§8 Розв\

§8 Розв'язки задач




Скачати 105.68 Kb.
Назва§8 Розв'язки задач
Дата07.09.2012
Розмір105.68 Kb.
ТипДокументи

22128

§8 Розв'язки задач


Приклад 1. Не користуючись формулами диференціювання, знайти похідні функцій:

а) б)

∆ а) Надамо аргументу приріст , тоді y отримає приріст :

.

Знайдемо приріст функції:



Складаємо відношення



Знаходимо границю цього відношення при :

.

b) Знаходимо приріст функції:

;

Звідси

,

і



Таким чином

. ▲

Приклад 2. Знайти похідні функції:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж)

 а) При диференціюванні необхідно врахувати, що перший доданок представляє степеневу функцію , її аргумент - логарифмічну функцію плюс сталу , а другий доданок - логарифмічну функцію , де :



б) Це складна функція виду , де (називається проміжним аргументом). Використовуючи формулу диференціювання складної функції, одержимо:

;

в) Тут також складна функція , де Тоді



;

г) Згідно з правилом диференціювання частки двох функцій:



Враховуючи, що



Отримаємо

;

д) За правилом диференціювання степенево-показникової функції:

.

Враховуючи, що , одержимо після перетворень

.

Можна було б попередньо прологарифмувати заданий вираз по основі е

,

а потім продиференціювати обидві частини останньої рівності по . Оскільки є функцією від , тоді є складною функцією і . Отже,

;

Тобто,



е) При диференціюванні неявної функції враховуємо, що є функція від

Отже, ; .

Диференціюємо по обидві частини рівності, одержимо



Тобто,

;

ж) За правилом диференціювання функції, заданої параметрично

,

а тому знайдемо



Отже,



Приклад 3. Обчислить значення похідної функції при :

а) ; б) .

∆ а) Попередньо знайдемо похідну заданої функції: , а потім обчислюємо її значення в точці ;

;



б) Попередньо відмітимо, що . Тепер

;

Отже, . ▲

Приклад 4. Задана крива . Скласти рівняння дотичних:

а) в точках перетину її з прямою ;

б) паралельно і перпендикулярно цій прямій.

∆ 1. Знайдемо точки перетину двох ліній, розв’язавши систему рівнянь:

,

звідки





2. Знайдемо похідну функції . Значення похідної в знайдених точках ;.

3. Кутовий коефіцієнт заданої прямої , а прямої паралельної і перпендикулярної їй відповідно і . Тому точки, в яких дотична до кривої паралельна і перпендикулярна заданій прямій знаходяться із рівнянь

,

звідки відповідно і . Знайдемо ординати кривої в одержаних точках і . Відповідні рівняння дотичних будуть:



або і або . ▲

Приклад 5. Знайти приріст і диференціал функції при і .

Δ Приріст функції

.

Диференціал функції

.

При і маємо і . Різниця між і складає всього 0,02 або 0,5%. ▲

Приклад 6. Знайти диференціал функції

:



Приклад 7 Обчислити наближено: а) ;б)

Δ а) Припускаючи , знайдемо і у відповідності з формулою про наближені обчислення

.

Враховуючи, що , візьмемо і

Тоді

;

б) Отримаємо спочатку наближену формулу для обчислення коренів будь-якої n-ої степені. Припускаючи , знайдемо

,

і у відповідності з (§6)



або



В заданому прикладі



За візьмемо число, найбільш близьке до 16,64, але щоб було відоме , при цьому повинне бути достатньо малим. Очевидно, необхідно взяти , (але, наприклад, не ). Отже,



За допомогою диференціала може бути розв’язана задача визначення абсолютної та відносної похибки функції по заданій похибці знаходження аргументу. Нехай необхідно обчислити значення заданої функції при деякому значенні аргументу , дійсна величина якого невідома, а відоме лише його наближене значення з абсолютною похибкою . Якщо замість дійсного значення візьмемо величину , то ми припустимося похибки, яка дорівнює



При цьому відносна похибка функції може бути обчислена (при достатньо малих ) за формулою

(1)

або

,

де - еластичність функції (по абсолютній величині) - відносна похибка знаходження аргументу .

Приклад 8. Витрати бензину у (л) автомобіля на 100 км шляху в залежності від швидкості (км/год) описуються функцією .

Оцінить відносну похибку обчислення витрат бензину при швидкості 90 км/год з точністю до 5%.

∆ Знайдемо еластичність функції (по абсолютній величині)



При і за формулою (1) відносна похибка

Приклад 9. З якою точністю може бути обчислений об’єм кулі, якщо її радіус заміряний з точністю до 2%?

 Об’єм кулі радіуса дорівнює . Знайдемо ;



і за формулою (1) маємо



Значним недоліком застосування диференціала в наближених обчисленнях є неможливість обчислення значень функцій з наперед заданою точністю. Цього недоліку немає при використанні рядів в наближених обчисленнях.
^

§ 9 Економічний зміст похідної.


Використання поняття похідної в економіці

В §2 було встановлено, що продуктивність праці є похідною обсягу виробленої продукції за часом, а похідна дорівнює , виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що виробляється) і визначаються не сталими виробничими витратами, а лише змінними (на сировину, паливо і т.д.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка (§2), граничний доход, граничний продукт, гранична корисність та інші граничні величини.

Граничні величини характеризують не стан (як сумарна або середня величини), а процес, зміни економічного об’єкту. Таким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об’єкту (процесу) за часом або відносно іншого досліджуваного фактору. Необхідно врахувати все ж таки, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об’єктів економічних розрахунків і дискретності економічних показників за часом (наприклад, річних, квартальних, місячних і т.д.). Разом з тим у ряді випадків можливо відвернути увагу від дискретності показників і ефективно використати граничні величини.

Для дослідження економічних процесів і розв’язку інших прикладних задач часто використовують поняття еластичності функції.

Еластичністю функції називається границя відношення відносного приросту функції до відносного приросту змінної при :



Еластичність функції показує наближено, наскільки процентів зміниться функція при зміні незалежної змінної на 1%.

Відмітимо властивості еластичності функції.

  1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної на темп зміни функції

,

тобто

(2)

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій

(3)

(4)

Еластичність функцій застосовується при аналізі попиту і споживання. Наприклад, еластичність попиту відносно ціни (або доходу ) – коефіцієнт, що визначається за формулою (1), який показує наближено, на скільки процентів зміниться попит (обсяг споживання) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Якщо еластичність попиту (по абсолютній величині) , тоді попит вважають еластичним, якщо , -нейтральним, якщо , - нееластичним відносно ціни (або доходу).

Приклад 10. Залежність між витратами виробництва і обсягом продукції , що випускається, виражається функцією (грошова од.). Визначити середні і граничні витрати при обсязі продукції 10 одиниць.

∆ Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається відношенням , при . Середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють

(гр.од.)

Функція граничних витрат виражається похідною

;

при граничні витрати складають

(гр.од)

Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. один., тоді граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додаткової одиниці продукції при даному рівні виробництва (обсязі продукції, що випускається, 10 од.) складає 35 гр.од. ▲

Приклад 11. Залежність між собівартістю одиниці продукції (тис. гривень) і випуском продукції (тис. гривень) виражається функцією



Знайти еластичність собівартості при випуску продукції, що дорівнює 60 тис. гривень.

∆ Згідно формули (1) еластичність собівартості



При , тобто при випуску продукції, що дорівнює 60 тис. гривень, збільшення його на 1% приведе до зниження собівартості на 0,6%. ▲

Приклад 12. Обсяг продукції , виробленої бригадою робітників, може бути описаний рівнянням

(од), ,

де t –робочий час в годинах. Обчислить продуктивність праці, швидкість і темпи її зміни через годину після початку роботи і за годину до її закінчення.

∆ Продуктивність праці виражається похідною

(од/год),

а швидкість і темп зміни продуктивності – відповідно похідною і логарифмічною похідною :

(од/год),

де (од/год2)

В задані моменти часу і відповідно маємо:

(од/год)

(од/год2)

(од/год)

і

(од/год)

(од/год2)

(од/год)

Отже, на кінець роботи продуктивність праці суттєво знижується; при цьому зміна знаку і із плюса на мінус свідчить про те, що підвищення продуктивності праці в перші години робочого дня змінюється її зниженням в останні години. ▲

Приклад 13. Дослідним шляхом встановлені функції попиту і пропозиції , де і - кількість товару, відповідно купленого і пропонованого на продаж в одиницю часу, - ціна товару.

Знайти:

а) рівноважну ціну, тобто ціну, при якій попит і пропозиції урівноважуються;

б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

в) зміну доходу при підвищенні ціни на 5% від рівноважної.

∆ а) Рівноважна ціна визначається із умови , звідки , тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грошовим одиницям.

б) Знайдемо еластичності по попиту і пропозиції за формулою (1)

; ;

Для рівноважної ціни маємо

; .

Оскільки отримані значення еластичності по абсолютній величині менше 1, тоді і попит і пропозиції даного товару при рівноважній (ринковій) ціні нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціни не приведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при підвищенні ціни р на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція підвищиться на 0,8%.

в) При підвищенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на , отже, доход зростає на 3,5%. ▲

Приклад 14. Як пов'язані граничні і середні повні витрати підприємства, якщо еластичність повних витрат дорівнює 1?

∆ Нехай повні витрати підприємства y виражаються функцією , де x - обсяг продукції, що випускається. Тоді середні витрати на виробництво одиниці продукції . Згідно (4) еластичність частки двох функцій дорівнює різниці їх еластичностей, тобто:



З умови , отже, .

Це означає, що зі зміною обсягу продукції x середні витрати на одиницю продукції не змінюються, тобто , звідки . Граничні витрати підприємства визначаються похідною . Отже, , тобто граничні витрати дорівнюють середнім витратам (зауважимо, що отримане твердження справедливе лише тільки для лінійних функцій витрат). ▲





Схожі:

§8 Розв\Про властивості деяких задач евклідової комбінаторної оптимізації на переставленнях та методи їх розв’язування
Описано метод розв’язування лінійної умовної задачі оптимізації на переставленнях, у якому розв’язки одержують будь-яким переборним...
§8 Розв\План проведення наукових семінарів на кафедрі вищої математики у 2013-2014 навчальному році
Точні розв’язки задач про концентрацію напружень біля вільного або закріпленого отвору в ортотропной пластині
§8 Розв\Програма співбесіди з математики
Розширюючись І зміцнюючи свої багатогранні зв’язки з практикою, математика допомагає людству відкривати І використовувати закони...
§8 Розв\Методичні рекомендації щодо розв`язання олімпіадних задач з програмування
Часто трапляється, що розв’язуючи задачу з програмування доводиться розглядати декілька випадків у залежності від вхідних даних,...
§8 Розв\Описи модулів назва модуля
Внаслідок вивчення дисципліни студенти повинні знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
§8 Розв\Особливості проведення математичних боїв
Далі команди по черзі запрошують одна одну розповідати розв’язки конкретних задач – по одній за раз. Колектив, що виграв «конкурс...
§8 Розв\Особливості проведення математичних боїв
Далі команди по черзі запрошують одна одну розповідати розв’язки конкретних задач – по одній за раз. Колектив, що виграв «конкурс...
§8 Розв\Розв`язок олімпіадних завдань ( типу „ситуаційні задачі”)
Вони сприяють правильній організації мислення, що прискорює розв`язок задач, на відміну від „стихійного” методу розв`язку
§8 Розв\Опис модуля назва модуля
У результаті вивчення модуля студент повинен знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
§8 Розв\§8 Розв'язки задач
При диференціюванні необхідно врахувати, що перший доданок представляє степеневу функцію, її аргумент логарифмічну функцію плюс сталу,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи