точки перегиба кривую .

Имеем . При . Исследуем изменение знака. При (кривая вогнутая), при (кривая тоже вогнутая). Вторая производная не меняет знака, кривая не имеет точек перегиба.

^ 3.5. Асимптоты. Исследование графика функции в целом

При изучении поведения функции, если или вблизи точек разрыва второго рода, часто случается, что график функции как угодно близко приближается к той или иной прямой. Эти прямые называются асимптотами.

Определение . Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одна из границ или бесконечная. Например, прямая - вертикальная асимптота графика функции , поскольку

, .

Определение . Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если

.

Теорема . Для того чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали границы



Доказательство. Необходимость. Для конкретности будем рассматривать случай, когда . Пусть - наклонная асимптота графика функции при . Поскольку

,

то в силу определения,



Достаточность. Пусть существуют границы, указанные в теореме. Тогда из второй границы следует, что , а потому прямая действительно является наклонной асимптотой графика функции при .

При исследовании графика функции в целом рекомендуется, например, схема, по которой следует найти:

  1. область определения функции, ее точки разрыва и промежутки непрерывности;

  2. асимптоты графика функции;

  3. точки локального экстремума функции;

  4. промежутки монотонности функции;

  5. точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости.

Учитывая исследования, построить график функции.

Порядок исследования целесообразно выбирать согласно с особенностями функции. При решении конкретной задачи отдельные пункты можно немного расширить, а некоторые могут оказаться лишними.

§ 5 Применение производной в экономической теории.

Рассмотрим некоторые примеры применения производной в экономической теории. Обратим внимание на то, что много, в том числе и базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения есть прямым следствием математических теорем, сформулированных в данной главе.

Сначала рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Один из базовых законов теории производства такой: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных затрат и предельного дохода.

То есть уровень выпуска является оптимальным для производителя, если , где MS - предельные затраты, а MD - предельный доход. Обозначим функцию дохода . Тогда . Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором доход максимальный, то есть такое значение выпуска , при котором функция имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Поскольку , тогда , то есть .

Второе важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние затраты по производству товара минимальные. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных затрат.

Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние затраты определяются как , то есть затраты по производству товара разделенные на выработанное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции , то есть при условии

,

отсюда или , то есть .

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее известных экономических законов - закон убывающей доходности - формулируется таким образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического, и др.), с некоторого момента спадает.

Другими словами, величина , где - прирост ресурса, а - прирост выпуска продукции, уменьшается при возрастании . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , которая выражает зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является в функцией, выпуклой вверх.

Вторым базисным понятием экономической теории является функция полезности , где - товар, а - полезность. Эта величина очень субъективна для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности утверждается таким образом: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности является отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

Пример 7. Производитель реализует свою продукцию по цене p за единицу, а затраты при этом задаются кубической зависимостью

.

Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

∆ Обозначим объем выпускаемой продукции через . Составим функцию прибыли

,

где - доход от реализуемой продукции.

  1. Находим .

  2. Находим критические точки: , откуда (вторую критическую точку не рассматриваем по содержанию задачи).

  3. Находим и определяем знак второй производной при : (в данном случае при любом ), следовательно, при прибыль максимальная.

  4. Находим максимум функции (то есть максимальный размер прибыли)

.

:

Пример 8. Капитал в 1 млрд. гривен может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вклада ожидается в размере 100%, а затраты задаются квадратичной зависимостью. Прибыль обкладывается налогом в p%. При каких значениях p вклад в производство является более эффективным, чем чистое размещение капитала в банке?

∆ Пусть (млрд. гривен) инвестируется в производство, а - размещается под проценты. Тогда размещенный капитал через год будет равен

,

а капитал, вложенный в производство . Затраты составят , то есть прибыль от вклада в производство . Налоги составят , то есть чистая прибыль будет равна

.

Общая сумма через год составит:

.

Нужно найти максимальное значение этой функции на отрезке [0,1].

Имеем



и

при

,

то есть согласно второго достаточного условия экстремума   точка максимума.

Чтобы принадлежало отрезку [0,1], необходимо выполнение условия

или .

Таким образом, если, , то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банке. Если, , тогда можно показать, что при

,

то есть вклад в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты.

§ 5. Решение задач

Пример 9. Определить промежутки монотонности функции

.

∆  Область определения .

Находим производную и решаем неравенства и . При производная , а при производная .

Следовательно, в интервале (-4,4) функция возрастает, а в интервале функция убывает.

Пример 10. Исследовать на экстремум функцию

.

  а) Область определения . Находим и определяем критические точки

;

;

;

.

Следовательно, .

Применяя первое правило исследования на экстремум, строим таблицу

Х



-1

(-1,1)

1





 

0

+

+

 

Y




min






max






б) Область определения . Находим производную .

Приравниваем ее к нулю и находим стационарную точку:

.

Применяя второе правило, найдем вторую производную и получим

.

Вычислим значение второй производной в стационарной точке. При имеем

,

следовательно, согласно достаточного условия второго типа в точке функция имеет минимум

.



Пример 11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2,3].

∆  . Находим производную

;

,

то есть   стационарные точки.

Определяем значение функции в этих точках .

Вычисляем значение данной функции на границах промежутка: .

Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее. Следовательно, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 2, а наименьшее равно -18.

(

Пример 12. Найти точку перегиба и интервалы выпуклости функции

.

∆  Находим производную и вторую производную и строим таблицу, учитывая, что при .

х



0





+

0

 

y



~



Следовательно, на промежутке график функции   вогнутый, а на промежутке   выпуклый. Точка , в которой вторая производная меняет знак с “+” на “-“   точка перегиба графика.



Пример 13. Найти асимптоты кривых а) ; б) .

  а) Исследуемая функция имеет вертикальную асимптоту . Очевидно,

,

функция имеет разрыв второго рода.

Находим наклонную асимптоту :

;



Следовательно, является наклонной асимптотой кривой

.

б) Очевидно, вертикальных асимптот кривая не имеет. Если . Следовательно ось Ох является горизонтальной асимптотой данной кривой. Исследуем наличие наклонной асимптоты:

.

Следовательно, есть только горизонтальная асимптота .

Пример 14. Исследовать функцию



И построить ее график.

ÿ 1. Область определения . Функция парная, поскольку и график ее симметричен относительно оси ординат.

2. Вертикальных асимптот нет, поскольку функция определенная при всех действительных значениях х.

Поведение функции на бесконечности:



В силу парности функции , то есть прямая (ось абсцисс) - горизонтальная асимптота.

3. Экстремумы и интервалы монотонности:

;

при ;



то есть критические точки .


Таким образом, есть точка максимума,   точка минимума,   точка максимума.



Функция возрастает на интервалах и и убывает на (-1;0) и .

4. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба:

.

при .


Таким образом, функция выпукла на интервалах

и

и вогнутая на интервалах

и

а   точки пересечения.

5. . Уравнение имеет единственное решение х=0, то есть график функции проходит через начало координат.


Пример 15. Исследовать функцию



и построить ее график.

ÿ 1. Область определения . Данная функция не является ни парной, ни непарной.

2. Исследуемая функция имеет вертикальную асимптоту х=3. . Очевидно,



следовательно, в точке х=3 функция имеет разрыв второго рода. Далее

.

Находим наклонную асимптоту .





Следовательно, y=x+3 является наклонной асимптотой кривой .

3. Вычислим производную функции и решим уравнение

:

х=5, х=1.

Исследуя знак производной, составляем таблицу

Х



1

(1,3)

(3,5)

5





+

0

 

 

0

+

Y




max









min






4. Находим вторую производную

.

Видим, что уравнение корней не имеет, следовательно, точек перегиба не существует. Строим таблицу:

Х







 

+

Y





5. Уравнение , то есть имеет два корня , то есть график пересекает ось абсцисс в точках .

На основании полученных данных строим график функции




Схожі:

Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconТеорема 4 (второй достаточный признак экстремума)
Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума). Если в окружении точки вторая производная непрерывная, причем, а, то функция имеет...
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconSdfield> Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму)
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму). Якщо в околі точки друга похідна неперервна, причому, а, то функція має в точці максимум,...
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconЧто означает функциональный признак
Функциональный признак определяет назначение подсистемы, а также ее основные цели, задачи и функции. Структура информационной системы...
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) icon01. 01. 02 Диференціальні рівняння (фізико математичні науки) київ 2004
Задача Коші для системи диференціальних рівнянь у нормальній формі. Теорема Пікара. Теорема Пеано. Теореми Каратеодорі та Осгуда...
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconПитання до екзамену з дисципліни “Аналітична геометрія І лінійна алгебра” (І фіа, 2009/2010 н р.)
Ранг матриці. Теорема про існування та кількість розв'язків слр (теорема Кронекера-Капеллі)
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconВасильев пошел на второй срок: конференция трудового коллектива Сумгу выбрала Анатолия Васильева ректором на второй срок (коротко) // Данкор. 2010. №21. 26 мая. С. А3
Анатолій Васильєв знову ректор СумДУ: коротко // Ярмарок. 2010. – №21. 27 травня. – С. 1
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconТеорема 4 (друга достатня ознака екстремуму)
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму). Якщо в околі точки друга похідна неперервна, причому, а, то функція має в точці максимум,...
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Прикладна математика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Соціальна інформатика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
Sdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) iconДокументи
1. /Второй иностранный язык(немецкий). Учебно-методический комплекс для АН3/Активная лексика...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи