Застосування похідних до дослідження функцій icon

Застосування похідних до дослідження функцій




Скачати 134.45 Kb.
НазваЗастосування похідних до дослідження функцій
Дата07.09.2012
Розмір134.45 Kb.
ТипДокументи

22129

ГЛАВА 7: Застосування похідних до дослідження функцій

§ 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку


У цьому параграфі наводимо без доведення дві теореми, які виражають істотні властивості, притаманні неперервним функціям. В дальшому викладі при доведенні теорем будемо спиратися на ці теореми як на очевидні факти.

Теорема 1. (Про найбільшу й найменшу вартість функції). Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку [a, b], то вона набуває на цьому проміжку принаймні один раз своєї найбільшої і своєї найменшої вартостей.

Строге доведення цієї теореми (як і наступної) грунтується на теорії дійсних чисел. Ми обмежимося поясненням її змісту, використавши при цьому геометричне зображення функцій.

Теорема твердить, що коли функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], то існує на ньому принаймні одна така точка х1 (рис. 47), що для всіх вартостей х з проміжку axb буде виконуватись нерівність

f(x)f(x1).

Вартість f(x1) називається найбільшою вартістю функції f(x) на проміжку [a, b] і позначається літерою М

f(x1)

За тих же умов теорема твердить про існування принаймні однієї точки x2 на проміжку [a, b], що для всіх вартостей х з розглянутого проміжку буде виконуватися нерівність

f(x1)f(x).

Вартість f(x2) називається найменшою вартістю функції f(x2) на проміжку [a, b] і позначаються літерою m.

Може здатися, що твердження теореми зовсім очевидне і тривіальне. Але достатньо взяти відкритий проміжок (a, b) - і ми переконаємося, що теорема стає невірною. Розглянемо, наприклад, неперервну функцію f(x)=х2 (рис.48) на відкритому проміжку (-2, 2). Вона набуває найменшої вартості нуль в точці х=0, але не можна вказати таку точку, для якої функція має найбільшу вартість. Справді, яку б не взяли ми точку х1 лівіше правого кінця х=2 (або праворуч лівого кінця х=-2), завжди знайдеться інша точка, наприклад, х2= (посередині між х=х1 та х=2), в якій функція х=х2 має більшу вартість, аніж у точці х=х1. Коли б точки х=-2 та х=2 не були виключені, тобто, якщо б ми розглядали функцію у=х2 на замкненому проміжку [-2, 2], існувала б найменша вартість функції 4 аж у двох точках х=-2 та х=2.

Якщо взяти, наприклад, функцію у=х, яка є неперервною в будь-якому відкритому проміжку, то неважко переконатися, що вона не досягає в ньому ні найбільшої, ні найменшої вартості.

Теорема 2. Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку [a, b] і має на його кінцях протилежні знаки, тобто f(a)∙f(b)<0, то вона принаймні один раз стає нулем всередині цього проміжку.

Припустимо, що f(x) неперервна функція на проміжку [a, b] і що f(а)>0, а f(b)<0 (рис.49)

Теорема твердить, що існує принаймні одна точка всередині проміжку [a, b] така, що . З рис. 49 видно, що перехід функції від додаткової вартості f(а) до від’ємної f(b), зважаючи на неперервність кривої – графіка неперервної функції, - відбудеться з обов’язковим перетином осі Ох принаймні в одній точці ξ. Розривні функції (рис.50), взагалі кажучи, не мають цієї властивості. З теореми 2 як наслідок випливає третя важлива теорема про неперервність функції.

Теорема 3. (про проміжні вартості функції). Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку [a, b] і має на його кінцях нерівні між собою вартості f(а)=А і f(b)=B, то всередині проміжку вона набуває принаймні один раз будь-якої вартості С, що міститься між А та В.

Доведення. Нехай A
Введемо допоміжну функцію



На проміжку [a, b] ця функція неперервна, бо неперервна на ньому, за припущенням, f(x). Але F(a)=f(a)-C=A-C<0 і F(b)=f(b)-C=B-C>0. Отже, за теоремою 2, функція F(x) стає нулем при деякому . Тому

F(ξ)=f(ξ)-C=0,

тобто . Це й треба було довести.

Геометричний зміст цієї теореми такий: будь-яка пряма у=С, паралельна осі Ох, перетне графік функції f(x) принаймні в одній точці, якщо тільки С міститься між A=f(a) та B=f(b). На рис.51 маємо три таких точки

Теорему 3 часто формулюють так: неперервна функція, переходячи від одної вартості до іншої, набуває усіх проміжних вартостей. Звичайно, розривна функція не має такої властивості. Між вартостями А1 та В2 (рис.50) немає вартостей функції (вона їх набуває), зображеної на цьому рисунку.

Теорему 2 можна застосувати до наближеного обчислення коренів рівняння. Вартість х=х0, при якій функція f(x) стає нулем, зветься коренем функції або коренем рівняння f(x)=0.
^

§ 2 Теореми про середнє значення


Дослідження функцій за допомогою похідних грунтуються на деяких основних теоремах диференціального числення.

Теорема Ролля. Нехай функція неперервна на відрізку , диференційована на інтервалі і . Тоді існує принаймні одна точка така, що .

Доведення. За теоремою Вейєрштрасса неперервна на функція набуває на ньому найбільшого значення М і найменшого значення m.

Якщо , то - стала для всіх і за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу .

Якщо , то принаймні одне із значень m або М досягається у внутрішній точці с відрізку , тобто в точці, яка належить інтервалу . Нехай, наприклад, в точці с функція набуває найменшого значення. Доведемо, що . Дійсно, для досить малих точка , причому



Тому при

і ,

а при

і .

Оскільки функція диференційована в точці с, то . Теорему доведено.

Геометрично теорема Ролля означає, що серед усіх дотичних до графіка функції знайдеться принаймні одна, паралельна осі Оx.

У точці с функція набуває найменшого значення (рис.52).

^ Теорема Лагранжа. Нехай функція неперервна на відрізку і диференційована на інтервалі (a; b). Тоді існує принаймні одна точка така, що

.

Доведення. Розглянемо на допоміжну функцію

.

Очевидно, задовольняє всі вимоги теореми Ролля. Вона неперервна на як різниця двох неперервних на функцій і ; диференційована на , причому і .

Отже, за теоремою Ролля існує принаймні одна точка така, що , тобто

.

Звідки , що й потрібно було довести.

Геометрично теорема Лагранжа означає, що серед усіх дотичних до графіка функцій знайдеться принаймні одна, паралельна січній АВ, яка сполучає точки і . Справді (рис.53), відношення є кутовим коефіцієнтом січної АВ, а - кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка, проведеної в точці . Ці коефіцієнти рівні, отже, дотична і січна АВ дійсно паралельні.

Зауваження 1. Теорема Ролля є окремим випадком теореми Лагранжа, якщо .

Зауваження 2. Рівність називається формулою Лагранжа. Її можна записати й трохи інакше. Очевидно, що де . Отож, , де .

Припускаючи , матимемо також

,

де .

Наслідок. Нехай функція диференційована на проміжку Х і при будь-якому , тоді на Х - стала. Дійсно, нехай - фіксована точка Х, а x - його довільна точка. За теоремою Лагранжа , де с - деяка точка, яка знаходиться між і х. Оскільки при будь-якому , то , а тому при всіх .

Теорема Коші. Нехай функції і неперервні на відрізку [a;b] і диференційовані на інтервалі (a;b), причому в усіх точках . Тоді існує принаймні одна точка така, що

.

Доведення. Спочатку зауважимо, що , оскільки у протилежному випадку , згідно з теоремою Ролля для функції знайдеться принаймні одна точка така, що . А це суперечить тому, що в усіх точках (a;b). Далі розглянемо на [a;b] допоміжну функцію

.

Очевидно, задовольняє всі вимоги теореми Ролля. Вона неперервна на [a;b] як різниця двох неперервних на [a;b] функцій і ; диференційована на (a;b), причому



і .

Отже, за теоремою Ролля існує принаймні одна точка така, що , тобто

.

Звідки, оскільки , отримаємо формулу Коші

, ,

що й потрібно довести.

Зауваження. Теорема Лагранжа є окремим випадком теореми Коші, якщо .
^

§ 3 Правила Лопіталя


При дослідженні функцій часто виникає необхідність знаходити границі дробу , чисельник і знаменник якого при прямують до нуля або до нескінченності. Знаходження таких границь називають розкриттям невизначеностей. Найбільш простими і ефективними методами розкриття невизначеностей є правила Лопіталя.

Теорема 1. (перше правило Лопіталя). Нехай функції і диференційовані на інтервалі (a;b); і на (a;b). Тоді, якщо існує (скінчена або нескінченна) границя

,

то границя також існує і .

Доведення. Нехай і . Довизначимо функції і у точці а, припустивши . Тоді вони, очевидно, стануть неперервними на відрізку і задовольнятимуть на ньому всі вимоги теореми Коші попереднього параграфа. А тому знайдеться така точка , що

.

Якщо , то й . Переходячи до границі в останній рівності, маємо

,

що й потрібно довести.

Зауваження 1. Теорема 1 доведена для правих границь. Вона лишається вірною й для лівих, і до границі взагалі.

Зауваження 2. Твердження теореми 1 залишається в силі, якщо . Дійсно, візьмемо, наприклад, . Припустимо, і нехай , тоді

.

При розкритті невизначеностей іншого типу діє теорема, яка наводиться без доведення.

Теорема 2. (друге правило Лопіталя). Нехай функції і диференційовані на інтервалі (a;b); і на (a;b). Тоді, якщо існує (нескінченна або скінченна) границя , то границя також існує і .

Зауваження, подані до теореми 1, залишаються в силі і для теореми 2.

Трапляється, що для похідних і виконуються умови однієї з теорем, тоді правила Лопіталя можна застосовувати повторно:

.

Взагалі, при виконанні відповідних умов цю процедуру можна застосовувати кілька разів.

Теорема 1 і 2 застосовуються до випадків, коли обидві функції і при прямують одночасно до нуля або до нескінченності.

Відповідно, знаходження називають розкриттям невизначеностей типу або .

За допомогою тотожних перетворень до основних випадків або можна звести й невизначеності інших типів: .

Невизначеність , тобто добуток , де , зводиться до вигляду або за формулами

або .

Невизначеність зводиться до вигляду за допомогою перетворення

.

Невизначеності мають місце при розгляді функцій , якщо функція прямує відповідно до 0,1 і , а - відповідно до 0,1 і 0, коли . Як правило, використовується рівність



і справа зводиться до розкриття невизначеності вигляду у показнику

Приклад 1. Знайти наступні границі:

а) ;

б) ;

в) .

∆ а) Чисельник і знаменник прямують до нуля, якщо , а тому маємо невизначеність типу . Використаємо правило Лопіталя, тобто розглянемо границю відношення похідних заданих функцій:

,

оскільки і , якщо .

б) Невизначеність типу . Застосовуючи двічі формулу Лопіталя, одержимо:

.

На кожному етапі застосування правила Лопіталя слід користуватися тотожними перетвореннями, які спрощують відношення, а також комбінують це правило з будь-якими іншими прийомами обчислення границь.

в) .

Звільнимо знаменник дробу від множника , оскільки він має границю 1 при . Розкладемо чисельник, як різницю кубів



і звільнимо чисельник від множника , який має границю 3 при . Після таких спрощень отримаємо

.

Використовуючи першу важливу границю, отримаємо кінцеву відповідь , вже без правила Лопіталя. ▲

Приклад 2. Знайти границі

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

∆ а) Тут ми маємо невизначеність типу . Представимо добуток у вигляді частки, а потім, отримавши невизначеність типу ,застосуємо правило Лопіталя:

.

б) Це невизначеність типу . Для того, щоб знайти границю функції, приведемо дроби до загального знаменника, а потім, отримавши невизначеність типу , застосуємо правило Лопіталя:

.

в) Це невизначеність типу . Позначимо дану функцію через y , тобто , і прологарифмуємо її:

.

Обчислимо границю логарифма даної функції, застосовуючи правило Лопіталя (тут маємо невизначеність типу ):

.

Отже, .

г) Це невизначеність типу . Припустимо, , і прологарифмуємо:

;

Застосувавши правило Лопіталя, отримаємо:

.

Звільнимо знаменник від множника , оскільки він прямує до 1, якщо ;

.

Тобто .

д) Це невизначеність типу . Введемо позначення

.

Тоді є невизначеністю типу . Перетворимо вираз до вигляду

.

Згідно правила Лопіталя, отримаємо:

.

Отже, . ▲
^

§4 Дослідження функцій


4.1. Умови монотонності функцій

Визначення 1. Функція називається зростаючою (спадною) на деякому проміжку Х, якщо для будь-яких виконана нерівність (відповідно ).

Теорема 1 (достатні умови монотонності). Якщо функція диференційована на проміжку Х і на Х, то функція зростаюча (спадна) на цьому проміжку.

Доведення. Нехай для конкретності на Х і - будь-які точки з Х, причому . За формулою Лагранжа , де .

Оскільки і , то або , тобто функція зростає на Х.

Випадок, коли на Х, досліджується аналогічно.

^ 4.2. Умови локального екстремуму

Визначення 2. Точка називається точкою строгого локального мінімуму (максимуму) функції , якщо при всіх з деякого -околу точки виконується нерівність

.

Аналогічно, якщо в деякому -околі точки виконується нерівність

,

то точка називається точкою локального мінімуму (максимуму). Часто для скорочення слово локальний не вживають.

Точки мінімуму й максимуму функції називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках – її екстремумами.

^ Теорема 2 (необхідні умови екстремуму). Якщо точка є точкою екстремуму функції і в цій точці функція диференційована, то .

Доведення. Нехай для конкретності - точка максимуму, тоді при досить малих і , а отже,



Оскільки ж функція диференційована в точці , то

.

Випадок, коли - точка мінімуму, досліджується аналогічно.

Теорема 2 має простий геометричний зміст: дотична до графіка диференційованої функції у відповідній точці паралельна осі Ох.

Зауваження 1. Якщо , то звідси ще не випливає, що - точка екстремуму. Наприклад, для функції похідна і . Проте , очевидно, не є точкою екстремуму.

Зауваження 2. Точка , в якій функція недиференційована, також може бути точкою екстремуму. Наприклад, функція не має похідної в точці , але ця точка є для неї точкою мінімуму.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними. Стаціонарні точки, а також точки, де функція визначена, але її похідна не існує, називаються критичними. Саме серед них слід шукати точки екстремуму.

^ Теорема 3 (достатні умови строгого екстремуму першого типу). Нехай функція неперервна в деякому -околі точки : , диференційована у ньому, крім, можливо, самої точки . Тоді, якщо при і при , то точка є точкою строгого мінімуму (максимуму).

Коротко цю теорему формулюють таким чином: якщо в точці похідна змінює знак з мінуса на плюс (з плюса на мінус), то - точка строгого мінімуму (максимуму)

Доведення. Нехай для конкретності при і при .

Спочатку розглянемо . Застосуємо формулу Лагранжа до функції на відрізку . Маємо

,

де . Оскільки і, тоабо при .

Якщо ж , то, застосовуючи формулу Лагранжа до функції на відрізку , матимемо

,

де . Оскільки і , то або при .

Таким чином, для будь-якого з - околу точки , а це й означає, що точка є точкою строгого мінімуму.

Випадок зміни знаку похідної з плюса на мінус досліджується аналогічно.

Зауваження. Якщо має однакові знаки на інтервалах і , то не є точкою строгого екстремуму.






Схожі:

Застосування похідних до дослідження функцій iconЗастосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку
У цьому параграфі наводимо без доведення дві теореми, які виражають істотні властивості, притаманні неперервним функціям. В дальшому...
Застосування похідних до дослідження функцій iconДиференційованість елементарних функцій
У попередньому параграфі розглянуто правила обчислення похідних для функцій однієї змінної. Вони дозволяють знаходити похідні будь-яких...
Застосування похідних до дослідження функцій iconДиференційованість елементарних функцій
У попередньому параграфі розглянуто правила обчислення похідних для функцій однієї змінної. Вони дозволяють знаходити похідні будь-яких...
Застосування похідних до дослідження функцій iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Застосування похідних до дослідження функцій iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Застосування похідних до дослідження функцій iconДо аспірантури математичний аналіз
Формула Тейлора та її застосування. Дослідження на екстремум І умовний екстремум функцій багатьох змінних. Диференційовні відображення...
Застосування похідних до дослідження функцій icon§4 Застосування функцій в економіці
Спектр використання функцій в економіці досить широкий. Найбільш часто використовуються в економіці такі функції
Застосування похідних до дослідження функцій icon§4 Застосування функцій в економіці
Спектр використання функцій в економіці досить широкий. Найбільш часто використовуються в економіці такі функції
Застосування похідних до дослідження функцій iconХерсонський державний університет факультет пиродознавства, здоров’я людини І туризму
Синтез та дослідження біологічної активності 4-(3-піридил)піримідинону та його похідних ”
Застосування похідних до дослідження функцій iconТема: Розробка ієрархії класів з використанням віртуальних функцій. Поліморфізм
Розробити метод з використанням принципів простого спадкування та об’єктів одного базового та двох похідних класів. Для цього створити...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи