§6 Скалярний добуток векторів icon

§6 Скалярний добуток векторів

Реклама:



Скачати 95.57 Kb.
Назва§6 Скалярний добуток векторів
Дата07.09.2012
Розмір95.57 Kb.
ТипДокументи
джерело

22114

§6 Скалярний добуток векторів


У фізичних, технічних економічних застосуваннях математики велике значення має розв‘язок задачі про визначення роботи, яку виконує задана стала сила при переміщенні матеріальної точки. Якщо точка переміщується прямолінійно, то, як відомо, робота дорівнює добутку величини сили на величину переміщення і на косинус кута між напрямком сили і напрямком переміщення. Позначимо силу , а переміщення , отримаємо для обчислення роботи вираз:



Оскільки подібна операція з двома векторами зустрічається досить часто, то для неї введена спеціальна назва, спеціальне позначення і вивчені всі нові властивості.

Визначення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток двох векторів і позначимо символом . У відповідності з визначенням

(1)

Безпосередньо із визначення випливає, що скалярний добуток двох векторів є скаляр.

Кут між двома векторами не залежить від того, який вектор вибирається першим і який другим, тому

(2),

тобто скалярний добуток має комутативну властивість.

Оскільки є проекція вектора на вісь, направлену так, як і вектор , є проекція вектора на вісь, направлену по вектору , то

(3)

Тепер легко показати, що скалярний добуток векторів має розподільчу властивість, тобто

(4)

Дійсно



Але .

Отже

.

Неважко перевірити, що скалярний добуток має асоціативну властивість по відношенню до скалярного множника.

(5)

Із визначення скалярного добутку векторів випливає, що



Отже, скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату довжини вектора. Зокрема

(6)

Якщо два вектори взаємно перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. Навпаки, якщо скалярний добуток дорівнює нулю, але ні один із векторів не є нуль, то в нуль повинен обертатися косинус кута між векторами, а тому вектори повинні бути перпендикулярні.

^ Отже, для того щоб два вектори були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

Оскільки напрямок нульового вектора вважається довільним, то можна вважати нульовий вектор перпендикулярним будь-якому вектору. Тому в наведеній умові перпендикулярності двох векторів немає необхідності особливо вказувати, що ні один із векторів не повинен бути нульовим.

Із умови перпендикулярності отримаємо, зокрема, що

(7)

Якщо вектори задані своїми координатами в ортонормованому базисі , то, використовуючи розподільчу і сполучну по відношенню до скалярного множника властивості скалярного добутку, одержимо:

(8)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків одноіменних координат цих векторів.

Із визначення скалярного добутку двох векторів безпосередньо знаходиться формула для обчислення косинуса кута між двома векторами

(9)
^

§7 Векторний добуток векторів


Визначення. Векторним добутком двох векторів називається третій вектор, який має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, що побудований на заданих векторах, перпендикулярний площині цих векторів і утворює з впорядкованою парою заданих векторів праву трійку.

Позначається векторний добуток заданих векторів і символом (іноді позначають .

Оскільки площа паралелограма, побудованого на векторах і , дорівнює добутку довжини цих векторів і синуса кута між ними, то

(1)

Вкажемо на основні властивості векторного добутку векторів. Відмітимо передусім, що

(2)

Дійсно, нехай



Оскільки

і

Вектори і перпендикулярні одній і тій же площині (площина, визначена векторами і ). Вектори , , утворюють праву трійку. Праву ж трійку утворюють і вектори , , `, тому вектори і мають однакові довжини, перпендикулярні одній і тій же площині і направлені в протилежні сторони. Це означає, що . Отже, при перестановці векторів, що перемножуються, напрямок векторного добутку змінюється на протилежний, а довжина не змінюється.

Можна довести, що векторний добуток двох векторів має сполучну властивість по відношенню до третього – скалярного – співмножника.

(3)

і має розподільчу властивість:

(4)

Із визначення векторного добутку векторів випливає, що векторний добуток колінеарних векторів є завжди нульовий вектор. Зокрема, завжди

.

Оскільки вектори , , взаємно перпендикулярні, мають одиничні довжини і утворюють праву трійку, то

(5)

Використовуючи розподільчу і сполучну по відношенню до скалярного множника властивості векторного добутку, можна отримати формули для обчислення векторного добутку векторів, заданих шляхом розкладу по ортонормованому базису:

(6)

Важливою геометричною задачею, яка розв’язується з допомогою введеної операції, є обчислення площини трикутника по координатах його вершин.

Нехай задані координати вершин трикутника А, В, С. Знаючи їх, знаходимо і . Площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Отже,

(7)

Приклад. А(1, -2,0); В(2, 1, -1); С(0, 3, 1). Знайти .

Розв’язок



Нарешті, формулу для обчислення векторного добутку векторів (6) зручніше записувати через визначник

(8),

розкладаючи який по елементах першого рядка, отримаємо формулу (6).
^

§8 Мішаний добуток векторів


Оскільки векторний добуток векторів і є вектор, то можливо розглядати і скалярний добуток вектора на і векторний добуток на . В нашому курсі ми розглянемо тільки перший із цих добутків.

Визначення. Скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і називається мішаним добутком векторів , , .

Отже, мішаним добутком векторів , і є вираз і представляє собою, очевидно, скаляр.

З‘ясуємо геометричний зміст введеного поняття. Нехай точка О є загальний початок трьох некомпланарних векторів , , .



Побудуємо на заданих векторах паралелепіпед (рис.13) і знайдемо вектор . Із визначення скалярного добутку векторів, отримаємо



Але оскільки вектор перпендикулярний площині векторів і , то проекція вектора на вісь, направлену по вектору , або дорівнює висоті паралелепіпеда, якщо ця проекція додатна (тобто, якщо вектори , , утворюють праву трійку), або дорівнює висоті, взятій зі знаком мінус, якщо ця проекція від‘ємна (тобто, якщо три заданих вектора утворюють ліву трійку).

Отже, мішаний добуток трьох векторів дорівнює об‘єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, якщо вони утворюють праву трійку, і дорівнює об‘єму паралелепіпеда, взятому зі знаком мінус, якщо вектори утворюють ліву трійку.

Якщо у вибраній трійці їх переставити, то паралелепіпед, побудований на цих векторах, очевидно, не зміниться. Зокрема, не зміниться і абсолютна величина мішаного добутку. Легко відмітити, що при круговій перестановці векторів права трійка векторів залишається правою, а ліва лівою. Тому при круговій перестановці векторів мішаний добуток векторів не змінюється.

Отже,

(1)

Якщо вектори задані своїми координатами в ортонормованому базисі , , :

,





Якщо задані три вектора компланарні, то їх мішаний добуток, очевидно, дорівнює нулю. Навпаки, якщо мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, то ці вектори обов’язково компланарні. Дійсно, якщо скалярний добуток векторів і дорівнює нулю, то вектор перпендикулярний вектору ; але перпендикулярний також площині векторів і . Таким чином вектор лежить в площині векторів і . Звідси, вектори , , компланарні.

Отже, рівність нулю мішаного добутку трьох векторів є необхідна і достатня умова їх компланарності.

Формулу (2) можна записати, використовуючи визначник третього порядку

(3),

розкладаючи який по елементах 1-го рядка, отримаємо формулу (2).

ІІ. ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧ

1.102. В трикутнику АВС сторона АВ точками М і N розділена на три рівні частини: . Знайти вектор , якщо .

 Маємо . Звідси,

Отже , тоді . ▲

1.103. В трикутнику АВС пряма АМ є бісектрисою кута ВАС, причому точка М лежить на стороні ВС. Знайти , якщо .

 Маємо . Із властивості бісектриси внутрішнього кута трикутника випливає, що , тобто .

Звідси одержуємо .

Оскільки , тоді . ▲

1.104. Задані точки А(1, 2, 3) і В(3, -4, 6). Знайти довжину, напрямок і норму вектора .

 Проекціями вектора на осі координат є різниця відповідних координат точок В і А: ах=3-1=2, ау=-4-2=-6, az=6-3=3. Звідси . Знайдемо довжину вектора



Шуканий одиничний вектор має вигляд . ▲

1.105. Заданий трикутник: А(1, 1, 1), В(5, 1,-2), С(7, 9, 1). Знайти координати точки D перетину бісектриси кута А зі стороною СВ.

 Знайдемо довжини сторін трикутника, що утворюють кут А:





Звідси , оскільки бісектриса ділить сторону СВ на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Таким чином,

шукана точка D(17/3, 11/3, -7). ▲

1.106. На осі Ох знайти точку, рівновіддалену від точок А(2; -4; 5) і В(-3; 2; 7).

 Нехай М – шукана точка. Тоді . Оскільки точка М лежить на осі х, то її координати (х, 0, 0).

Отже (x-2)2+41=(x+3)2+53; або 10х=-17, тобто х=-1,7.

Звідси М(-1,7; 0; 0). ▲

1.107. Задані вектори .

Обчислити скалярні добутки:



 Знаходимо:











1.108. Обчислити, при якому значенні вектори взаємно перпендикулярні.

 Знаходимо скалярний добуток цих векторів: ; Оскільки , тоді .

Звідси . ▲

1.109. Обчислити кут між векторами .

 Оскільки , тоді

Маємо

. Отже , і . ▲

1.110. Знайти вектор , який перпендикулярний до векторів та відповідає умові .

 Оскільки , тоді . Шуканий вектор має координати .

Отже



Розв’язуючи одержану систему, маємо

тобто . ▲

1.111. Задані вектори . Знайти координати векторних добутків:



 Знаходимо:







1.112. Задані вершини трикутника А(1; 2; 0), В(3; 0; -3) і С(5; 2; 6).

Обчислити його площу.

 Знаходимо вектори і .



Площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і , а тому знаходимо векторний добуток цих векторів



Звідси



1.113. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо .

 Маємо



(оскільки )

Звідси

1.114. Знайти мішаний добуток векторів

.



1.115. Знайти об’єм трикутної піраміди з вершинами А(-1; 0; 2), В(2; 1; 1), С(3; 0; -1), D(3; 2; 2).

 Знайдемо вектори , які співпадають з ребрами піраміди і сходяться у вершині А: . Знаходимо мішаний добуток цих векторів:



Оскільки об’єм піраміди дорівнює паралелепіпеда (рис.14), побудованого на векторах , тоді





Рис.14


1.116. Показати, що вектори компланарні.

 Знаходимо мішаний добуток векторів



Оскільки , тоді задані вектори компланарні. ▲




Додати документ в свій блог або на сайт
Реклама:

Схожі:

§6 Скалярний добуток векторів iconПрограма фахового вступного іспиту з математики для вступників за окр «спеціаліст», «магістр» до ону імені І.І. Мечникова у 2012 р
Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів у просторі. Їх геометричні та алгебраїчні властивості, вираз у координатах

§6 Скалярний добуток векторів iconНазва модуля: Вища математика Ч. 1 Код модуля
Матриці. Визначники. Системи лінійних алгебричних рівнянь. Векторна алгебра: дії над векторами, скалярний, векторний та мішаний добуток...

§6 Скалярний добуток векторів icon§6 Скалярний добуток векторів
Якщо точка переміщується прямолінійно, то, як відомо, робота дорівнює добутку величини сили на величину переміщення І на косинус...

§6 Скалярний добуток векторів iconПрограма предмет Загальна фізика (механіка, молекулярна фізика)
Фізика як наука. Предмет фізики та її зв’язок фізики з іншими природни­чими науками, технікою. Методи фізичних досліджень. Вимірювання...

§6 Скалярний добуток векторів icon26. Модуль (довжина) векторного добутку дорівнює
Для якої пари векторів площа паралелограма, побудованого на них, як на сторонах, дорівнює кв од.?

§6 Скалярний добуток векторів iconЛабораторна робота №2 Тема: «Формування бінарної навчальної матриці та бінарних еталонних векторів»
Оволодіння студентом сучасною методологією розпізнавання інформаційного забезпечення системи, що навчається

§6 Скалярний добуток векторів iconПерелік питань з курсу „Лінійна алгебра”
Теорема про доповнення лінійно незалежної підсистеми системи векторів до базису цієї системи

§6 Скалярний добуток векторів iconПри послідовному з’єднанні ланок сак
Сак w(p) у загальному вигляді визначають як добуток передаточних функцій ланок Wi (p), (рис. 11)

§6 Скалярний добуток векторів iconПри послідовному з’єднанні ланок сак
Сак w(p) у загальному вигляді визначають як добуток передаточних функцій ланок Wi (p), (рис. 11)

§6 Скалярний добуток векторів iconДії над векторами в координатній формі
Означення вектора. Довжина вектора. Додавання І віднімання векторів. Множення вектора на число

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи