V: Границя І неперервність icon

V: Границя І неперервність




Скачати 57.85 Kb.
НазваV: Границя І неперервність
Дата07.09.2012
Розмір57.85 Kb.
ТипДокументи

22121

ГЛАВА V: Границя і неперервність

§1 Поняття границі послідовності


1.1 Збіжні послідовності

Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці. Викладення теорії границь почнемо з розгляду границі функції натурального аргументу – послідовності.

Визначення 1. Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність деяке дійсне число . Тоді кажуть, що задана послідовність чисел або, коротко, послідовність .

Отже; послідовністю називається функція , визначена на множині натуральних чисел. Числа є членами (елементами) послідовності, – загальним її членом (елементом), а – номером члена.

Визначення 2. Послідовність називається збіжною, якщо для будь-якого числа можна знайти такий номер, що при всіх виконується нерівність

(1)

Число а при цьому називається границею послідовності. Для позначення збіжності послідовності до числа вживається запис:

або

Довільний інтервал виду , де , називається - околом точки . Якщо число – границя послідовності , то для будь-якого можна знайти такий номер , що при усі члени послідовності потрапляють в –окіл точки, адже при вказаних згідно з (1) виконуються нерівності



Якщо послідовність не збігається, то кажуть, що вона розбігається.

Теорема 1. Збіжна послідовність має тільки одну границю.

Доведення. Припустимо супротивне: нехай збіжна послідовність має, принаймні, дві різні границі і . Тоді для будь-якого можна знайти такі номери і , що, по-перше, при всіх і, по-друге, при всіх .

Припустимо, , тоді при всіх одночасно виконуються нерівності

звідки випливає, що



тобто

Одержана суперечність доводить теорему.

^ 1.2 Нескінченно малі і нескінченно великі.

Серед збіжних послідовностей виділимо один важливий клас.

Визначення 3. Збіжна до нуля послідовність називається нескінченно малою.

Роль, яку відіграють нескінченно малі в теорії границь, з’ясовує наступна теорема.

Теорема 2. Для того щоб послідовність збігалася до числа , необхідно й достатньо, щоб послідовність була нескінченною малою.

Доведення. Необхідність. Нехай . Тоді згідно з означенням 2 для будь-якого знайдеться такий номер , що при всіх виконується нерівність



А це й доводить, що – нескінченно мала.

Достатність. Нехай – нескінченно мала. Згідно з означенням 3 для будь-якого знайдеться такий номер , що при всіх виконується нерівність , або .

Отже, за означенням 2 маємо .

Докладно вивчимо властивості нескінченно малих.

Лема 1. Алгебраїчна сума двох нескінченно малих є нескінченною малою.

Доведення. Нехай і –нескінченно малі. Доведемо, що послідовність -нескінченно мала. Задамо будь-яке число. Оскільки і - нескінченно малі, то знайдуться такі номери і , що, по-перше, при всіх і, по-друге, при всіх .

Припустимо, . Тоді при всіх вказані вище нерівності виконуються одночасно, а тому

Це й означає, що - нескінченно мала.

Наслідок. Алгебраїчна сума будь-якого скінченого числа нескінченно малих є нескінченно малою.

Лема 2. Добуток двох (або будь-якого скінченого числа) нескінченно малих є нескінченно малою.

Міркуючи аналогічно до попереднього, пропонуємо читачеві довести цю лему самостійно.

Визначення 4. Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що при всіх виконується нерівність

У противному разі послідовність називається необмеженою.

Лема 3. Добуток нескінченно малої на обмежену - нескінченно мала.

Доведення. Нехай - нескінченно мала, а – обмежена послідовність. Доведемо, що послідовність - нескінченно мала. Оскільки – обмежена, то існує таке число , що при всіх виконується нерівність . Оскільки - нескінченно мала, то для будь-якого знайдеться номер , що при всіх . Але тоді при таких



Це й означає , що - нескінченно мала.

Наслідок. Добуток нескінченно малої не стале число - нескінченно мала.

Іноді зручно використовувати поняття нескінченно великої послідовності.

Визначення 5. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа можна знайти такий номер , що при всіх виконується нерівність

Позначення: або .

Якщо ж, починаючи з деякого номера, члени послідовності набувають тільки додатних (від’ємних) значень, то писатимемо

або

Встановимо зв’язок між нескінченно малими й нескінченно великими.

Теорема 3. Для того щоб була нескінченно малою, необхідно й достатньо, щоб була нескінченно великою.

Доведення. Необхідність. Нехай - нескінченно мала. Візьмемо будь-яке і знайдемо такий номер , щоб при всіх виконувалася нерівність.

Припустимо, , тоді при вказаних вище виконується нерівність



звідки й випливає, що - нескінченно велика.

Достатність. Нехай - нескінченно велика. Для будь-якого існує такий номер , що при всіх виконується нерівність .

Тоді для послідовності при вказаних вище маємо , тобто і - нескінченно мала.

Приклад 1. Використовуючи визначення границі, довести що



Δ Виберемо будь-яке число . Оскільки , то для знаходження значень , які задовольняють нерівності , достатньо розв’язати нерівність , звідки отримаємо . Отже, за можливо взяти цілу частину числа , тобто . Тоді нерівність буде виконуватися для всіх . Оскільки - будь-яке , то доведено, що . Згідно визначення, “а” в даному прикладі дорівнює 1.

Якщо, наприклад, , тоді і при маємо . Зауважимо, що, наприклад, при нерівність не виконується. Дійсно, нехай

Тоді

А якщо взяти, наприклад, , тобто , то



Таким чином, нерівність виконується лише для номерів , більших ніж 99.

Якщо, наприклад, , тоді значення номера збільшиться. Дійсно і при одержимо

Приклад 2. Використовуючи визначення, довести, що послідовність є нескінченно малою.

Δ Візьмемо будь-яке число. Із нерівності одержимо . Якщо взяти , то для всіх буде виконуватися . (Якщо одержимо при маємо і т.д.). Таким чином, згідно ознаки послідовність нескінченно мала. ▲




Схожі:

V: Границя І неперервність iconV: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності
Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці. Викладення теорії границь почнемо з розгляду границі функції натурального...
V: Границя І неперервність iconНазва модуля: Вища математика Ч. 2 Код модуля
Невизначений та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу до задач геометрії та фізики. Границя, неперервність та диференційованість...
V: Границя І неперервність iconНазва модуля: Математичний аналіз, ч. 1
Границя функції в точці. Важливі границі. Неперервність функції в точці. Точки розриву І їх класифікація. Диференціальне числення...
V: Границя І неперервність iconПротокол №5 від «19»
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
V: Границя І неперервність iconПротокол №5 від «19»
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
V: Границя І неперервність iconЛьвівський національний університет імені Івана Франка Кафедра теорії та історії культури
...
V: Границя І неперервність iconЗаняття 27. Легені. Бронхіальне та альвеолярне дерево
На якому рiвнi знаходиться нижня границя правої легенi по середньоключичнiй лiнiї?
V: Границя І неперервність iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
V: Границя І неперервність iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
V: Границя І неперервність iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи