Вища математика т. 1 icon

Вища математика т. 1




Скачати 156.09 Kb.
НазваВища математика т. 1
Дата07.09.2012
Розмір156.09 Kb.
ТипДокументи

22110

ВИЩА МАТЕМАТИКА т.1.


ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ


Зміст


Передмова

Глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого ступеня.

§1 Основні поняття

§2 Визначники матриць другого порядку

§3 Визначники матриць третього порядку

§4 Визначники матриць вищих порядків

§5 Розв`язки систем n рівнянь із n невідомими

§6 Ранг матриці, теорема про сумісність систем рівнянь першого ступеню

§7 Основні операції з матрицями

§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь


Глава ІІ. Векторна алгебра

§1 Основні поняття

§2 Лінійні операції з векторами

§3 Лінійна залежність та лінійна незалежність систем векторів

§4 Проекція вектора на вісь. Прямокутна декартова система координат в просторі

§5 Скалярний добуток векторів

§6 Векторний добуток векторів

§7 Мішаний добуток векторів

§8 Лінійний простір


Глава ІІІ. Аналітична геометрія

§1 Відповідність між геометричними образами та рівняннями

§2 Лінійні образи - площина і пряма

§3 Лінії другого порядку

§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку

§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними, координатним осям; поверхні другого порядку

§6 Полярна система координат на площині: Циліндрична і сферична система координат в просторі
^

РОЗДІЛ І. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

ГЛАВА 1: Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеню

§1 Основні поняття


Однією із найважливіших задач математики є дослідження та розв`язок систем рівнянь 1-го степеню. Нехай така система містить m невідомих Х1, Х2, ..., Хm, зв`язаних n рівняннями 1-го степеню (число рівнянь може і не співпадати з числом невідомих). В загальному вигляді цю систему можна записати так:

a11x1+a12x2+...+a1mxm=b1

a21x1+a22x2+...+a2mxm=b2

…………………………. (1)

an1x1+an2x2+...+anmxm=bn

В системі (1) b1, b2, ..., bn - задані вільні члени, aik (i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ..., m) - задані коефіцієнти при невідомих. При цьому перший індекс у aik означає номер рівняння в системі, а другий - номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Тобто, aik - коефіцієнт, який стоїть в і-му рівнянні системи при невідомому Хк. Аналогічно bi означає вільний член в і-му рівнянні системи.

Розв`язком системи (1) називається така сукупність чисел Х1, Х2, ..., Хm, яка, будучи підставлена у всі рівняння системи (1), обертає ці рівняння в числові рівності.

Запишемо таблицю, складену із коефіцієнтів при невідомих в системі (1):

(2)

Таку таблицю розглядатимемо як єдине ціле і будемо називати основною матрицею системи.

Таблиця

(3),

яка містить і стовпець , складений із вільних членів системи (1), називається розширеною матрицею системи.

Очевидно, що саме існування розв`язку системи (1), так і можливі числові значення елементів розв`язку повністю визначаються матрицями (2) і (3). А тому природньо, розглянемо деякі загальні властивості матриць.

^ Числовою матрицею (або просто матрицею) називається прямокутна таблиця чисел. Окремі числа цієї таблиці називаються елементом матриці. Елементи матриці А позначають символом aik, де і - номер рядка, а k - номер стовпця, в якому стоїть вибраний елемент.

Якщо матриця містить n рядків і m стовпців, тоді говорять, що матриця має розмірність nxm.

Особливо часто доводиться мати справу з матрицями, у яких число рядків дорівнює числу стовпців. Такі матриці називаються квадратними.

Число рядків (а, звідси, і число стовпців) квадратної матриці називається порядком матриці.
^

§2 Визначники матриць другого порядку


Для квадратної матриці вводиться нове поняття - визначник матриці. Визначник квадратної матриці будемо позначати символом det A і визначимо його індуктивним шляхом.

^ Визначником матриці 1-го порядку (тобто матрицею, яка складається із одного елементу, одного числа) називається саме число, яке утворює задану матрицю.

Визначником матриці 2-го порядку називається число, обчислене по такому правилу: det A=a11a22-a12a21.

Діагональ квадратної матриці, яка йде від лівого верхнього елементу таблиці до правого нижнього, називається головною діагоналлю матриці. Діагональ, яка йде від правого верхнього елементу до лівого нижнього, називається побічною діагоналлю матриці.

Таким чином, для обчислення визначика матриці 2-го порядку потрібно із добутку елементів, які знаходяться на головній діагоналі матриці, відняти добуток елементів, які знаходяться на побічній діагоналі.

Для визначника матриці вводиться символ .

Таким чином,

(1)

Як видно із (1), визначник матриці 2-го порядку являє собою алгебраїчну суму двох доданків. Кожний із доданків є добуток двох елементів, при чому до нього входить один елемент першого рядка та один елемент 2-го рядка, один елемент 1-го стовпця та один елемент 2-го стовпця заданої матриці. Зі знаком «+» береться добуток елементів головної діагоналі і зі знаком «-» - добуток елементів побічної діагоналі.

Із означення (1) легко отримати ряд властивостей визначників матриць.

Властивість 1. При перестановці рядків матриці на місце стовпців і навпаки визначник матриці не змінюється.

Нехай задана матриця , а матриця отримана із А перестановкою рядків на місце стовпців (така матриця А* називається часто транспонованою по відношенню до матриці А). Тоді



Властивість 2. При перестановці двох стовпців (або рядків) абсолютне значення визначника матриці не змінюється, а знак змінюється на протилежний.

Нехай задана матриця , отримана із А перестановкою стовпців. Тоді



Властивість 3. Якщо матриця має два однакових стовпця (рядка), тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Властивість 4. Якщо всі елементи будь-якого стовпця (рядка) матриці помножить на одне і те ж число, тоді визначник матриці виявиться помноженим на те ж число.

Властивість 5. Якщо всі елементи будь-якого стовпця (рядка) матриці дорівнюють нулю, тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Властивість 6. Нехай всі елементи будь-якого стовпця (рядка) матриці А представляють собою суму двох елементів і нехай відповідні стовпці матриць А1 і А2 складаються із таких елементів:

, ,

тоді

det A=det A1+detA2

Таке твердження, як і твердження 3, 4, 5, доводиться безпосередньою перевіркою.

Властивість 7. Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів будь-якого стовпця (рядка) матриці додати величини, пропорційні елементам другого стовпця (рядка).

Нехай і .

Тоді
^

§3. Визначники матриць третього порядку


Нехай задана будь-яка матриця порядку n



Виберемо довільний елемент aik цієї матриці і викреслимо із матриці А той рядок і той стовпець, в яких міститься цей елемент, (тобто викреслимо і-ий рядок та k-ий стовпець). Тоді отримаємо матрицю (n-1)-го порядку.

Будемо називати її субматрицею матриці А, що відповідає елементу aik та позначимо її символ Дik

Визначник субматриці Дik назвемо мінором матриці А, що відповідає елементу aik, та позначимо символом Мik.

Звідси

Мik=det Дik. (1)

Нехай вихідна матриця А була матрицею 3-го порядку. Тоді дев`ять її можливих субматриць Д11, Д12, Д13, Д21, Д22, Д23, Д31, Д32, Д33, які відповідають різним елементам матриці А, будуть матрицями 2-го порядку.

Визначення. Визначником матриці 3-го порядку



називається число, визначене за таким правилом:

(2)

Оскільки для матриці А

,

тоді

M11=det D11=a22a33-a23a32

M12=det D12=a21a33-a23a31

M13=det D13=a21a32-a22a31

Звідси

det A=a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31)

det A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 (3)

Як видно із одержаної формули, визначник матриці 3-го порядку представляє собою алгебраїчну суму шести доданків. Кожний доданок є добутком трьох елементів по одному із кожного рядка і кожного стовпця. Перший із доданків, взятих зі знаком «+», представляє собою добуток елементів, розташованих на головній діагоналі матриці. Останні два містять елементи, розташовані у вершинах трикутників з основою, паралельною головній діагоналі.



Добутки, які входять зі знаком «-», містять елементи, розташовані на побічній діагоналі, та елементи, розташовані у вершинах трикутників з основою паралельною побічній діагоналі.



Безпосередньою перевіркою можна пересвідчитись у тому, що всі властивості, встановлені для визначників матриць 2-го порядку, мають місце і для визначників 3-го порядку.
^

§4 Визначники матриць вищих порядків


Визначники матриць 4-го і більш високих порядків будемо вводити аналогічно визначникам матриць 3-го порядку. Нехай задана матриця



Визначення. Визначником матриці А порядку n називається число, обчислене за таким правилом:

(1)

У відповідності зі сказаним раніше в цій формулі Mik є мінор матриці А, який відповідає елементу aik, тобто визначник субматриці Дik, одержаний із матриці А викреслюванням і-того рядка і k-го стовпця.

Правило (1) є очевидним узагальненням правила (2, §3). Воно дає можливість звести обчислення визначників матриць 4-го порядку до обчислень визначників 3-го порядку і т.ін.

Обчислення визначника матриці високого порядку по формулі (1) - операція досить трудомістка. А тому важливо, використовуючи властивості визначників матриць, скоротити обчислення.

Оскільки визначники матриць введені на основі принципу індукції, тоді природно сподіватися, що властивості визначників матриць вищих порядків будуть ті ж , що визначники 2-го порядку. Приймемо без доведення наступні два твердження про властивості визначників матриць порядку n (ці властивості були перевірені для визначників матриць 2-го порядку, а властивість 1 також і для матриць 3-го порядку)

Властивість 1. При перестановці рядків матриці на місце стовпців визначник матриці не змінюється

Властивість 2. При перестановці двох рядків (або стовпців) матриці абсолютне значення визначника матриці не змінюється, а знак змінюється на протилежний.

Перша властивість дає можливість всі положення, встановлені для рядків матриці, переносити на її стовпці. Із нього, наприклад, виходить, що можливо визначник матриці обчислювати і по формулі

det A = a11M11 -a21M21+ ... + (-1)n-1 an1Mn1 (2),

тобто виконувати розклад визначника матриці не тільки по елементах першого рядка, але і по елементах першого стовпця. На основі даних тверджень виведемо основну формулу для розкладу визначника матриці по елементах будь-якого рядка або стовпця:

det A=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+...+(-1)i+nainMin= (-1)1+ka1kM1k+(-1)2+ka2kM2k+...+(-1)n+k ankMnk (3)

Перша частина твердження представляє собою розклад визначника по елементах і-го рядка, друга половина - розклад по елементах k-го стовпця.

Доведення. Нехай задана матриця n-го порядку



Переставимо і-тий і (і-1)-ий рядок матриці А, потім переставимо новий (i-1)-ий рядок з (і-2)-им рядком і т.д. до тих пір, доки вихідний і-ий рядок не стане 1-им рядком. Тоді одержимо нову матрицю.



Матриця А одержана із А в результаті (і-1) перестановок рядків. Кожна така перестановка у визначника матриці змінює тільки знак. Отже, (-1)і-1det A=det A

Субматриця Дік матриці А, яка відповідає елементу аік, повністю співпадає з субматрицею Дік, яка відповідає елементу аік матриці А.

Тому

det Dik =det Dik=Mik ,

і на основі означення (1) одержимо

det A=ai1Mi1-ai2Mi2+...+(-1)n-1ainMin

Таким чином

detA=(-1)i-1detA=(-1)i+1detA=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+...+(-1)i+nainMin

і перша половина формули (3) одержана.

Другу половину формули одержимо, використовуючи можливість перестановки рядків на місце стовпців.

Для спрощення запису формул розкладу зручно ввести поняття «алгебраїчне доповнення, яке відповідає заданому елементу матриці».

Визначення. Алгебраїчним доповненням елементу аік матриці А називається мінор Мік цієї матриці, помножений на (-1)і+к:

Алгебраїчне доповнення елементу аік матриці А позначається, як правило, символом Аік. Отже,

Аік=(-1)і+кМік (4)

Тепер формулу розкладу (3) можна записати в такому вигляді

detA=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin=a1kA1k+a2kA2k+...+ankAnk (5)

Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) матриці на відповідне алгебраїчне доповнення.

Для скорочення запису часто вводиться спеціальне позначення суми ряду доданків. Суму 1+2+...+n будемо записувати символом . Знак  в такому записі є символом підсумовування, запис k=1 під знаком суми і n над знаком  означає, що індекс к у окремих доданках приймає значення від k=1 до k=n. Очевидно, що якщо р будь-яке число, тоді

,

тобто сталий множник можна винести за знак суми. Вкажемо ще, що

(ак+bкк=акск+bкск.

Дійсно

(ак+bкк=(а1+b11+(а2+b22+...+(аn+bnn=(а1с1+b1с1+а2с2+b2с2+...+аncn+bnсn)=

=(а1с1+а2с2+...+аnсn)+(b1с1+b2с2+...+bnсn)= +

З допомогою символу підсумовування формулу (5) записують у вигляді

det A=aikAik=aikAik. (5)

З допомогою формули розкладу легко встановити інші властивості визначників матриць будь-якого порядку.

Властивість 3. Якщо матриця має два однакових рядка (або стовпця), тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Доведення. Нехай в матриці А співпадають -ий і s-ий рядок. Переставимо в цій матриці s-ий рядок на місце -го і навпаки. Оскільки ці рядки однакові, тоді ні сама матриця, ні її визначник не зміняться. Але разом з тим при перестановці в матриці двох будь-яких рядків визначник матриці змінить свій знак, тобто det A= -det A, і тому det A=0.

Властивість 4. Якщо всі елементи будь-якого рядка (або стовпця) матриці помножить на одне і те ж число, тоді визначник матриці стане помноженим на те ж число.

Доведення. Розглянемо матриці

,

Розкладаючи визначник цих матриць по елементах і-го рядка, одержуємо

detA=aikAik det A=paikAik=paikAik

Отже, det A=pdetA.

Властивість 5. Якщо всі елементи будь-якого рядка (або стовпця) матриці дорівнюють нулю, тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Доведення. Розкладаючи визначник матриці по елементах рядка, всі елементи якого дорівнюють нулю, одержимо висловлене твердження.

Властивість 6. Нехай всі елементи будь-якого рядка (або стовпця) матриці А представляють собою суму двох доданків, і нехай відповідні рядки матриць А1 і А2 складаються із цих доданків:

, ,

тоді detA=detA1+detA2.

Доведення. Розкладаючи визначники матриць А1, А2, А по елементах і-го рядка, одержимо det A=(aik+)Aik=aikAik+ Aik=detA1+detA2.

Властивість 7. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (або стовпця) матриці додати величини, пропорційні елементам другого рядка (стовпця) тієї ж матриці.

Доведення. Розглянемо матриці



і матрицю В, одержану заміною в матриці А і-го рядка -им рядком ()

Згідно доведеному раніше. Але в матриці В рядок a1, a2,..., an входить двічі (на і-му і на -му місцях), і тому detB=0, тобто detA=detA.

Встановлені властивості дають практичний метод обчислення визначників матриць високих порядків. Покажемо на декількох прикладах зміст цього методу.

Приклад 1. Задана матриця



Знайти det A.

Розв,язок. Перетвoримо задану матрицю так, щоб в одному рядку або в одному стовпці всі елементи, крім одного, стали рівними нулю. Перетворення при цьому проводимо такі, щоб визначник матриці не змінювався. Для цього до елементів 1-го і 3-го рядка додаємо подвоєні елементи 2-го рядка.



Розкладаючи визначник по елементах 2-го стовпця по формулі (3), одержимо



Приклад 2. Задана матриця



Знайти det A.

Розв,язок. Перетворимо матрицю так, щоб всі елементи 3-го рядка, крім одного, обертались в нуль. Для цього до елементів 1-го стовпця додамо елементи 3-го, помножені на -4, а до елементів 2-го стовпця додаємо елементи 3-го, помножені на 2. Тоді будемо мати



Додаємо до елементів першого рядка елементи 2-го рядка, помножені на -2, і до елементів 3-го елементи 2-го, помножені на -3. Тоді



Доведемо, на довершення, ще одну суттєву теорему, яку назвемо теоремою про алгебраїчні доповнення.

Сума добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) матриці на алгебраїчне доповнення, відповідні елементам другого рядка (або стовпця) цієї ж матриці, дорівнює нулю.

Доведення. Нехай задана матриця




Розглянемо допоміжну матрицю



одержану із матриці А заміною елементів -го рядка числами h1, h2,... hn.

Розкладаючи det A1 по елементах -го рядка, одержимо det A1=

де - алгебраїчні доповнення, відповідні елементам -го рядка як матриці А1, так і матриці А. Покладаючи hk=аік, одержимо матрицю, у якої два рядки повністю співпадають. Тому при визначник цієї матриці, тобто аікповинен дорівнювати нулю. Теорема доведена.

Об’єднуючи доведену теорему і формулу (5), можна записати

аік= (6)

Аналогічно, проводячи розклад по елементах і-го стовпця, маємо

аік= (7)


^ ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

1.1. Обчисліть визначник другого порядку



1.2. Обчисліть визначник третього порядку



Згідно правила трикутника, маємо



1.3. Обчисліть визначник третього порядку



Розклавши визначник по елементах 1-го рядка, одержимо



1.4. Обчисліть попередній приклад інакше, використавши властивості визначників.

До елементів 1-го рядка додамо відповідні елементи 2-го рядка, помножені на 5, а до елементів 3-го рядка - відповідні елементи 2-го рядка, помножені на 7.



Розклавши визначник по елементах 1-го стовпця, одержимо



1.5. Обчисліть визначник



Виконаємо такі дії: 1) до елементів 1-го рядка додамо помножені на -3 відповідні елементи 2-го рядка; 2) до елементів 3-го рядка додамо подвоєні елементи 2-го рядка; 3) до елементів 4-го рядка додамо відповідні елементи 2-го рядка, помножені на -1. Тоді вихідний визначник перетвориться до вигляду.



Розклавши цей визначник по елементах 1-го стовпця, маємо



Додамо до елементів 1-го рядка елементи 3-го рядка і віднімемо від елементів 2-го рядка елементи 3-го рядка, одержимо



Розкладемо визначник по елементах 1-го стовпця.



1.6. Обчисліть визначник пятого порядку



Для перетворення в нуль всіх елементів (крім одного) будь-якого рядка чи стовпця, вибираємо той рядок або стовпчик, який складається з найменших чисел. У визначнику таким буде другий стовпчик. Залишимо в ньому без змін елемент а22=-1, а всі інші перетворимо в нулі. Для цього виконаємо:

Одержимо:



Розкладемо визначник по елементах другого стовпця.



В одержаному визначнику вже 4-го порядку з найменших елементів складається 4-ий рядок. Перетворимо в нулі всі його елементи, крім а42=-1. Для цього виконаємо

ст+(-3)ІІст, ІІІст+2 ІІст, ІVст+3 ІІст). В результаті одержимо:



Розкладемо визначник по елементах четвертого рядка



(Ми винесли за знак визначника спільний множник з елементів другого рядка і спільний множник з елементів третього рядка).

Для зменшення елементів цього визначника додамо перший стовпець до другого та третього:



Останній визначник розклали по елементах третього стовпця.

1.7. Обчислити визначник n-го порядку, звівши його до трикутного вигляду:

.

Δ Віднімемо І рядок від усіх інших.

До І стовпця додамо суму всіх інших.






Схожі:

Вища математика т. 1 iconНазва модуля: Вища математика ч. 1
Вища математика: основні означення, приклади І задачі. /Ред. Кулинич Г. Л. Ч. 2-К: Либідь, 1992
Вища математика т. 1 iconЄ. С. Пахомова вища математика конспект
С. Пахомова. Вища математика. Конспект лекцій. Напрям підготовки 030601 „Менеджмент”,спец. „Менеджмент готельного, курортного І туристичного...
Вища математика т. 1 iconДокументи
1. /_стор_я економ_ки та ек. думки.pdf
2. /Безпека...

Вища математика т. 1 iconДокументи
1. /_стор_я економ_ки та ек. думки.pdf
2. /Безпека...

Вища математика т. 1 iconЄ. С. Пахомова перший проректор Стадник Г. В. 2007р. Програма та робоча програма навчальної дисципліни
«Вища математика (вища та прикладна математика)» (для студентів 1 курсу денної та заочної форми навчання за напрямом підготовки 030601...
Вища математика т. 1 iconRoz group іеф
Математика для економістів:-вища математика, корп. 1, ауд. 304, Ковальчук Т. М., Лекція
Вища математика т. 1 iconМ.І. Самойленко, Г. В. Білогурова, В. П. Протопопова методичні вказівки до виконання практичних, гозрахунково-графічних та самостійних робіт з дисципліни „Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика;
Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика; Математичне програмування”
Вища математика т. 1 iconМетодичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» на тему «Подвійні інтеграли та їх застосування» для студентів інженерних спеціальностей
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика»/укладач А. М. Шкіра. – Суми
Вища математика т. 1 iconЛ. Б. Коваленко програма та робоча програма навчальної дисципліни
Програма та робоча програма навчальної дисципліни «Вища та прикладна математика (Вища математика)» (для студентів 1 курсу денної...
Вища математика т. 1 iconРобоча програма індивідуальні контрольні завдання з вивчення дисципліни "Вища математика" для студентів групи ап заочної форми навчання
Але студент повинен пам’ятати, що тільки при систематичній самостійній роботі допомога академії буде носити ефективний характер....
Вища математика т. 1 iconРобоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення»
«Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтег­ральні перетворення») для студентів напряму 050202- автоматизація...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи