§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку icon

§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку




Скачати 57.75 Kb.
Назва§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
Дата07.09.2012
Розмір57.75 Kb.
ТипДокументи

22109

§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку.


Розглянемо, по-перше, як змінюються координати точок площини ху при перетворенні паралельного переносу, тобто таких перетворень, при яких зберігається напрямок осей (розглядається прямокутна декартова система координат), але змінюється положення початку координат.

Нехай на площині вибрана деяка точка М, нехай (х;у) - її координати в системі осей х, у з початком О і () - координати тієї ж точки ^ М в системі осей з початком О (рис.24). Нехай (a,b) - координати точки O в системі осей х, у. Очевидно ОО+ОМ=ОМ.



Оскільки при паралельному переносі осей координатний базис не змінюється, то при додаванні векторів можна складати їх відповідні координати. А тому

х=х+а; у=у+b (1)

Ми одержали формули для переходу від «старих» координат точки М до «нових» її координат. Із (1) випливають формули

х=х-а; у=у-b (2),

що виражають «нові» координати через «старі».

Приклад 1.199 Встановити, як змінюється рівняння х2-4х+2у2+8у-10=0 при паралельному переносі осей координат, якщо початок координат перенесений в точку О`(2;-2).

Розв`язок. Згідно формул (1) маємо х=х+2, у=у­2. Підставляючи ці вирази в задане рівняння, одержимо

+2)2-4+2)+2­2)2+8­2)-10=0

х2+2у2=22,

Таким чином, вихідному рівнянню відповідає еліпс з напівосями , з центром симетрії в точці (2;-2) і осями симетрії, паралельними осям координат.

Приклад 1.200. За допомогою паралельного переносу осей координат привести до найпростішого вигляду рівняння х2-6х-3у2-6у+2=0.

Розв`язок. Перепишемо задане рівняння у вигляді

(х-3)2-9-3(у+1)2+3+2=0

Припустимо х-3=х, у+1=у.
^

Тоді одержимо


або

Таким чином, вихідне рівняння визначає гіперболу з дійсною віссю 2, уявною і центром симетрії в точці (3;-1). Осі симетрії гіперболи паралельні осям координат.

Раніше відмічалося, що рівняння у2=2рх (р>0) визначає параболу, у якій вісь симетрії співпадає з віссю абсцис і вершина знаходиться на початку координат. Рівнянню х2=2ру або, що те ж саме, рівнянню у=ах2 відповідає, очевидно, парабола, у якої вісь симетрії співпадає з віссю ординат, а вершина, як і раніше, знаходиться на початку координат. Покажемо, що до виду у=ах2 можна привести з допомогою паралельного переносу осей рівняння y=ax2+bx+c.

Нехай (a1;b1) - координати нового початку в старій системі координат. Тоді х=х`+а1, у=у`+b1 і рівняння y=ax2+bx+c набуде вигляду

y+b1=a(x+a1)2+b(x+a1)+c

або

y=ax2+(2aa1+b)x+aa12+ba1+c-b1

Числа a1 і b1 були поки що довільні. Виберемо їх так, щоб виконувалася рівність

2aa1+b=0 aa12+ba1+c-b1=0

Розв`язуючи цю систему, одержимо . Таким чином, якщо перенести початок координат (при збережені напрямку осей координат) в точку О, тоді вихідне рівняння y=ax2+bx+c буде мати вид y=ax2. Але це означає, що вихідне рівняння є рівнянням параболи з вершиною в точці О і віссю симетрії, паралельною осі ординат.

Розглянемо тепер перетворення, що включає в себе поворот координатних осей при збережені положення початку координат. Нехай х, у - старі осі координат, х, у - нові осі (рис.25) і  - кут повороту, тобто кут між «новою» і одноіменною «старою» віссю (оскільки ми розглядаємо задачу на площині, то можна фіксувати напрямок відліку кутів; кут вираховується від додатного напрямку старої осі проти часової стрілки).



У випадку, що розглядається, координатний базис, очевидно, змінюється: замість базису - маємо новий базис , при чому кут між дорівнює , кут між дорівнює (або ), кут між дорівнює , кут між і дорівнює . А тому в ортонормованому базисі



Нехай М - довільна точка площини, (х;у) її старі, а (х) нові координати. Тоді

,

тобто маємо:

(3)

формули, що виражають старі координати через нові.

Розв`язуючи систему рівнянь (3) відносно х і у, одержимо

(4),

формули (3) і (4) і є формулами перетворення повороту координатних осей.

Приклад 1.201. Перетворити рівняння ху=с (с0) (графік оберненої пропорційної залежності), вибрав за нові осі бісектриси координатних осей.

Розв`язок. Кут повороту  в цьому випадку дорівнює .

А тому



Таким чином, крива ху=с (с0) є рівнобічна гіпербола, дійсна вісь якої направлена по бісектрисі 3-го і 1-го координатних кутів, центр симетрії знаходиться на початку координат, і напівосі дорівнюють .

Ми розглядали окремо перетворення паралельного переносу і перетворення повороту координатних осей. Можливо, звичайно, послідовно провести ці два перетворення, здійснити і поворот, і перенос координатних осей. Вкажемо, не роблячи конкретних обчислень, як можна з допомогою розглянутих методів привести загальне рівняння кривої 2-го порядку

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (5)

до канонічних рівнянь еліпса, параболи і гіперболи, або до випадків їх «виродження».

Відмітимо, по-перше, що при перетвореннях рівняння (5) за допомогою формул (1) і (3) не може змінитися порядок рівняння. Він природно не зможе підвищитися (тобто стати більше, ніж 2), оскільки у формулах (1) і (3) х і у виражається лінійно через х і у, але не може і понизитися. Дійсно, якщо ми із рівнянь (5) з допомогою формул (1) і (3) одержали б рівняння виду А1х1у1=0, то, повертаючись за допомогою рівностей (2) і (4) до вихідних змінних х і у, ми не одержали б рівняння 2-го степеню - вихідне рівняння (5). Таким чином, порядок (ступінь) рівняння при наших перетвореннях зберігається.

З допомогою повороту осей завжди можна позбутися від члена з добутком координат.

Дійсно, підставляючи в (5) замість х і у їх вирази згідно формул (3), одержимо нове рівняння

A1x2+B1xy+C1y2+D1x+E1y+F=0,

коефіцієнти якого і , зокрема, коефіцієнт В1, містить тригонометричні функції кута . Прирівнюючи коефіцієнт В1 до нуля, одержимо тригонометричне рівняння. Розв`язуючи його, знайдемо значення кута повороту , при якому в рівняння вже не буде входити добуток координат, і яке буде мати вигляд

A1x2+C1y2+D1x+E1y+F=0

Якщо коефіцієнти А1 і С1 відмінні від нуля, тоді завжди можна, як це показано на прикладах 1 і 2, за допомогою переносу осей координат (формули 1) позбутися від членів з першими ступенями змінних координат і привести рівняння (6) до виду

A1x2+C1y2+F1=0 (7)

Але звідси видно, що ми маємо або еліпс (якщо А1 і С1 мають один знак, а F1 протилежний), або уявне місце точок (якщо А1, С1 і F1 мають один і той же знак; в такому випадку говорять, що має місце випадок «виродження» еліпса в «уявне місце точок»), або одну точку (якщо А1 і С1 одного знаку і F1=0 - «виродження» еліпса в точку), або гіперболу (якщо А1 і С1 різних знаків і ), або дві прямі, що перетинаються (якщо А1 і C1 різних знаків і F1=0 - «виродження» гіперболи у 2 прямі, що перетинаються).

Якщо ж в рівнянні (6) один із коефіцієнтів А1 і С1, наприклад, С1, обертається в нуль, тоді, як показано на початку параграфу, можна таке рівняння з допомогою переносу осей привести до виду y=ax2 при або до виду ax2+d=0 при Е1=0.

В першому випадку одержуємо параболу, в другому «виродження» параболи (2 паралельні прямі або одна пряма, або уявне місце точок).

Звідси випливає, що, як вже вказувалося вище, будь-яка крива 2-го порядку є або еліпс, або гіпербола, або парабола, або представляє собою їх «виродження».





Схожі:

§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку iconВища математика т. 1
Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку iconВища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії
Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку icon§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
Розглянемо, по-перше, як змінюються координати точок площини ху при перетворенні паралельного переносу, тобто таких перетворень,...
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку iconЛабораторна робота №6-7 Лугова К. І. Пм-91
Розглянути нелінійне перетворення на комплексній площині, що веде до множини Жюліа. Показати, що на множині Мандельброта при квадратичне...
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку icon§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка
Рассмотрим, во-первых, как изменяются координаты точек плоскости ху при преобразовании параллельного переноса, то есть таких преобразований,...
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку icon§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка
Рассмотрим, во-первых, как изменяются координаты точек плоскости ху при преобразовании параллельного переноса, то есть таких преобразований,...
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку iconПрактики 6 7, фрактали Завдання (білет з держ іспиту)
Розглянути нелінійне перетворення на комплексній площині, що веде до множини Жюліа. Показати, що на множині Мандельброта при квадратичне...
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку iconПерелік питань на залік
Парабола. Канонічне рівняння параболи. Застосування кривих другого порядку в економічних дослідженнях
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку iconВища математика
Лінії другого порядку на площині. Рівняння (2), яке приведено спочатку розділу 2, описує (в залежності від коефіцієнтів) відомі криві...
§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку iconАнотація курсу «Вища математика» у розділі «Аналітична геометрія»
«Аналітична геометрія» розглядаються такі теми, як елементи векторної алгебри; рівняння ліній на площині; загальне та часткове рівняння...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи