§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку icon

§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку




Скачати 122.16 Kb.
Назва§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку
Дата07.09.2012
Розмір122.16 Kb.
ТипДокументи

22118

§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку


Перш ніж почати вивчення просторових геометричних образів, відповідних рівнянням 2-го степеню, розглянемо один спеціальний клас поверхонь, які називаються циліндричними поверхнями.

Визначення. Циліндричною поверхнею називається поверхня, утворена рухом прямої, що перетинає задану лінію і паралельну заданому напрямку.

Задана лінія, через точки якої проходить пряма, яка переміщується, називається направляючою, а кожне положення такої прямої називається твірною розглядуваної циліндричної поверхні.

Виберемо координатну систему так, щоб одна із осей, наприклад z, була паралельною заданому напрямку і будемо розглядати той, хоча і частинний, але дуже важливий випадок, коли направляюча лінія лежить в площині, перпендикулярній заданому напрямку. Тоді без всякого обмеження загальності дослідження можливо вважати, що направляюча лежить в площині ху.

Нехай в площині z=0 рівняння направляючої має вигляд F(х,у)=0 , і , таким чином, така лінія задана двома рівняннями

Z=0, F(x;y)=0 (1)

Доведемо, що циліндричній поверхні, що розглядається, відповідає рівняння

F(x;y)=0 (2)

тобто, що координати будь-якої точки поверхні відповідають рівнянню (2), а координати будь-якої точки, що не лежить на цій поверхні, йому не відповідають.

Нехай М000;0) - будь-яка точка направляючої (рис. 26).



Проведемо через М0 пряму L, паралельну осі z, і виберемо на ній довільну точку М1. Координати цієї точки (х00;z1). Згідно припущенню координати точки М0 відповідають системі Z=0, F(x;y)=0. Отже, F(x0;y0)=0 і координати точки М1 (при будь-якому z1) відповідають рівнянню F(x;y)=0. Таким чином, координати будь-якої точки М1 прямої L відповідають рівнянню F(x;y)=0. Але М0 - довільна точка направляючої. Отже, координати будь-якої точки будь-якої твірної; тобто координати будь-якої точки циліндричної поверхні, що розглядається, відповідають рівнянню F(x;y)=0.

Нехай тепер вибрана будь-яка точка М111;z1), що не лежить на циліндричній поверхні, що розглядається. Розглянемо точку М011;0), що є проекцією точки М1 на площину ху. Точка М0 не лежить на заданій направляючій лінії (інакше кажучи, точка М1 лежала б на заданій поверхні). А тому координати точки М0 не можуть задовольняти системі рівнянь Z=0, F(x;y)=0. Але перше рівняння напевно виконано. Отже . Але це означає, що координати точки М111;z1) не можуть задовольняти рівнянню F(x;y)=0; тим самим наше твердження доведено.

Очевидно, що якщо твірні циліндричної поверхні паралельні осі у, а рівняння направляючої має вигляд

у=0, F(x;z)=0,

то рівняння циліндричної поверхні F(x; z)=0.

Аналогічно для циліндричної поверхні, твірні якої паралельні осі х, маємо рівняння F(y; z)=0

Якщо направляюча є коло, яке лежить в площині ху, з центром в точці (a;b;0) і радіусом R, а твірні паралельні осі z, тоді рівняння циліндричної поверхні має вигляд:

(x-a)2+(y-b)2=R2 (3)

Називається така поверхня круговим циліндром.

Поверхня


(4)

є циліндрична поверхня, твірні якої паралельні осі z, а направляючими є еліпс з напівосями a і b, з центром на початку координат, розташований в площині ху. Поверхня така називається еліптичним циліндром.

Круговий циліндр можна, звичайно, розглядати як частинний випадок еліптичного циліндра.

Поверхня, визначена рівнянням

y2=2px (5),

називається параболічним циліндром (рис.27).


^

Поверхня, визначена рівнянням


(6),

називається гіперболічним циліндром (рис.28)




Крім вже приведених існують ще 6 типів поверхонь 2-го порядку. Їх найпростіші, або, як прийнято говорити, канонічні рівняння, одержані при найбільш зручному для вивчення поверхонь розташуванні осей координат, мають вигляд:

- еліпсоїд

- однопорожнинний гіперболоїд

- двопорожнинний гіперболоїд

- еліптичний параболоїд

- гіперболічний параболоїд

- конус 2-го порядку

Проведемо дослідження форми цих поверхонь, використовуючи метод, який називають методом паралельних перерізів.

5.1. Дослідження форми еліпсоїда

Знайдемо, насамперед, переріз еліпсоїда площиною х=0.



В перерізі (рис.29) одержимо лінію, визначену системою:

х=0,

Таким чином, в площині yz маємо еліпс з напівосями b і с. Розглянемо тепер переріз поверхні площинами, паралельними площині ху, тобто площинами z=h. В перерізі одержимо лінії, визначені системою

z=h,

Очевидно, якщо |h|c, тоді в перерізі одержимо уявне місце точок, при |h|=c одержимо точки (0;0;с), якщо h0 і (0;0;-с), якщо h0. Якщо ж с, в площині z=h одержимо еліпс

z=h, ,

тобто еліпс з напівосями

і

При h=0 напівосі еліпса дорівнюють а і b, зі збільшенням h напівосі зменшуються до нуля (при h=с). Вигляд поверхні показаний на рис. 29.

Очевидно, що поверхня, яка розглядається, симетрична відносно координатних площин, осей і початку координат. Вся поверхня не виходить із прямокутного паралелепіпеда зі сторонами 2а, 2b, 2с, симетричного відносно координатних площин.

Якщо дві осі еліпсоїда рівні між собою, тоді еліпсоїд можна одержати обертанням еліпса навколо одної із осей, і сама поверхня називається тоді еліпсоїдом обертання.

Наприклад, якщо b=c, тоді поверхня має рівняння



і може бути одержана обертанням еліпса

z=0,

навколо осі х.

Якщо а=b=с, тоді рівняння еліпсоїда набуває вигляду

x2+y2+z2=a2 ,

і поверхня представляє собою сферу з центром на початку координат і радіусом а.

Таким чином, сфера є частинний випадок еліпсоїда, коли всі його напівосі дорівнюють між собою.

^ 5.2. Дослідження форми однопорожнинного гіперболоїда

Знайдемо переріз однопорожнинного гіперболоїда



площиною рисунка, тобто площиною х=0 (рис.30).



Лінія перетину визначається системою рівнянь

х=0,

В перерізі маємо гіперболу з напівосями b і с, причому дійсна вісь гіперболи співпадає з віссю у.

Розглянемо переріз поверхні площиною z=h, паралельній площині ху. В перерізі одержуємо лінію, визначену системою рівнянь

z=h,

або системою

z=h,

Таким чином, у вибраних паралельних перерізах маємо еліпси, напівосі яких зростають зі збільшенням |h|. Найменший еліпс (він називається горловим еліпсом) одержуємо при h=0. Очевидно, однопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно координатних площин, осей і початку координат.

Якщо a=b, тоді поверхня може бути утворена обертанням гіперболи

х=0,

навколо осі z.

^ 5.3. Дослідження формули двопорожнинного гіперболоїда

В перетині двопорожнинного гіперболоїда



площиною рисунка (тобто площиною х=0) одержуємо гіперболу (рис. 31).



х=0,

Перетинаючи поверхню площинами z=h, одержимо при |h|c уявне місце точок, при h=с точки (0;0;с) і (0;0;-с), при |h|с еліпси

z=h,

Поверхня, очевидно, симетрична відносно площин, осей і початку координат.

^ 5.4. Дослідження формули еліптичного параболоїда

В перерізі еліптичного параболоїда



площиною рисунка (тобто площиною х=0) одержуємо параболу x=0, y2=2b2z (рис. 32)



Перетинаючи поверхню площинами z=h (h0), одержуємо еліпси

z=h,

Вся поверхня лежить «над» площиною ху, симетрична відносно площин хz і yz і відносно осі z.

Якщо a=b , маємо параболоїд обертання

x2+y2=2a2z ,

який можливо одержати обертанням параболи

x=0, y2=2а2z

навколо осі z.

Відмітимо, що всі параболи, що одержуються в перерізі параболоїда обертання площинами, які проходять через вісь z, мають загальний фокус.

^ 5.5. Дослідження форми гіперболічного параболоїда

Для більшої ясності рисунка змінимо розташування осей. Виберемо за площину рисунка площину у=0 (рис.33).



В перерізі гіперболічного параболоїда



площиною рисунка маємо параболу

у=0, х2=2а2z

В перерізі площинами x=d одержуємо параболи

x=d,

В перерізі площинами z=-|h| маємо гіперболи

z=-h,

Вся поверхня має «сідловидну» форму.

^ 6. Дослідження форми конуса 2-го порядку

В перерізі конуса 2-го порядку



площиною х=0 одержуємо дві прямі, що перетинаються на початку координат (рис.34).



х=0,

Перетинаючи поверхню площинами z=h, одержуємо еліпси

z=h,

Перетинаючи поверхню площинами, які проходять через вісь z, тобто площинами y=kx, одержуємо дві прямі, що перетинаються.

y=kx,

або

y=kx,

Використовуючи вже вказаний при вивчені кривих 2-го порядку метод перетворення координат, можна довести, що будь-яка поверхня 2-го порядку представляє собою або один із 9-ти розглянутих типів поверхонь, або випадок їх виродження (дві площини, що перетинаються або паралельні, одна площина, одна пряма, одна точка, пуста множина точок).

^ ПРИКЛАДИ РОЗВ`ЯЗКУ ЗАДАЧ

1.202 Яку поверхню визначає в просторі рівняння:

1) х2=4у; 2) z2=xz?

Δ 1) Рівняння х2=4у визначає параболічний циліндр з твірними паралельними осі Oz.

Направляючою циліндричної поверхні є парабола x2=4y, z=0.

2) Рівняння z2=xz може бути представлено у вигляді z(z-x)=0 і розпадеться на два рівняння: z=0 і z=х, тобто воно визначає дві площини - площину хоу і бісектральну площину z=x, яка проходить через вісь оу. ▲

1.203 Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка М(0;0;1), а направляючою - еліпс , z=3.

Δ Запишемо рівняння твірної АМ, де A(x0;y0;z0) - точка, яка лежить на еліпсі:

.

Оскільки точка А лежить на еліпсі, тоді її координати задовольняють рівнянню еліпса, тобто , z0=3. Виключивши тепер x0, y0 і z0 із системи

; ; ; z0=3,

одержимо рівняння конуса:

1.204 Привести до канонічного вигляду рівняння 4x2+9y2+36z2-8x-18y-72z+13=0.
^

Згрупуємо члени з однаковими координатами


4(x2-2х)+9(y2-2у)+36(z2-2z)=-13.

Доповнимо до повних квадратів вирази в дужках, одержимо

4(x2-2х+1)+9(y2-+1)+36(z2-2z+1)=-13+4+9+36

або

4(x-1)2+9(y-1)2+36(z-1)2=36

Зробимо паралельний перенос осей координат, де за новий початок координат виберемо точку О΄ (1;1;1), формули перетворення координат мають вигляд х=х΄+1; у=у΄+1; z=z΄+1. Тоді рівняння поверхні запишеться так:



Це рівняння визначає еліпсоїд; його центр знаходиться в новому початку координат, а напівосі відповідно дорівнюють 3; 2 і 1. ▲
^

§6 Полярна система координат на площині. Циліндрична і сферична системи координат в просторі


Ми розглядали дотепер тільки прямокутні декартові системи координат. Поряд з ними використовуються іноді і інші координатні системи. В задачах на площині це найчастіше полярна система координат. В просторових задачах - циліндрична і сферична координатні системи.

^ 6.1. Полярна система координат на площині

Виберемо на площині деяку фіксовану точку О - початок координатної системи або полюс. Фіксований промінь (напівпряма) з вибраним на ньому одиничним вектором із початком в полюсі назвемо полярною віссю.

Положення будь-якої точки М на площині будемо визначати впорядкованою парою чисел: довжиною  радіуса - вектора (рис. 35)



та вираженим в радіанах кутом  між полярною віссю і вектором . Оскільки така система координат розглядається тільки на площині, тоді можна враховувати і напрямок відліку кута; кут вважається додатнім, якщо напрям обертанням від полярної осі до радіус - вектора береться проти часової стрілки.

Запис М0(0;0) показує, що в деякій фіксованій полярній системі координат довжина радіус - вектора 0 дорівнює 0, а кут між полярною віссю і 0 (полярний кут) дорівнює 0. Число 0 і 0 називаються полярними координатами точки М0. Координати 0 і 0 повністю визначають положення точки М0. Завдання точки М0 однозначно визначає лише число 0 - довжину радіуса-вектора. Полярний кут визначається тільки з точністю до доданка, кратного 2. Для полюса полярний кут взагалі не визначений. Довжина радіус-вектора  для різних точок площини може змінюватися від 0 до +, полярний кут  від - до +.

Неважко встановити правила переходу від полярної системи координат до декартової і навпаки.

Помістимо початок декартової системи координат в полюсі полярної системи і направимо ось абсцис вздовж полярної вісі. Тоді



Із формул (1) знаходимо:

(2)

Полярний кут визначається двома формулами. Виберемо одну з них, одержимо два значення , які лежать між 0 і 2. Щоб вибрати єдине (з точністю до доданку кратного 2) необхідне значення, враховують знак 2-ої тригонометричної функції кута .

Як і в декартовій системі координат, кожній лінії на площині відповідає рівняння, яке зв`язує  і , і, навпаки, кожному рівнянню, яке зв`язує  і , відповідає, як правило, деяка лінія на площині із заданою полярною системою координат.

Для побудови лінії, заданої рівнянням в полярній системі координат, частіше використовують метод побудови «по точках» - обчислюють координати ряду точок лінії і сполучають ці точки плавною кривою.

Приклад 1.211. Побудувати лінію =2(1+cos).

Розв`язок. Складаємо таблицю





Оскільки сos =cos(2-), тоді обчислення значення  при  не потрібно. Крива повинна бути симетричною відносно полярної осі. Наносячи відповідні точки на рисунок і сполучаючи їх плавною лінією, одержимо вигляд лінії, що розглядається (рис.36).



Ця лінія називається кардіоїдою.

Приклад 2. Побудувати лінію

Розв`язок. Складаємо таблицю, починаючи з =0 (при 0 одержимо 0, що неможливо).





Одержана лінія називається спіраллю Архімеда (рис.37).



^ 6.2. Циліндрична система координат

Зафіксуємо в просторі яку-небудь точку О (початок координат), проведемо через неї деяку пряму L1 і на ній виберемо одиничний вектор (орт). Проведемо через О площину Q, перпендикулярну до вже вибраної осі, і в цій площині виберемо промінь L2, що виходить із О та орт на цьому промені (рис.38).



Нехай М - довільна точка простору, а N - її проекція на площину Q. Положення точки М в просторі будемо тепер описувати трьома числами:

  1. довжиною відрізка ON;

  2. кутом  між променем L2 і вектором (кут відраховується від променя L2 і вважається додатнім, якщо, дивлячись від додатного напрямку осі L1 , поворот від L2 до відбувається проти часової стрілки);

  3. проекцією z радіус - вектора на вісь L1.

Таким чином, положення точки М в просторі визначається полярними координатами її проекції на площину Q та аплікатою самої точки М.

Координатними поверхнями, тобто поверхнями, на яких одна із координат зберігає стале значення, в даній системі є:

1) =const - кругові циліндричні поверхні з твірними, паралельними вісями L1 (вісь z);

2) =const - напівплощини, краєм яких є вісь z;

3) z=const - площини, перпендикулярній до осі z.

Виберемо прямокутну декартову систему координат так, щоб її початок був у точці О, ось абсцис була направлена по осі L2 (полярній осі), а вісь z - по осі L1. Тоді одержимо такі формули, які зв`язують декартові і циліндричні координати точки М:



^ 6.3. Сферична система координат

Зафіксуємо в просторі будь-яку точку О (початок координат), проведемо через неї деяку вісь L (полярну вісь) і площину Q, перпендикулярну до осі L (екваторіальна площина). Проведемо, крім того, напівплощину Р, краєм якої є полярна вісь L (напівплощина головного меридіана). Виберемо також в просторі одиницю довжини.



Положення довільної точки М в просторі будемо визначати тепер наступною впорядкованою трійкою чисел:

  1. довжиною r радіус - вектора точки М;

  2. кутом  між полярною віссю L і радіусом - вектором (напрям відліку не фіксуємо; кут  може змінюватися від 0 до );

  3. двогранним кутом  між напівплощиною головного меридіана і напівплощиною Рм, що проходить через точку М і має своїм краєм вісь L (кут вимірюється лінійним кутом між напівпрямими перетину напівплощин Р і Рм з площиною Q; відлік ведеться від лінії перетину Р і Q, напрям відліку як і в циліндричній системі координат).

Координатними поверхнями є:

  1. r=const - сфери радіуса r з центром в О;

  2. =const - напівконічні поверхні з вершиною в точці О, віссю L в ролі осі симетрії і кутом при вершині 2;

  3. =const - напівплощина, краєм якої є вісь L (рис.39).

Виберемо декартову систему координат з початком в точці О, віссю х, направленій по прямій перетину площин Р і Q, і віссю z, направленій по полярній осі. Формули, які зв`язують декартові координати точки М з її сферичними координатами, набудуть такого вигляду:








Схожі:

§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку icon§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку
Перш ніж почати вивчення просторових геометричних образів, відповідних рівнянням 2-го степеню, розглянемо один спеціальний клас поверхонь,...
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconТема Вид роботи
Конічні та циліндричні поверхні, елементи загальної теорії поверхонь другого порядку
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconПрограма предмет "Фізика поверхневих явищ"
Чистота реальної поверхні. Фізичні і хімічні неоднорідності. Методи перевірки чистоти поверхні. Методи отримання атомарно однорідних...
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconПаспорт спеціальності 01. 04. 18 фізика І хімія поверхні
Фізика І хімія поверхні” область науки, що вивчає поверхневі явища на границі розділу фаз, принаймні одна з яких є твердою
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconЧернівецький національний університет, кафедра кореляційної оптики портативний інтерференційний прилад для вимірювання шорсткості поверхні
Вимірювання шорсткості поверхні довільної фоми з радіусом кривизни більше ніж 2 м
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconТема Якість поверхонь деталей машин
Якість обробленої поверхні деталей машин характеризується шорсткістю та хвилястістю поверхні, а також фізико-механічними властивостями...
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconТема Якість поверхонь деталей машин
Якість обробленої поверхні деталей машин характеризується шорсткістю та хвилястістю поверхні, а також фізико-механічними властивостями...
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconЗатверджую Ректор С. В. Мельничук
Землі. Елементи вимірів на земній поверхні. Зображення поверхні Землі на площині. Масштаби топографічних карт і планів. Рельєф місцевості....
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconЕкзаменаційні питання з дисципліни «Математична обробка геодезичних вимірів»
Як визначається ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат?
§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку iconВища математика
Лінії другого порядку на площині. Рівняння (2), яке приведено спочатку розділу 2, описує (в залежності від коефіцієнтів) відомі криві...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи