Розділ ІІІ. Диференціальне числення icon

Розділ ІІІ. Диференціальне числення




Скачати 76.56 Kb.
НазваРозділ ІІІ. Диференціальне числення
Дата07.09.2012
Розмір76.56 Kb.
ТипДокументи

22126

РОЗДІЛ ІІІ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ГЛАВАVI: Похідні та диференціали

§ 1 Поняття похідної


Нехай функція визначена на проміжку (можливо нескінченному). Візьмемо довільну точку і надамо їй довільного приросту такого, щоб . Функція дістане в точці відповідний приріст



Визначення1. Похідною функції у точці називається границя відношення приросту цієї функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна позначається одним із символів: . Надалі, як правило, надаватимемо перевагу першому символу, який ввів Лагранж.

Отож, за визначенням

(1)

Відношення

(2)

називається диференціальним відношенням.

У випадку, коли границя відношення (2) при не існує, вважатимемо, що функція в точці не має похідної.

Якщо функція має похідну в кожній точці , то позначимо цю похідну або .

Отже, якщо - фіксована точка проміжку Х, то похідна в разі її існування – деяке число. Якщо ж похідна існує в кожній точці , то вже функція від х.

Зауваження 1. Якщо проміжок Х – замкнений, наприклад, і , то у формулі (1) границя правостороння



Аналогічно, якщо , то



(границя лівостороння).

Зауваження 2. Зрозуміло, що границя (1) існує не для будь-якої функції і не всякої для точки . Наприклад, для функції в точці границя (1) не існує, оскільки диференціальне відношення (2)



Зауваження 3. Якщо існують границі

і ,

то їх називають відповідно лівою і правою похідною функції у точці і позначають і . Це так звані односторонні похідні. Наприклад, ці похідні в точці має функція , причому і .

Якщо існують ліва й права похідні і =, то, очевидно, існує похідна , причому ==. Оскільки для функції , то не існує.

Зауваження 4. Якщо для деякого значення х виконана одна з умов

або ,

то кажуть, що в точці функція має нескінченну похідну певного знака.

Аналогічно встановлюється поняття односторонніх нескінченних похідних. Наприклад, функція в точці має нескінченну похідну, що дорівнює . Дійсно,

.

У подальшому, якщо не обумовлюється окремо, під словами функція має похідну розумітимемо лише наявність скінченої похідної.

Визначення 2. Функція , яка має похідну в точці , називається диференційованою на проміжку Х.

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

Теорема (про зв’язок між поняттями диференційованості і неперервності). Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Оскільки функція диференційована в точці , то існує границя



Запишемо тотожність



і перейдемо в ній до границі, якщо . Отримаємо



А це й означає, що функція неперервна в точці .

Підкреслимо, що функція неперервна в точці , не обов’язково диференційована в цій точці. Так, наприклад, функція , про яку йшлося вище, очевидно, неперервна в точці , проте похідної в цій точці немає.

Відомі приклади функцій, які неперервні на всьому проміжку Х, проте в жодній точці не мають похідної.
^

§2 Зміст похідної


До поняття похідної приводять різноманітні задачі геометрії, механіки, хімії, економіки, біології та інших наук. Розглянемо деякі з них.

2.1. Задача про дотичну до кривої

Нехай функція диференційована в точці , тобто існує похідна . Рівняння січної , яка проходить через точки і графіка функції (рис. 45),




Рис. 45
^

має вигляд




де X і Y – змінні координати точки січної. Кутовий коефіцієнт січної при прямує до . А тому граничне положення січної визначається рівнянням

.

Пряма, яка задається цим рівнянням, називається дотичною до графіка функції у точці . Кутовий коефіцієнт дотичної .

Остання формула приводить до геометричного змісту похідної: похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції , проведеної в точці .

Геометричне тлумачення похідної як кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції поширюється і на випадок нескінченної похідної. У цьому разі дотична паралельна осі Оу.

^ 2.2. Задача про миттєву швидкість

Розглянемо нерівномірний прямолінійний рух тіла, що розпочинається в момент часу . Вважатимемо, що шлях, подоланий тілом за час , дорівнює . Функція називається законом руху тіла.

Шлях , який подолає тіло за відрізок часу , знаходиться як



Середньою швидкістю руху за проміжок часу називається відношення



в якому легко пізнати диференціальне відношення.

Миттєвою швидкістю руху в момент називається границя цього відношення, якщо , тобто

.

Отже, похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості прямолінійного руху тіла.

^ 2.3. Задачі про витрати виробництва та виручку

Нехай - витрати виробництва однорідної продукції – деяка функція кількості продукції х. Зазначимо, що кількості продукції відповідають витрати виробництва продукції . Отже, диференціальне відношення, що характеризує середній приріст витрат виробництва,



Воно відбиває приріст витрат виробництва на одиницю приросту кількості продукції.

Границя



називається граничними витратами виробництва.

Нехай - виручка від продажу х одиниць товару. Міркування, аналогічні до попередніх, приводять до границі



яку називають граничною виручкою.
^

§3. Правила диференціювання


3.1 Диференціювання суми, добутку й частки

Теорема 1. Якщо функції і диференційовані в точці х, то функції (в останньому випадку припускається, що ) також диференційовані в цій точці і мають місце формули:

а) ;

б) ;

в) .

Доведення. а) Надамо х деякого приросту . Тоді функції і матимуть прирости і , а функція - приріст . І, отже,



тобто функції дійсно диференційовані в точці х , і має місце формула а).

б) Надамо х деякого приросту . Тоді функції і матимуть прирости і , а функція - приріст



І, отже,



Зазначимо, що функція неперервна в точці х, оскільки вона диференційована в цій точці, а тому при . Переходячи до границі при в останній рівності, отримаємо , тобто функція дійсно диференційована в точці х і має місце формула б).

в) Надамо х деякого приросту , тоді функція і матимуть прирости і , а функція - приріст



Переходячи до границі при в останній рівності, отримаємо , тобто функція дійсно диференційована в точці х і має місце формула в).

Наслідок. Припустимо, у формулі б) , тоді і , тобто сталий співмножник можна виносити за знак похідної.

^ 3.2. Диференціювання складної функції

Теорема 2. Нехай - складна функція, де і - диференційовані функції своїх аргументів. Точніше, зовнішня функція в точці має похідну (по U) , а внутрішня функція у точці х має похідну (по х) . Тоді складна функція - диференційована в точці х, причому її похідна обчислюється за формулою



або коротко

чи

Доведення. Надамо х деякого приросту . Тоді функція дістане приріст , а функція - приріст .

За умови маємо



Переходячи в цій рівності до границі при , отримаємо



що й потрібно довести.

При доведенні враховано, що функція неперервна в точці х, оскільки вона диференційована в цій точці і, отже, при .

Зауваження. Припущення, що досить малому відповідає , звичайно ж, істотне. Проте, якщо трапиться, що (до речі, цей випадок зустрічається рідко), то формулу диференціювання складної функції неважко встановити трохи іншим шляхом.

Наслідок. (диференціювання оберненої функції). Нехай функція обернена по відношенню до функції , причому функції і мають похідні відповідно в точках х і . Встановимо зв’язок між похідними і .

Оскільки при всіх х, то за правилом диференціювання складної функції похідні від обох частин цієї рівності , звідки або коротко чи .

Останні формули мають простий геометричний зміст. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у точці , а кутовий коефіцієнт до графіка функції в точці (рис.2).



Очевидно, що , а тому або .




Схожі:

Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconХарактеристика навчальних дисциплін кафедри (складова Інформаційного пакету)
«Диференціальне числення функції однієї змінної», «Інтегральне числення функції однієї змінної», «Ряди», «Диференціальне числення...
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconРозділ ІІІ. Диференціальне числення главаvi: Похідні та диференціали
Нехай функція визначена на проміжку (можливо нескінченному). Візьмемо довільну точку І надамо їй довільного приросту такого, щоб....
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconНазва модуля: Математичний аналіз, ч. 1
Границя функції в точці. Важливі границі. Неперервність функції в точці. Точки розриву І їх класифікація. Диференціальне числення...
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconНазва модуля: Електротехніка та електромеханіка
Фізика (Електромагнетизм.); Вища математика (Диференціальне та інтегральне числення, Ряди Фур'є., Основи комплексної змінної)
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconКод модуля: вм 6010 С01 Тип модуля: обов‘язковий Семестр
Матриці та визначники. Системи лінійних рівнянь. Вектори. Рівняння прямої на площині. Криві другого порядку. Диференціальне числення...
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
З математики: алгебра, геометрія, тригонометрія, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння; з фізики: механіка;...
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconБібліотека нові надходження
Текст] : навч посібн. Кн. 1 : Лінійна й векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення...
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconМіжнародний соломонів університет
Функціональний аналіз – прояв корінного повороту в математиці, здійсненого в наш час, який за своїм принциповим значенням можна порівняти...
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Розділ ІІІ. Диференціальне числення iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи