Диференційованість елементарних функцій icon

Диференційованість елементарних функцій




Скачати 76.19 Kb.
НазваДиференційованість елементарних функцій
Дата07.09.2012
Розмір76.19 Kb.
ТипДокументи

22127

§4. Диференційованість елементарних функцій


У попередньому параграфі розглянуто правила обчислення похідних для функцій однієї змінної. Вони дозволяють знаходити похідні будь-яких елементарних функцій.

Доведемо, що всі основні елементарні функції (за винятком ) диференційовані на своїх областях визначення, причому виконуються формули, які запишемо в окрему так звану таблицю похідних:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

  8. .

  9. .

  10. .

  11. .

  12. .

Доведення 1. Нехай на деякому проміжку Х задано сталу функцію . Тоді для довільних точок і маємо і . Отже, , а тому і і .

Для скорочення доведення подальших формул подаємо їх у конспективному вигляді.

2.





(враховано формулу (3) гл.5, §7).

3.





(враховано формулу (2) гл. 5, §7). Зокрема, при отримаємо .

4.





(враховано формулу (1) гл. 5, §7). Зокрема, при отримаємо.

5.









(враховано першу важливу границю (гл.5 §5) і неперервність функції ).

6. Для знаходження похідної функції представимо її у вигляді і розглянемо як складну функцію: , . Тоді і . Отже, , так що .

7. За правилом диференціювання частки маємо



8. Аналогічно доводиться, що .

9. Функція є оберненою до функції , причому похідна при не дорівнює нулю. А тому за правилом диференціювання оберненої функції



(Перед коренем обрано знак плюс, оскільки при ).

Отже,



10. Аналогічно доводиться, що



11. Функція є оберненою до функції , причому похідна при не дорівнює нулю. А тому за правилом диференціювання оберненої функції



Отже, .

12. Аналогічно доводиться, що

.

На закінчення наведемо формулу диференціювання показниково-ступеневої функції , де і - диференційовані функції.

За правилом диференціювання складної функції маємо

,

так що .

Підкреслимо ще раз, що таблиця похідних разом з правилами диференціювання складають основу диференціального числення. Користуючись ними, можна знайти похідні від функцій, які утворені за допомогою арифметичних операцій та суперпозицій над основними елементарними функціями, тобто перейти від будь-яких елементарних функцій, знову до елементарних. Отже, операція диференціювання не виводить з класу елементарних функцій.
^

§5. Похідні вищих порядків


Нехай функція має похідну на проміжку Х. Якщо в точці похідна , в свою чергу, диференційована, то її похідну називають похідною другого порядку або другою похідною функції в точці і позначають одним із символів .

Визначення 1. Нехай функція має на проміжку Х похідні . Якщо в точці існує похідна функції , то її називають похідною n-го порядку функції в точці і позначають одним із символів , .

Отже, якщо функція має в точці х похідні до n-го порядку включно, то .

Визначення 2. Функція , яка має на деякому проміжку Х похідні до n-го порядку включно, називається n разів диференційованою на Х. Функція, яка має на Х похідні всіх порядків, називається нескінченно диференційованою на Х.

З визначення 1 безпосередньо випливає, що

,

де і - довільні сталі, а і - n разів диференційовані функції.

У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно попередньо знайти похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної n-го порядку.

Знайти похідну n-го порядку функції . Маємо послідовно



Зокрема, при маємо , а при відповідно , де символом позначено добуток натуральних чисел, які не перевищують n і мають з n однакову парність (наприклад, ).

Для виразу має місце формула: . Зокрема, при маємо



а при відповідно



Знайти похідну n-го порядку функції . Враховуючи, що , матимемо



Знайти похідну n-го порядку функції . Маємо послідовно



Зокрема, якщо , то .

Знайти похідну n-го порядку функції . Маємо послідовно



У загальному випадку, як неважко бачити,



Цілком аналогічно


^

§ 6. Диференціал функції


Нехай функція диференційована в точці х, тобто існує границя



Згідно з теоремою 2 (гл. 5, §1) для всіх значень з досить малого околу точки х маємо рівність



де при . Звідси



де - нескінченно мала вищого порядку порівняно з .

Зауваження. Якщо, навпаки, в точці х для приросту функції має місце рівність



де - стала, то функція - диференційована в точці х і .

Дійсно, з останньої формули



Визначення. Диференціалом функції точці х називається головна, лінійна відносно частина приросту функції в цій точці



Диференціалом незалежної змінної х вважатимемо його приріст , тобто . Отже, .

Зауваження. З останньої формули випливає, що . Саме тому похідну часто позначають або і розуміють її як відношення двох диференціалів: диференціала функції до диференціала аргументу.

Оскільки , то

,

і при досить малих має місце формула



якою часто користуються при наближених обчисленнях.

Для з’ясування геометричного змісту диференціала знову звернемося до рис.45. З трикутника :

.

Таким чином, диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка функції в точці .

З правил диференціювання випливають правила обчислень диференціалів функцій:

а) ;

б) ;

в) .

Для ілюстрації доведемо останнє правило.

Нехай , тоді



Встановимо формулу для диференціала складної функції , де і - диференційовані функції своїх аргументів, таким чином, вимоги теореми 2 (§3) виконані.

З одного боку, , де - незалежна змінна, а з іншого – в силу вищезгаданої теореми



де .

Отже, зовнішній вигляд диференціала функції зберігається і у випадку, коли є функцією, а не незалежною змінною.

Цю важливу властивість диференціала називають інваріантністю його форми. Її зручно використовувати для обчислення похідної функції, заданої параметрично.

Коротко зупинимося на такому способі завдання функції за допомогою двох функцій . Припустимо, що функція має обернену . Тоді, очевидно, у є деякою функцією від . Таким чином, пара функцій і визначають деяку функцію , задану параметрично. Допоміжна змінна при цьому називається параметром.

Припустимо, що функції і - диференційовані в кожній точці проміжку , причому при всіх . Враховуючи, що а , матимемо похідну від функції, заданої параметрично, у вигляді


^

§ 7. Диференціали вищих порядків


Нехай функція разів диференційована на проміжку Х. Тоді у кожній точці існує, зокрема, її диференціал , який надалі називатимемо також диференціалом першого порядку функції . Оскільки приріст аргументу величина стала, то є функцією однієї змінної х. Диференціал цієї функції називатимемо диференціалом другого порядку функції і будемо позначати або . Отже, за визначенням, .
^

Далі маємо




І, нарешті, якщо для функції означено диференціал -го порядку , то диференціалом n-го порядку функції називається диференціал першого порядку від диференціала -го порядку, тобто



За індукцією ясно, що



З останньої формули випливає, що при довільному n



тобто похідну n-го порядку функції можна представити як відношення її диференціала n-го порядку до n-го ступеню диференціала аргументу.

Зауваження. Диференціали n-го порядку вже не мають властивості інваріантності форми. Дійсно, вже при , з одного боку, якщо - незалежна змінна, маємо . З іншого, для складної функції , де , маємо



де

Оперуючи з диференціалами, зручно обчислювати похідні вищих порядків від функції, заданої параметрично за допомогою двох функцій .

Для конкретності зупинимося на випадку знаходження другої похідної , вважаючи функції і двічі диференційованими і .

Маємо послідовно і



Але оскільки х – незалежна змінна, то , і тому



Отже, остаточно








Схожі:

Диференційованість елементарних функцій iconДиференційованість елементарних функцій
У попередньому параграфі розглянуто правила обчислення похідних для функцій однієї змінної. Вони дозволяють знаходити похідні будь-яких...
Диференційованість елементарних функцій iconНазва модуля: Вища математика Ч. 2 Код модуля
Невизначений та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу до задач геометрії та фізики. Границя, неперервність та диференційованість...
Диференційованість елементарних функцій icon2. (А) Нехай простір елементарних подій. Побудувати сукупність підмножин простору, яка не буде простором подій. (А)
А побудувати можливі простори s випадкових подій, що відповідають даним просторам  елементарних подій
Диференційованість елементарних функцій iconПерелік дисциплін, які виносяться
Закони булевої алгебри. Логічні функції. Базиси логічних функцій. Форми зображення логічних функцій. Карти Карно. Досконала диз’юнктивна...
Диференційованість елементарних функцій iconПерелік дисциплін, які виносяться
Закони булевої алгебри. Логічні функції. Базиси логічних функцій. Форми зображення логічних функцій. Карти Карно. Досконала диз’юнктивна...
Диференційованість елементарних функцій iconПерелік дисциплін, які виносяться
Закони булевої алгебри. Логічні функції. Базиси логічних функцій. Форми зображення логічних функцій. Карти Карно. Досконала диз’юнктивна...
Диференційованість елементарних функцій iconПсихологічні основи управлінських функцій менеджера психологічний зміст функцій управління
Ефективність управлінської діяльності залежить від рівня осмислення керівником управлінських функцій, завдань, способів стимулювання...
Диференційованість елементарних функцій iconГранти для навчання в аспірантурі з фізики елементарних частинок у Німеччині Кінцевий термін подання заявок 7 лютого 2013 року
Міжнародна дослідницька школа імені Макса Планка (International Max Planck Research School on Elementary Particle Physics) запрошує...
Диференційованість елементарних функцій iconТеорія І методика формування елементарних математичних уявлень змістовий модуль І
...
Диференційованість елементарних функцій iconАналіз ефективності виконання елементарних арифметичних операцій в різних системах кодування монастерецький В. В., аспірант
Аналіз ефективності виконання елементарних арифметичних операцій в різних системах кодування
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи