§3 Поняття границі функції icon

§3 Поняття границі функції




Назва§3 Поняття границі функції
Дата07.09.2012
Розмір93.4 Kb.
ТипДокументи

22123

§3 Поняття границі функції


3.1 Визначення границі функції

Нехай функція визначена на деякій підмножині множини дійсних чисел , і – гранична точка множини . Нагадаємо, що у будь-якому –околі граничної точки міститься нескінченне число точок множини , проте сама точка може й не належати .

Визначення 1. (Гейне). Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для довільної послідовності , збіжної до , відповідна послідовність значень функції збіжна до .

Якщо число– границя функції в точці , то пишуть або при .

Нехай функція має границю , тоді вона, очевидно, єдина. Це випливає з того, що збіжна послідовність може мати лише одну границю (див. гл.5, §1).

Визначення 2. (Коші). Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для будь-якого можна знайти таке число , що при всіх , які задовольняють нерівність



виконується нерівність



Визначення границі функції в точці за Гейне і за Коші еквівалентні.

Відзначимо геометричний зміст визначення 2, скориставшись графіком функції (рис.40 ). Який би малий –окіл точки А не взяти, повинен існувати такий –окіл точки , що коли змінюється між і , графік функції знаходиться у смузі шириною між прямими . Підкреслимо, що в точці функція може набувати значення, яке не дорівнює А, або навіть бути невизначеною. Тому в визначенні 2 йдеться саме про нерівність



Рис.43

^ 3.2 Односторонні границі

При дослідженні функції корисні поняття односторонніх границь.

Визначення 3 (Гейне). Число А називається правою (лівою) границею функції f(x) в точці х0, якщо для довільної послідовності {xn}X, xn  x0 (xn  x0) (nN), збіжної до х0 , відповідна послідовність значень функції {f(xn)} збіжна до А. При цьому вживають відповідно позначення

f(xn)=A f(xn)=A

або

f(x0+0)=А (f(x0-0)=А).

В окремому випадку, коли х0=0, пишуть f(xn)=A f(xn)=A.

Визначення 4 (Коші). Число називається правою (лівою) границею функції в точці х0 , якщо для будь-якого знайдеться таке число , що при всіх х, які задовольняють нерівностям

,

виконується нерівність



Визначення 3 і 4, звичайно ж, еквівалентні.

Зв’язок між односторонніми границями і границею функції встановлює теорема 3.

Теорема 3. Функція f(x) має границю в точці х0 тоді й тільки тоді, коли існують їх права і ліва границі в цій точці, які збігаються між собою, при цьому

.

^ 3.3 Границя функції на нескінченності і нескінченні границі

Нехай функція f(x) визначена при хх0 (хх0).

Визначення 5. Число А називається границею функції f(x) при х (х-), якщо для будь-якого можна знайти таке , що при всіх х, які задовольняють нерівності , виконують нерівність



При цьому вживають відповідні позначення

f(x)=A f(x)=A

або

f(x)A, х+ (f(x)A, х-).

В разі, якщо існують границі функції f(x) як при х+, так і при х-, причому f(x)=f(x)=A, то вживають позначення

f(x)=A або f(x)A, х

Вище малося на увазі, що А – певне число. Іноді зручно розглядати нескінченні границі функції.

Визначення 6. Кажуть, що функція f(x) має своєю границею + (-) при хх0 (або в точці х0), якщо для будь-якого Е>0 можна знайти таке число δ>0, що при всіх х, які задовольняють нерівність 0<|x-x0|<δ, виконується нерівність f(x)>E (f(x)<-E).

При цьому вживають відповідно позначення

f(x)=+ ( f(x)=-)

або

f(x)+ хх0 (f(x)--, х х0).

Аналогічно тому, як це зроблено в 3.2 цього параграфа, нескладно визначити також односторонні нескінченні границі

f(x)=±; f(x)=±.

Приклад 5. Використовуючи визначення, довести (3х-2)=1.

Δ Візьмемо будь-яке число ε>0. Задача полягає в тому, щоб по цьому ε знайти таке δ>0, при якому із нерівності |x-1|< δ випливала нерівність |f(x)-1|=|(3x-2)-1|< ε. Перетворюючи останню нерівність, отримаємо |(3x-1|< ε або |x-1|<.

Отже, якщо взяти δ, то для всіх х, які задовольняють нерівності |x-1|< δ, виконується нерівність |f(x)-1|< ε. Це і означає, що =(3х-2)=1.

Якщо, наприклад, ε=1, то δ≤, якщо ε=, то δ≤, якщо ε=0,01, то δ≤0,03 і т.д.; таким чином, δ залежить від ε. Тому в визначенні границі іноді пишуть δ= δ(ε).
^

§4 Властивості границь


Теорема. Нехай функції f(x) і g(x) мають границі в точці х0:

f(x)=А g(x)=B

Тоді функції f(x)g(x), f(x)·g(x), (при В0) також мають границі в точці x0, причому:

  1. [f(x)±g(x)]=А±B;

  2. [f(x)·g(x)]=А·B;

  3. .

Доведення. Нехай {xn}X, xn= x0 (xN) – довільна послідовність, збіжна до x0. За визначенням 1, збіжними є послідовності {f(xn)}, {g(xn)}, причому їхні границі – відповідно А і В. Але тоді за теоремою 2 (глава 5, §2) послідовності { f(x)±g(x)}, { f(x)·g(x)}, (при ^ В0) мають границі, що дорівнюють відповідно А±B, А·B, . Згідно з визначенням 1

[f(x)±g(x)]=А±B; [f(x)·g(x)]=А·B; .

Наслідок 1. Для довільного числа С

[С f(x)]=Cf(x).

Наслідок 1. Для довільного mN

[f(x)]m=[f(x)]m

Отже, якщо говорити про границю функції від довільної змінної, то, оскільки, для змінних залежних від номера (показника) п теореми доведені, вони вірні і для функції в загальному випадку. Зауважимо, що приведені властивості повністю зберігаються у випадку односторонніх границь і границь функції на нескінченності.
^

§5 Перша і друга важливі границі


5.1 Перша важлива границя

Доведемо, що .

Зазначимо спочатку, що функція визначена при всіх х0.

Припустимо, що х. Доведемо, що при таких х виконані нерівності sin xtg x.

Розглянемо коло одиничного радіуса з центром в точці 0 (рис.41) і побудуємо рівні кути АОВ і ВОС з радіанною мірою х. Нехай ЕА і ЕС – дотичні до цього кола. Очевидно, що хорда АС, яка стягує дугу кола АС, менша цієї дуги, котра в свою чергу менша довжини ламаної ЕА+ЕС. Але ж АС=2 sin x, ЕА+ЕС=2tg x, а довжина дуги AC=2x, тобто sin xtg x.

Беручи до уваги, що при х sin x>0 і tg x>0, маємо

1<<

або

cos x<

звідки

0<1--cos x



Оскільки 1-cos x=2sin2 (тут використано, що sin), то при х

0<1-<.

Зазначимо, що обидві частини цієї нерівності не змінюються, якщо замінити х на –х. Тому вона виконується не тільки при х, а і при х, тобто при всіх х, x0.

За наслідком 2 до теореми 1 і 2 (§2) можна зробити висновок, що =0, тобто .

^ 5.2 Друга важлива границя

У вищій математиці зустрічається введене ще в XVIIст. число, яке позначається буквою “е”. Число це можна визначити як границю функції f(x)= при прямуванні х до нуля:

е= (1)

Вважається, що , оскільки функція не визначена при цих аргументах, факт існування цієї границі приймемо без доведення.

Якщо в рівності припустити , а потім повернутися до попереднього позначення незалежної змінної, то одержимо

е= (2)

Якщо функція розглядається тільки на множині натуральних чисел, то із (2) випливає, що

е= (3)

Стале число “е” ірраціональне і приблизно дорівнює 2,71828…

Число “е”, прийняте за основу системи логарифмів, прийнято називати натуральними. Натуральний логарифм х позначається символом ln x. Встановимо зв’язок між натуральними і десятковими логарифмами. Для цього, логарифмуючи по основі “е” тотожність x=a, одержимо рівність ln x= ln а·loga x. При х=е, ця рівність дає

loga е=. (4)

При а=10 та ж рівність дає ln x= ln10·lg x і lg x=М ln x, де

М= (5)

Формула (5) зв’язує натуральні і десяткові логарифми і показує, що ці логарифми прямо пропорційні один одному. Число ^ М називається модулем переходу від натуральних логарифмів до десяткових.

М= lg е0,43429, .

Наприклад: ln2=lg2=2,30258·0,301030,69315.

До числа е приводять розв’язки багатьох прикладних задач. Приведемо одну із них, яка зустрічається в економіці.

^ Задача про неперервне нарахування процентів

На яку величину зросте капітал K0, через n років при р% річних, якщо нарахування процентів здійснюють декурсивним методом – процентний платіж нараховується і додається до капіталу в кінці кожного розрахункового періоду. Декурсивне нарахування проценту найбільш поширене в світовій практиці.

Очевидно, що при р% річних розмір вкладу щорічно буде збільшуватися в раз, тобто в кінці n-го року маємо



Отже, капітал K0 при річному нарахуванні складних процентів згідно ставки р% через n років зросте до величини Kn.

де:

- процентна ставка, виражена в десяткових дробах.

- складний декурсивний коефіцієнт.

Якщо нараховують проценти не один раз на рік, а m раз, при тому ж щорічному прирості р%, процент нарахування за частину року складе , а розмір вкладу за n років при mn нарахуваннях складе

(1)

Припустимо, що проценти нараховуються кожні півроку , кожний квартал , щомісячно , кожний день , кожний час і т.д. неперервно .

Якщо число розрахункових періодів прямує до нескінченності, то можна стверджувати, що період розрахунку прямує до нуля.

Знайдемо границю величини Кmn при (n – число років, m – число розрахункових періодів в році).

(2)

Отже, ми вивели формулу для кінцевої величини капіталу при неперервному нарахуванні складних процентів. Вона є неперервною функцією і дозволяє обчислити величину капіталу в будь-якій період часу.

Наведемо таблицю розмірів вкладів Кmn (якщо К0=1грошова одиниця, р=5%, n=20 років) згідно формули складних процентів (1) і формули неперервного нарахування процентів





формула складних процентів (1)

формула неперервного нарахування процентів (2)

m=1

m=2

m=4

m=12

m=365

розмір вкладу,

гр. од.


2,6335


2,6851


2,7015


2,7126


2,7181


2,7182

Різниця між щорічним нарахуванням (m=1) і неперервним нарахуванням формула (2) незначна (біля 2,5%).

Зауваження. В практичних фінансово-кредитних операціях неперервне перерахування процентів застосовується рідко. Воно є досить ефективним при аналізі складних фінансових проблем, наприклад, при обгрунтуванні і виборі інвестиційних рішень.




Схожі:

§3 Поняття границі функції iconV: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності
Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці. Викладення теорії границь почнемо з розгляду границі функції натурального...
§3 Поняття границі функції iconV: Границя І неперервність
Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці. Викладення теорії границь почнемо з розгляду границі функції натурального...
§3 Поняття границі функції iconНазва модуля: Математичний аналіз, ч. 1
Границя функції в точці. Важливі границі. Неперервність функції в точці. Точки розриву І їх класифікація. Диференціальне числення...
§3 Поняття границі функції icon4 Похідна від булевої функції
У класичній математиці для з'ясування характеру зміни функції використовують поняття похідної. У дискретній математиці, що оперує...
§3 Поняття границі функції icon§3 Поняття границі функції
Нехай функція визначена на деякій підмножині множини дійсних чисел, І – гранична точка множини. Нагадаємо, що у будь-якому –околі...
§3 Поняття границі функції iconТип модуля: обов'язковий Семестр: І, ІІ обсяг модуля
Сі; оператори, функції та директиви мови Сі. Принципи ооп; глобальні функції; перевантаження функції; об‘єкти та операції над ними;...
§3 Поняття границі функції iconТип модуля: обов'язковий Семестр: І, ІІ обсяг модуля
Сі; оператори, функції та директиви мови Сі. Принципи ооп; глобальні функції; перевантаження функції; об‘єкти та операції над ними;...
§3 Поняття границі функції iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Соціальна інформатика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
§3 Поняття границі функції iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Прикладна математика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
§3 Поняття границі функції iconПрограма з основ правознавства
Поняття й ознаки держави. Поняття функції держави. Внутрішні й зовнішні функції держави. Класифікація держав за їхньою формою (форми...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи