Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу icon

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу




Скачати 84.33 Kb.
НазваРозділ ІІ. Вступ до математичного аналізу
Дата07.09.2012
Розмір84.33 Kb.
ТипДокументи

22119

РОЗДІЛ ІІ. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

ГЛАВА IV: Функції

§1 Поняття множини


Основним первинним поняттям математики, її фундаментом є поняття множини. Слова сукупність, клас, система, набір та інші дуже часто є синонімами слова множина. Проте навіть у цій загальній ситуації ми б хотіли підкреслити, що множина – деякі об‘єкти (елементи множини), які виділені за певною ознакою або ознаками з інших об‘єктів і розглядаються як єдине ціле.

Прикладами множини є множина учнів в класі, сімейство зірок Великої Ведмедиці, множина сторінок даної книги, множина всіх раціональних чисел і т.д.

Належність елемента а множині А позначається (а належить до множини А). Якщо а не є елементом множини А, це позначається (а не належить А).

Якщо вдається перерахувати всі елементи множини А, це позначається як , де у фігурних дужках вказують всі елементи А.

Навіть якщо множина має безліч елементів, інколи так можна зробити. Наприклад:

- множина всіх натуральних чисел;

- множина всіх цілих чисел.

Загальне правило полягає в тому, щоб, виписавши досить багато елементів множини, зробити очевидним правило їх подальшого виписування.

Найчастіше множина задається виразом . Такий запис означає, що ^ А – множина всіх елементів певної множини, які задовольняють умову Р. Якщо умова Р не виконується для жодного елемента множини, тобто вказана множина А не має жодного елемента, вона називається порожньою і позначається Ø.

Приклад 1. Множина є сукупністю коренів рівняння х2-3х+2=0, тобто ця множина складається із двох елементів: 1 і 2.

Множина є сукупність всіх чисел, які задовольняють нерівності 3

Множина Ø, тобто це порожня множина.

Якщо кожен елемент множини А є також елементом множини В, то А – підмножина множини В. Це будемо позначати або, що те саме, . Якщо і , тобто множини А і В мають одні й ті ж елементи, тоді А=В. Вважають, що порожня множина є підмножиною будь-якої іншої.

Нехай А – множина, тоді через будемо позначати множину всіх елементів множини, які не належать ^ А. Ця множина називається доповненням А.

Нехай А, В – множини. Перерізом (перетином) А і В називається множина всіх елементів, які належать як множині А, так і множині В:



Об’єднанням А і В називається множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин:

.

Різницею. А і В називається множина всіх елементів, які належать множині А і не належать множині В:



Легко зрозуміти, що останнє означення рівносильне тому, що

.

Приклад 2. Нехай . Знайти переріз, об‘єднання і різницю множин А і В.

∆ Очевидно, що переріз двох даних множин - ; їх об‘єднання - , а різниця . ▲

Множини, елементами яких є дійсні числа, називаються числовими. Із шкільного курсу алгебри відомі множини: R – дійсні числа, Q – раціональні, I – ірраціональні, Z – цілі, N – натуральні числа. Очевидно, що , і .

Геометрично множина дійсних чисел ^ R зображується точками числової прямої (або числової осі), тобто пряма, на якій вибраний початок відліку, додатній напрямок і одиниця масштабу.

Між множиною дійсних чисел і точками числової прямої існує взаємно однозначна відповідність, тобто кожному дійсному числу відповідає певна точка числової прямої і навпаки. Тому часто замість “число х” говорять “точка х”.

Множину ^ Х , елементи якої задовольняють нерівності , називають відрізком (або сегментом) ; нерівності - інтервалом (а b); нерівності або називаються напівінтервалами відповідно . Поряд з цим розглядаються нескінченні інтервали і напівінтервали

.

Інтервал (а; b) відрізняється від відрізка лише тим, що йому не належать кінці a і b.

Така відмінність відіграє суттєву роль в багатьох питаннях математичного аналізу. Крім того, інтервал (a; b) не містить ні найбільшого, ні найменшого числа, в той же час як у відрізку такими числами є відповідно b і a. В подальшому всі вказані множини об’єднаємо терміном проміжок Х.
^

§2. Абсолютна величина дійсного числа


Поняття абсолютної величини числа і нерівності, пов’язані з абсолютними величинами, широко використовуються в математиці.

Визначення. Абсолютною величиною (або модулем) числа х називається саме число х, якщо , або число –х, якщо х<0.

Абсолютна величина х позначається символом . Таким чином



Очевидно, згідно визначення, що . Наприклад, |+5|=5; |-5|=-(-5)=5; |0|=0.

Приклад 3. Знайти .

∆ Якщо , то і .

Якщо , то і . ▲

^

Укажемо на важливі властивості абсолютних величин:




Абсолютна величина різниці двох чисел означає відстань між точками х і а числової прямої, як для випадку x, так і x>a (рис. ).

А тому, наприклад, розв’язком нерівності , (де ) будуть точки х інтервалу (рис. ), які задовольняють нерівності . Будь-який інтервал, який містить точку а, називається околом точки а.

Інтервал , тобто множина точок х таких, що (де ), називається - околом точки а.
^

§3. Поняття функції


Поняття функції є основним не тільки в математичному аналізі, де вона вивчається спеціально, але і у всій математиці в цілому.

Визначення. Якщо кожному елементу х множини Х () по деякому закону ставиться у відповідність певний елемент у множини Y () тоді говорять, що на множині Х задана функція .

Змінну величину х називають незалежною змінною або аргументом, у – залежною змінною, а буква позначає закон відповідності.

Множина ^ Х називається областю визначення функції, а множина Y – областю значень функції.

Якщо множина Х спеціально не вказана, то під областю визначення функції будемо вважати множину таких значень х, при яких функція взагалі має зміст.

Наприклад, областю визначення функції є напівінтервал , оскільки .

Існує декілька способів задання функції. Найбільш поширені серед них:

  1. Аналітичний спосіб, якщо функція задана формулою виду . Так функція задана аналітично.

Не слід змішувати функцію з її аналітичним виразом. Так, наприклад, одна функція:



має два аналітичних вирази: х3 (при ) і х+5 (при ).

  1. Табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, яка містить значення аргументу х і відповідні значення функції , наприклад, таблиця синусів або косинусів.

  2. ^ Графічний спосіб полягає в зображенні графіка функції – множини точок (х, у) площини, абсциси яких є значення аргументу х, а ординати – відповідні їм значення функції . При цьому способі функціональна залежність зображується лінією, яку називають графіком функції.

Якщо рівняння, що зв’язує аргумент х з функцією у не розв’язане відносно у, а задане у виді , тоді змінну у називають неявною функцією х. (наприклад: 3х-7у=6)

Розглянемо основні властивості функцій.

  1. Парність і непарність. Функція називається парною, якщо для будь-яких значень х із області визначення , і непарною, якщо . В іншому випадку функція називається функцією загального виду.

Наприклад, функція є парною, оскільки і , а функція - непарною, оскільки і .

Крім того, наприклад, функція є функцією загального виду, оскільки і , і .

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

  1. Монотонність. Функція називається зростаючою (спадною) на проміжку х, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

Нехай і . Тоді функція зростає на проміжку х, якщо , і спадає, якщо .

Зростаючі і спадні функції називають монотонними. Так, наприклад, функція при спадає і при зростає.

  1. Обмеженість. Функція називається обмеженою на проміжку Х, якщо існує таке додатне число М>0, що для будь-якого . Наприклад, функція обмежена на всій числовій осі, оскільки для будь-якого .

  2. Періодичність. Функція називається періодичною з періодом , якщо для будь-яких х із області визначення функції .

Наприклад, функція має період , оскільки для будь-яких х . Найменше додатне число Т, що задовольняє цю рівність, називається періодом функції.

Класифікація функцій. Елементарні функції.

Функція у аргументу х називається неявною, якщо вона задана рівнянням , не вираженим відносно залежної змінної. Наприклад, функція , задана рівнянням . (Зауважимо, що таке рівняння задає дві функції , якщо , і , якщо ).

Нехай є функція від незалежної змінної х, визначеної на проміжку Х з областю значень Y. Поставимо у відповідність кожному єдине значення , при якому . Тоді функція , визначена на проміжку з областю значень Х, називається оберненою.

Оскільки традиційно незалежну змінну позначають через х, а функцію через у, то функція, обернена до функції , приймає вигляд . Наприклад, для функції оберненою буде функція , або (в звичайних позначеннях залежної і незалежної змінної) .

Можна довести, що для будь-якої суворо монотонної функції існує обернена. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів.

Основні елементарні функції.

  1. Ступенева функція виду де n – дійсне число;

  2. Показникова функція виду , де , ;

  3. Логарифмічна функція , де , ;

  4. Тригонометричні функції:

  5. Обернені тригонометричні функції:

Зауваження: Автор навмисне випускає із розгляду ці функції, оскільки основні елементарні функції та їх графіки детально вивчають у середній школі. Вони відіграють важливу роль в математичному аналізі, тому ці функції, їх області визначення та графіки треба добре знати.

^ Якщо змінна у залежить від другої змінної величини U, яка в свою чергу є функцією х, то у називають функцією від функції або складною функцією. Математично це можна записати так:

якщо , то .

Кажуть: у – складна функція x, U – проміжний аргумент; х – аргумент (незалежна змінна).

Наприклад , або , де .

Функції, побудовані із основних елементарних функцій з допомогою скінченного числа алгебраїчних дій і скінченного числа операцій утворення складної функції, називаються елементарними.
^

Наприклад, функція




є елементарною, оскільки тут число операцій додавання, віднімання, множення, ділення і утворення складної функції () скінченне.

Елементарні функції поділяються на алгебраїчні і неалгебраїчні (трансцендентні).

Алгебраїчною називається функція, в якій над аргументом проводиться скінченне число алгебраїчних дій. До яких належать:

ціла раціональна функція (многочлен або поліном)



дробово-раціональна функція - відношення двох многочленів;

ірраціональна функція – (якщо в складі операцій над аргументом є здобуття кореня).

Будь-яка неалгебраїчна функція називається трансцендентною. До них належать: показникова, логарифмічна, тригонометрична, обернені тригонометричні.




Схожі:

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconРозділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції
Слова сукупність, клас, система, набір та інші дуже часто є синонімами слова множина. Проте навіть у цій загальній ситуації ми б...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconБібліотека нові надходження
Текст] : навч посібн. Кн. 1 : Лінійна й векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconТематика випускних робіт освітньо-кваліфікаційного рівня (спеціаліст) по кафедрі алгебри, геометрії та математичного аналізу
Творчі завдання при навчанні алгебри І початків аналізу у старших класах середньої школи
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconРеферат з математичного аналізу

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconУдк 681 07 застосування парето-оптимальності α-рівня для розв‘язування задач енергетики з нечіткими параметрами
Вступ. Система, яка містить ряд станцій І розгалужену електричну мережу, потребує для аналізу складного математичного апарату. Цей...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconКафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconКолесник Тамара Всеволодівна
Професор кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconКондакова Світлана Віталіївна
Доцента кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconТематика випускних робіт освітньо-кваліфікаційного рівня (магістр) по кафедрі алгебри, геометрії та математичного аналізу

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу iconПідченко Юрій Петрович
Професор кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи