Розв’язки задач icon

Розв’язки задач




Скачати 43.33 Kb.
НазваРозв’язки задач
Дата07.09.2012
Розмір43.33 Kb.
ТипДокументи

22125

РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧ

Попередні вказівки. Для засвоєння поняття границі функції доцільно використати геометричну інтерпретацію: при цьому змінна зображається “рухомою” точкою на осі Ох, а відповідні значення функції f(х) наближаються і залишаються як завгодно близькими до точки А на осі Оу. Якщо мова йде про однобічні границі, то в такому випадку змінна х наближається до точки а по осі Ох зліва (, тобто , х < а ) або справа (, тобто , х > а ). Слід звернути увагу, що у визначенні границі функції не враховується значення функції в граничній точці, f(х) не залежить від величини f(х0), яка може й не існувати. Звідси випливає, що під знаком границі можна робити тотожні перетворення аналітичного виразу, незважаючи на поведінку функції в граничній точці (тобто, можна скорочувати дроби на множник, що перетворюється в нуль в граничній точці ).

Якщо , , то кажуть, що вираз при є невизначеність типу . У цьому випадку для знаходження застосовують спеціальні прийоми, а сам процес знаходження границі називають розкриттям невизначеності.

Зустрічаються невизначеності типу: , , , , , , .

При цьому невизначеності типу , , , , зводяться до невизначеності типу або .

Приклад.

Знайти:

а) б)

в) г)

д) е)

∆ а) Підстановка граничного значення аргументу х=-3 призводить до невизначеного виразу типу .

Для усунення цієї невизначеності розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники і скоротимо дріб на множник (х+3).Таке скорочення тут можливе, оскільки множник (х + 3) відмінний від нуля при :

====.

б) Якщо , вираз дає невизначеність типу . Для її усунення помножимо і розділимо цей вираз на (+ ) :

(-)==.

в) У цьому випадку ні чисельник, ні знаменник не мають границі, тому що обидва необмежено зростають.

Перетворимо попередньо вираз під знаком границі, поділивши чисельник та знаменник на . Тоді одержимо



Зауваження . Якщо нам треба знайти границю відношення двох многочленів при , то необхідно попередньо поділити чисельник та знаменник на максимальні ступені, що входять в них. Тоді

=

г) Позначимо 5 х = у. Тоді 5 х = і при . Застосовуючи властивості границь і формулу першої важливої границі

, маємо:



д) Перетворимо вираз



При такий вираз дає невизначеність типу

Для усунення її застосуємо формулу другої важливої границі .

Тоді маємо: ;

де , і при

Переходячи до змінної , одержимо:

.

е) =

При обчисленні границі ми скористалися теоремою про граничний перехід під знаком логарифма, оскільки для неперервної функції справедливо:
^

Приклад. Знайти:

а) ; б) ;


в) г)

Δ а) =0, оскільки добуток нескінченно малої величини х (при ) на обмежену функцію є величина нескінченно мала.

Відмітимо, що ця границя не може бути обчислена за допомогою теореми про границі добутку, оскільки не існує ( при аргумент косинуса змінюється неперервно вздовж числової осі до нескінченності, при цьому значення коливається від –1 до 1 і від 1 до-1, не прямуючи ні до якого числа (границі)).

б) (Тут виконана заміна при ).

в) розглянемо два випадки:



Оскільки

При маємо невизначеність , при цьому розділимо чисельник і знаменник на і використаємо теорему про границі, одержимо:



г)

Приклад . Довести неперервність функції в точці х=0 і встановити характер точки розриву функції в цій точці:

а) ; б) якщо ; в) ;

∆ а) При х=0 функція f(x) не визначена, отже, вона не неперервна в цій точці. Оскільки , і відповідно границі функції зліва і справа від точки х=0 скінченні і рівні, тобто , то х=0точка усунутого розриву першого роду.

б) В порівнянні з попереднім прикладом тут функція до визначена в точці х=0 так, що , отже, така функція неперервна в цій точці.

в) При х=0 функція f(х) не визначена. Оскільки границі функції зліва і справа від точки х=0 скінченні, тобто ; ; ( при ), то в точці х=0 функція f(x) має розрив першого роду.




Схожі:

Розв’язки задач iconПро властивості деяких задач евклідової комбінаторної оптимізації на переставленнях та методи їх розв’язування
Описано метод розв’язування лінійної умовної задачі оптимізації на переставленнях, у якому розв’язки одержують будь-яким переборним...
Розв’язки задач iconПлан проведення наукових семінарів на кафедрі вищої математики у 2013-2014 навчальному році
Точні розв’язки задач про концентрацію напружень біля вільного або закріпленого отвору в ортотропной пластині
Розв’язки задач iconПрограма співбесіди з математики
Розширюючись І зміцнюючи свої багатогранні зв’язки з практикою, математика допомагає людству відкривати І використовувати закони...
Розв’язки задач iconМетодичні рекомендації щодо розв`язання олімпіадних задач з програмування
Часто трапляється, що розв’язуючи задачу з програмування доводиться розглядати декілька випадків у залежності від вхідних даних,...
Розв’язки задач iconОписи модулів назва модуля
Внаслідок вивчення дисципліни студенти повинні знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
Розв’язки задач iconОсобливості проведення математичних боїв
Далі команди по черзі запрошують одна одну розповідати розв’язки конкретних задач – по одній за раз. Колектив, що виграв «конкурс...
Розв’язки задач iconОсобливості проведення математичних боїв
Далі команди по черзі запрошують одна одну розповідати розв’язки конкретних задач – по одній за раз. Колектив, що виграв «конкурс...
Розв’язки задач iconРозв`язок олімпіадних завдань ( типу „ситуаційні задачі”)
Вони сприяють правильній організації мислення, що прискорює розв`язок задач, на відміну від „стихійного” методу розв`язку
Розв’язки задач iconОпис модуля назва модуля
У результаті вивчення модуля студент повинен знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
Розв’язки задач icon§8 Розв'язки задач
При диференціюванні необхідно врахувати, що перший доданок представляє степеневу функцію, її аргумент логарифмічну функцію плюс сталу,...
Розв’язки задач icon§8 Розв'язки задач
При диференціюванні необхідно врахувати, що перший доданок представляє степеневу функцію, її аргумент логарифмічну функцію плюс сталу,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи