§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь icon

§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь




Скачати 182.2 Kb.
Назва§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь
Дата07.09.2012
Розмір182.2 Kb.
ТипДокументи

22112

§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь


При розгляді дій з матрицями не вводиться операція ділення. Але можливо ввести поняття, яке дозволяє дати деякий еквівалент цій дії.

Визначення. Квадратна матриця В називається оберненою квадратній матриці А, якщо добуток А·В є одинична матриця.

Доведемо, що для будь-якої квадратної матриці А, визначник якої відмінний від нуля, існує одна і тільки одна обернена матриця, і приведемо спосіб її обчислення.

Нехай задана матриця

.

Нехай



є шукана матриця і - одинична матриця того ж порядку n.

Згідно умови А·В=Е, тому для визначення n2 елементів bік матриці В ми маємо n систем рівнянь першого порядку, кожна з яких містить n рівнянь:



Такі системи мають одну і ту ж основну матрицю А.

Згідно припущення , тому кожна система має єдиний розв`язок, який можливо обчислити за формулами Крамера. Оскільки в правій частині в кожній системі тільки один елемент дорівнює одиниці, а всі інші дорівнюють нулю, тоді



і взагалі , i,k=1,2,...,n.

Отже, матриця В, обернена матриці А, яка позначається частіше символом А-1, має вигляд

(1)

Раніше було вказано, що взагалі кажучи, для довільних матриць А і В . Але можливо довести, що А-1·А=А·А-1.

Дійсно

Але сума добутків елементів будь-якого рядка матриці на алгебраїчне доповнення відповідних елементів другого рядка дорівнює нулю, а сума добутків елементів будь-якого рядка матриці на відповідні алгебраїчні доповнення елементів того ж рядка дорівнює самому визначнику.

Тому

і отже, А-1·А=Е=А·А-1

Поняття «обернена матриця» може бути використано для розв`язку матричних рівнянь.

Нехай, наприклад, задане рівняння АХ=В, де А і В - задані квадратні матриці порядку n, а Х - шукана квадратна матриця того ж порядку. Нехай . Тоді обчислюємо матрицю А-1 і помножимо ліву і праву частини заданого рівняння зліва на А-1:

А-1(АХ)=А-1В

Оскільки

А-1(АХ)=(А-1А)Х

(згідно асоціативної властивості множення матриць), тоді

А-1(АХ)=ЕХ=Х

і одержуємо

Х=А-1В

Для обчислення матриці А-1 , оберненої матриці А, можливо, звичайно, використати формули (1). Але, як правило, значно вигідніше використати для цього метод повного виключення. Це доцільно ще і тому, що всі n систем рівнянь, які служать для визначення стовпців матриці А-1 , відрізняються тільки правими частинами. Тому процес перетворення розширених матриць цих систем можна проводити одночасно для всіх матриць.

6. Як розв`язується система лінійних рівнянь у матричному вигляді з використанням оберненої матриці?

ІІ. Приклади розв`язку задач

1.67. Знайти матрицю, обернену матриці



Розглянемо матрицю



Перші три стовпці цієї матриці - стовпці заданої матриці А, наступні три стовпці, відділені рискою і складають разом одиничну матрицю, - стовпці вільних членів для систем рівнянь, які визначають елементи оберненої матриці.

Проводимо звичайні операції методу повного виключення:



Матриця, відокремлена рискою, і є шукана, оскільки кожний її стовпець є розв`язком відповідної системи рівнянь, тобто



1.68. Знайти матрицю, обернену матриці



Розглянемо матрицю





Другий спосіб знаходження оберненої матриці.

1.69. Знайти обернену А-1 матрицю до матриці А.



Обчислимо визначник матриці А:



Матриця А неособлива, оскільки



Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів цього визначника







Згідно формули (1) записуємо А-1



1.70. Знайти матрицю обернену до даної



Запишемо обернену матрицю у вигляді



Згідно правила множення матриць одержимо

Для знаходження елементів матриці А-1 запишемо системи



Розв`язки цих систем і дають нам елементи оберненої матриці



1.71. Знайти матрицю Х з рівняння



Помножимо обидві частини рівняння з лівого боку на матрицю, обернену до матриці . Згідно попереднього прикладу .

В лівій частині рівняння в силу асоціативного закону маємо:



У правій частині буде



Зауваження. Оскільки множення матриць некомутативне АВВА, то в задачах такого типу потрібно уважно визначати, з якого боку слід множити, обидві частини рівняння на матрицю, обернену до однієї з даних.

1.72. Розв`язати систему рівнянь



представивши її у вигляді матричного рівняння.

Перепишемо систему у вигляді АХ=В, де

Розв`язок матричного рівняння має вигляд Х=А-1В. Знайдемо А-1. Маємо



Обчислимо алгебраїчне доповнення елементів цього визначника.







Згідно (1)



Отже,



, тобто х1=2, х2=-1, х3=1

§9. Модель багатогалузевої економіки

В макроекономіці виникає питання пов’язане з ефективністю ведення багатогалузевого господарства: яким повинен бути обсяг виробництва кожної із “n” галузей, щоб задовольнити всі потреби в продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник деякою продукції, з іншого – як споживач продукції і своєї, і виробленої іншими галузями.

Розглянемо процес виробництва за деякий період часу (наприклад, рік). Введемо такі позначення:

xi – загальний (валовий) обсяг продукції і-ої галузі (і=1, 2…n);

xij – обсяг продукції і-ої галузі, що споживається в j-ій галузі в процесі виробництва (i, j=1, 2…n);

yi – обсяг кінцевої продукції і-ої галузі для невиробничого споживання.

Оскільки валовий обсяг продукції будь-якої і-ої галузі дорівнює сумарному обсягу продукції, що споживається “n” галузями, і кінцевої продукції, то

(1)

Рівняння (1) називається співвідношенням балансу. Будемо розглядати вартісний міжгалузевий баланс, коли всі величини, які входять в (1), мають вартісне вираження.

Введемо коефіцієнти прямих затрат

(2)

які показують витрати продукції і-ої галузі на виробництво одиниці продукції j-ої галузі.

Можна вважати, що на деякому проміжку часу коефіцієнти будуть сталими і залежними від технології виробництва, що склалася. Отже це визначає лінійну залежність матеріальних витрат від валового випуску, тобто

(3)

внаслідок чого, побудована на цій основі модель міжгалузевого балансу одержала назву лінійної.

Позначимо



де ^ Х – вектор валового випуску, Y – вектор кінцевого продукту, А – матриця прямих затрат. Тоді систему можна записати в матричному вигляді:

X=AX+Y (5)

Основна задача міжгалузевого балансу полягає у відшуканні такого вектора валового випуску Х, який при відомій матриці прямих затрат А забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y.

Перепишемо рівняння (5) у вигляді:

(E-A)X=Y (6)

Якщо матриця (E-A) невироджена. Тобто , то

(7)

Матриця називається матрицею повних витрат, кожний елемент якої є величина валового випуску продукції і-ої галузі, необхідного для забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту j-ої галузі .

У відповідності з економічним змістом задачі, значення повинні бути невід’ємними при невід’ємних значеннях та , де .

Матриця називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора існує розв’язок рівняння (2). В цьому випадку і модель називають продуктивною.

Існує декілька критеріїв продуктивності матриці А. Один із них говорить про те, що матриця продуктивна, якщо для будь-яких , і максимум сум елементів її стовпців не перевищує одиниці



причому хоча б для одного із стовпців сума елементів строго менше одиниці



1.73. Методом Жордана-Гауса розв’язати, у випадку сумісності, систему лінійних рівнянь. Указати вільні змінні, базисні зміни та базисний розв’язок, який їм відповідає. Перевірити цей розв’язок підстановкою.



Розв’язок. Розв’яжемо систему методом Жордана-Гауса. Розрахунки за цим методом представимо у вигляді таблиці 1, в яку заносимо розширену матрицю системи.

Таблиця 1.

інтеграції

x1

x2

x3

x4

aik

0

1

1

-1

1

2




1

-2

1

-1

-3




2

1

0

2

5




5

-2

1

1

1

1

2

-1

0

0

-1




1

-2

1

-1

-3




2

1

0

2

5




4

0

0

2

4

2

4

0

0

2

4




5

0

1

3

7




2

1

0

2

5




4

0

0

2

4

3

2

0

0

1

2




-1

0

1

0

1




-2

1

0

0

1




0

0

0

0

0

3’

2

0

0

1

2




-1

0

1

0

1




-2

1

0

0

1

На кожній ітерації вибираються ведучий рядок та ведучий стовпчик, на перетині яких знаходиться ведучий елемент.

Для спрощення обчислень зручно за ведучий елемент вибирати елемент, який дорівнює 1, та за ведучий стовпчик вибирати стовпчик, який містить якомога більше нулів.

1 ітерація. Вибираємо третій ведучий стовпчик і другий ведучий рядок. На їх перетині стоїть ведучий елемент а23, який ми виділимо рамкою. Тут і надалі через aqp ми позначимо елемент, який стоїть на перетині рядка з номером q і стовпчика з номером р.

Далі перераховуємо елементи ведучого рядка за формулою:

(1)

де k=0,1,2,...; q - номер ведучого рядка, р - номер ведучого стовпчика, а’qk елементи нової матриці, яка відповідає першій ітерації.

Оскільки для даного прикладу аqp=a23=1, то, згідно з формулою (1), всі елементи ведучого рядка необхідно поділити на 1, а отже, переписати без зміни.

Елементи інших рядків обчислюються за формулою



або за формулою

aik=aik-aqk aip (2)

де i=1,2,...; k=0,1,2,...; q - номер ведучого рядка (q=2); p - номер ведучого стовпчика (p=3).

Оскільки а33=0, то третій рядок, згідно з формулою (2), перепишеться без зміни. Для елементів першого рядка маємо:

а'11=a11-a'21a13=1-1(-1)=2;

а'12=a12-a'22a13=1-(-2)(-1)=-1;

а'13=a13-a'23a13=0

а'14=a14-a'24a13=1-(-1)(-1)=0;

а'10=a10-a'20a13=2-(-3)(-1)=-1;

Елементи четвертого рядка обчислюються аналогічно: а'41=4, a'42=0, a'43=0, a'44=2, a'40=4

Після цих обчислень ведучий стовпчик має перетворитись в одиничний.

Зауважимо, що на наступних ітераціях ні другий рядок, ні третій стовпчик вже не можуть бути вибраними за ведучі.

2 ітерація. За ведучий вибираємо елемент а32=1 (ведучий рядок - третій, ведучий стовпчик - другий) Проводимо обчислення, аналогічні першій ітерації.

3 ітерація. а’’14=2 - ведучий елемент

На третій ітерації з’явився нульовий рядок, який можна відкинути (крок 3’).

В останній таблиці жоден рядок не може бути вибраний за ведучий, отже, розрахунки закінчені.

Так як ми отримали - три лінійно незалежних одиничних стовпчика при чотирьох змінних, то дана система рівнянь невизначена. Змінні, які відповідають лінійно незалежним одиничним стовпчикам, можуть бути вибрані за базисні. Для даного прикладу х2, х3, х4 - базисні змінні. Усі інші (тобто х1) - вільні.

Оскільки остання таблиця відповідає системі



то загальний розв’язок вихідної системи має вигляд (базисні змінні виражаються через вільні):



Прирівнявши всі вільні змінні до нуля (тобто х1=0), знайдемо базисний розв’язок:

х1=0, х2=1, х3=1, х4=2.

Перевiримо цей розв’язок підстановкою у вихідну систему:



Отже, це дійсно є розв’язок.

1.74. Для виробництва продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані:

  • коефіцієнти прямих витрат аik, тобто кількість одиниць продукції i-ї фірми, яка використовується як проміжний продукт для випуску одиниці продукції k-ї фірми;

  • кількість одиниць yi продукції i-ї фірми, розрахованих на реалізацію (кінцевий продукт).

Визначити:

а) коефіцієнт повних витрат;

б) валовий випуск (план) для кожної фірми;

в) коефіцієнти непрямих витрат.

Таблиця 2.

Фірми

Прямі витрати аik

Кінцевий продукт

І

ІІ

ІІІ

yi

І

0.1

0.2

0

10

ІІ

0.1

0

0.2

30

ІІІ

0

0.2

0

20

Розв’язок. Нехай Х= - виробнича програма фірм, де хі - валовий випуск продукції і

фірми (і=1,2,3).

Позначимо через Y= - план випуску товарної продукції (розрахованої на реалізацію). Матрицю коефіцієнтів прямих витрат позначимо через Вектор ^ Y та матриця А задано в таблиці.

Згідно з умовою задачі і-а фірма віддає рівно аі1х1+аі2х2+аі3х3 одиниць продукції на внутрішні потреби фірм. Тоді виробничі зв’язки фірм можуть бути представлені за допомогою системи трьох рівнянь хі=yi+ai1x1+ai2x2+ai3x3, i=1,2,3.

Іншими словами, валовий випуск продукції хі складається з випуску товарної продукції yi та випуску продукції для внутрішніх потреб.

В матричній формі цю рівність можна переписати:

Y+AX=X або X-AX=Y.

Якщо Е - одинична матриця третього порядку, то останнє рівняння перепишеться у вигляді (E-A)X=Y.

Його розв’язок у матричній формі має вигляд

X=(E-A)-1Y (3)

де (E-A)-1 - обернена матриця.

а) Елементи матриці (E-A)-1 є не що інше, як шукані коефіцієнти повних витрат. Позначимо ^ S=E-A, тобто,



Знайдемо матрицю S-1 методом Жордана-Гауса.

Розрахунки представимо у вигляді таблиці 3, в лівій частині якої записуємо вихідну матрицю S, праворуч - матрицю E.

Відповідні перетворення рядків таблиці проводимо так само, як і при розв’язку системи рівнянь (див. табл.1), намагаючись отримати одиничні стовпчики (ітерації 1-3). Якщо вихідна матриця невироджена, то після проведення n ітерацій (n-порядок системи) отримаємо n одиничних стовпчиків. Якщо вихідна матриця вироджена, то після деякої ітерації в лівій частині таблиці з’явиться нульовий рядок. Це буде свідчити про те, що оберненої матриці не існує.

Для нашого прикладу ми отримали 3 одиничних стовпчика. На останньому кроці (3’) шляхом перестановки рядків утворюємо в лівій частині таблиці одиничну матрицю. Тоді в правій частині таблиці буде записана обернена матриця.

Таблиця 3

ітерації

матриця S

матриця E

0

0.9

-0.2

0

1

0

0




-0.1

1

-0.2

0

1

0




0

-0.2

1

0

0

1

1

0.9

-0.2

0

1

0

0




-0.1

0.96

0

0

1

0.2




0

-0.2

1

0

0

1

2

0

8.44

0

1

9

1.8




1

-9.6

0

0

-10

-2




0

-0.2

1

0

0

1

3

0

1

0

0.12

1.07

0.21




1

0

0

1.15

0.27

0.02




0

0

1

0.02

0.21

1.04

3’

1

0

0

1.15

0.27

0.02




0

1

0

0.12

1.07

0.21




0

0

1

0.02

0.21

1.04

Отже, матриця коефіцієнтів повних витрат має такий вигляд:



Таким чином, наприклад, для випуску одиниці продукції І, ІІ та ІІІ фірмами необхідно витратити, відповідно, 1.15; 0.27 та 0.02 одиниць продукції І фірми.

б) Для визначення валового випуску продукції використовуємо рівність (3):



Отже, х1=20, х2=37.5, х3=27.3.

в) Коефіцієнти непрямих витрат знайдемо як різницю між повними витратами S-1 та прямими витратами А, або, в матричній формі.







Схожі:

§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь iconПрограма з курсу "Вища, математика" Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені
Розв'язок системи "n" рівнянь з "n" невідомими, правило Крамера. Розв'язок І дослідження систем рівнянь першої степені методом повного...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь icon1. Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного виключення. Обернена матриця. Розвязок матричних рівнянь
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь iconТематичнийпла н по видах занять з курсу “Загальна математика” спеціальність “Менеджмент організацій”
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь iconТематичнийпла н по видах занять з курсу “Загальна математика” спеціальність “Фінанси”, “Маркетинг”
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь icon§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь
...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь icon1. Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першого ступеня: правило Крамера. Метод повного виключення. Обернена матриця. Розвязання матричних рівнянь
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першого ступеня: правило Крамера. Метод повного...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь icon§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Встановивши основні властивості І способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі розв'язку...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь icon§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Встановивши основні властивості І способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі розв'язку...
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь iconНавчально – тематичний план з курсу “Вища математика”
Матриці та основні операції з матрицями. Визначе­ння матриць. Системи рівнянь першої степені: пра­вило Крамера, метод повного виключення....
§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь iconНавчально – тематичний план з курсу “Вища математика”
Матриці та основні операції з матрицями. Визначе­ння матриць. Системи рівнянь першої степені: пра­вило Крамера, метод повного виключення....
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи