§2 Основні властивості збіжних послідовностей icon

§2 Основні властивості збіжних послідовностей




Скачати 41.87 Kb.
Назва§2 Основні властивості збіжних послідовностей
Дата07.09.2012
Розмір41.87 Kb.
ТипДокументи

22122

§2 Основні властивості збіжних послідовностей


Теорема 1. Збіжна послідовність обмежена.

Доведення. Нехай . Припускаючи в означенні 2 (§1) , знайдемо такий номер , що при всіх виконується нерівність . Звідки при вказаних .



Припустимо . Тоді, очевидно, що при всіх , тобто збіжна послідовність дійсно обмежена.

На практиці при знаходженні границь числових послідовностей часто використовується наступна теорема про арифметичні дії над границями.

Теорема 2. Нехай послідовності і – збіжні, при цьому . Тоді збіжні й послідовні

( - стала), (остання при ), причому:

1)

2)

3)

4)

Доведення. 1) Оскільки і – границі послідовностейі, то за теоремою 2 (§1) маємо



де і - нескінченно малі.

Додаючи ці рівності, отримаємо.



За лемою 1(§1) –нескінченно мала, а тому за теоремою 2(§1) послідовність збігається до , так що існує

2) Як і в попередньому пункті, . Далі маємо



За лемами 1-3 (§1) і наслідками до них - нескінченно мала, а тому за теоремою 2 (§1) послідовність збігається до , так що існує



3) Наслідок. Якщо послідовність – збіжна, причому і – стала, то збіжна й послідовність, причому тобто сталий множник можна виносити за знак границі.

Властивість (4) рекомендуємо довести самостійно.

Теорема 3. (про три послідовності). Нехай задані послідовності , при цьому для всіх виконуються нерівності

Тоді, якщо послідовності і збіжні до однієї і тієї ж границі, то і послідовність також збіжна, причому



Доведення. Нехай . Тоді для довільного можна знайти такі номери і , що при всіх при всіх..

Нехай . Тоді при виконані одночасно обидві нерівності і, зокрема, при вказаних .



Але тоді з умов теореми виконуються нерівності



при всіх , тобто



при всіх , а, отже,

,

що й потрібно довести.

Теорема 4. (про перехід до границі у нерівностях).

Нехай задані збіжні послідовності , при цьому для всіх виконуються нерівності . Тоді і



Доведення. Нехай . Припустимо супротивне: . Припустимо, , тоді можна знайти такі номери і , що при всіх при всіх .

Нехай . Тоді при виконані обидві нерівності і, зокрема, при вказаних



,

отже, при маємо , тобто . Одержана суперечність доводить теорему.

Зауважимо, що у випадку виконання для членів збіжних послідовностей при всіх строгої нерівності , після переходу до границі строга нерівність, взагалі кажучи, не зберігається.

Так само, як вище, лише



Наприклад, . При всіх , очевидно, , але



Змінна , чи послідовність називається зростаючою, якщо



Якщо ж



називається неспадною. Змінна , чи послідовність називається спадною, якщо



коли ж

,

то змінна називається незростаючою.

Всі ці чотири типи змінних, для яких характерним є змінювання в одному напрямку при зростанні , називають монотонними.

Теорема 5. Будь-яка монотонна обмежена змінна має границю.

Дамо геометричне пояснення цієї теореми, строге доведення виходить за межі цієї книги.

Нехай маємо, наприклад, неспадну обмежену послідовність

,

причому для всіх . Візьмемо числову ось і нанесемо на неї члени даної послідовності та число ^ М. Зі збільшенням номера n точка, що зображує відповідний член послідовності xn, буде пересуватися тільки вправо, але вона не може опинитися правіше точки М, бо послідовність обмежена. Ознака й твердить, що послідовність має границю (яка не перевищує М). Подібним чином можна пояснити й інші випадки монотонних змінних (спадної, незростаючої).

Приклад 3. Послідовність x1 =0,7, x2 =0,77, x3 =0,777, . . . , xn =0,77… (n раз) …7 є монотонно зростаючою, бо . Крім того, очевидно, що вона обмежена, тому що кожний її член більший за нуль, але менший за 7/9.

,

яке б не було. Отже, послідовність має границю: її легко знайти




Приклад4. Послідовність x1 =2, x2 =3/2, x3 =4/3, . . . , xn =, … монотонно спадна, бо , і обмежена ( для будь-якого n). Отже, вона має границю. Просте обчислення дає







Схожі:

§2 Основні властивості збіжних послідовностей icon§2 Основні властивості збіжних послідовностей
Доведення. Нехай. Припускаючи в означенні 2 (§1), знайдемо такий номер, що при всіх виконується нерівність. Звідки при вказаних
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема...
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема...
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема...
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема...
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconПрограма фахового іспиту для вступників на освітньо-кваліфікаційний рівень " Магістр" (повна форма навчання) напрям підготовки 040201 Математика спеціальність 04020102 «Актуарна та фінансова математика»
Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про збіжність монотонної послідовності та принцип вкладених...
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Прикладна математика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Соціальна інформатика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconПрограма фахового іспиту
Збіжні послідовності та їх властивості. Критерій збіжності. Збіжність монотонних послідовностей
§2 Основні властивості збіжних послідовностей iconАналіз якості генерування випадкових послідовностей в пакеті rgui
Пакет rgui містить стандартні функції для генерування псевдовипадкових послідовностей, що підпорядковуються багатьом законам розподілу....
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи