Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня icon

Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня




Скачати 181.73 Kb.
НазваЗадачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня
Дата07.09.2012
Розмір181.73 Kb.
ТипДокументи

22137

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ


ВИЩА МАТЕМАТИКА т.1.


ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ


Глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня.


§1 -§4


Обчислити визначники















§5

Розв`язати системи по правилу Крамера.


1.27.



1.30.



1.28.



1.31



1.29.



1.32.





Розв`язати системи методом Гауса

(метод послідовного виключення невідомих)

1.33.



1.34.



1.35.



1.36.



1.37.



1.38.





§6

Обчислити ранг матриць з допомогою елементарних перетворень

1.47.



1.48.



1.49.



1.50






Обчислити ранг матриць методом облямування

1.51.



1.52.



1.53.



1.54.



1.55.



1.56.



1.57.



1.58.





1.59.





1.60




§7


1.63. Знайти добуток на добуток двох матриць



1.64. Знайти добуток матриць АВ



1.65. Знайти добуток матриць АВ і ВА, якщо



1.66. Знайти значення матричного многочлена

2+3А+5Е при , якщо Е - одинична матриця третього порядку.


§8


Знайти обернені матриці

1.75. 1.76. 1.77.

1.78. 1.79. 1.80.

Розв’язати матричнi рiвняння

1.81. 1.82.

1.83. 1.84.

Розв’язати системи, представивши їх у вигляді матричних рівнянь

1.85. 1.86.

1.87. Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані:

коефіцієнти прямих витрат аik, тобто кількість одиниць продукції і-ї фірми, яка використовується як проміжний продукт для випуску одиниці продукції k-ї фірми;

кількість одиниць yi продукції фірми, розрахованих на реалізацію (кінцевий продукт).


Визначити:

а) коефіцієнти повних витрат;

б) валовий випуск (план) для кожної фірми;

в) коефіцієнти непрямих витрат.

Варіант

Фірми

Прямі витрати аik

Кінцевий продукт

І

ІІ

ІІІ

yi




І

0.1

0

0.1

30

1

ІІ

0.3

0

0.1

40




ІІІ

0.1

0.2

0

50




І

0.2

0.1

0

50

2

ІІ

0

0.3

0.1

60




ІІІ

0.2

0.1

0

20




І

0

0.2

0.2

40

3

ІІ

0.3

0.1

0

50




ІІІ

0.1

0.2

0.1

60




І

0.1

0.2

0

100

4

ІІ

0.2

0.1

0.3

120




ІІІ

0

0.1

0

110




І

0

0.1

0.3

70

5

ІІ

0.1

0.1

0

100




ІІІ

0

0.2

0.2

120




І

0.2

0.1

0

180

6

ІІ

0.2

0

0.1

200




ІІІ

0.1

0.1

0

210




І

0

0.3

0.1

30

7

ІІ

0.3

0.2

0.1

60




ІІІ

0.1

0.2

0

100




І

0.2

0.1

0.1

400

8

ІІ

0.2

0.1

0

300




ІІІ

0.1

0.1

0

200


Глава ІІ. Векторна алгебра

§1-§3


Дослідити на лінійну залежність систему векторів.

1.92.



1.93.



1.94.



1.95.



Знайти координати вектора в базисі , якщо він заданий в базисі .

1.96.



1.97.



1.98.



Написати розклад вектора по векторам

1.99.



1.100.



1.101.




§4-§8

Колінеарні вектори і , побудовані на векторах і ?

1.117.



1.118.



1.119.



Знайти косинус кута між векторами і .

1.120.

А(1, -2, 3),В(0, -1, 2), С(3, -4, 5)

1.121.

А(0, -3, 6),В(-12, -3, -3), С(-9, -3, -6)

1.122.

А(-1, 2, -3),В(3, 4, -6), С(1, 1, -1)

Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і

1.123.



1.124.



1.125.



Перевірити на компланарність вектори

1.126.



1.127.



1.128.



Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках А1, А2, А3, А4 та його висоту, опущену із вершини А4 на грань А1А2А3

1.129. А1(1, 3, 6), А2(2, 2, 1), А3(-1, 0, 1), А4(-4, 6, -3)

1.130. А1(-4, 2, 6), А2(2, -3, 0), А3(-10, 5, 8), А4(-5, 2, -4)

1.131. А1(7, 2, 4), А2(7, -1, -2), А3(3, 3, 1), А4(-4, 2, 1)


Глава ІІІ. Аналітична геометрія

§3

1.176 Записати рівняння кола з центром у точці і з радіусом, що дорівнює 2. Побудувати це коло.

1.177 Записати рівняння кола, яке проходить через точки А(5;7) і В(-2;4), якщо центр його лежить на прямій 4х+3у-18=0.

1.178 Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку М(5;0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.

1.179 Довести, що рівняння 36х2+100у2-3600=0 є рівнянням еліпса. Знайти координати фокусів та фокальну відстань.

1.180 Записати рівняння еліпса, фокусами якого є точки , а велика вісь дорівнює 6.

1.181 Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ох, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, а ексцентриситет Е=0,6.

1.182 Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ох, якщо він проходить через точки

1.183 Побудувати еліпси і . Для кожного еліпса обчислити ексцентриситет.

1.184 Знайти координати точок перетину еліпса з прямою х+2у-14=0.

1.185 Яку лінію визначає рівняння 7х2-9у2=63?

1.186 Знайти напівосі, координати фокусів та ексцентриситет гіперболи, що задані рівнянням 4х2-5у2=20. Обчислити довжини фокальних радіусів точки М(-5;4).

1.187 Записати рівняння асимптот та директрис гіперболи 9х2-25у2=225.

1.188 Гіпербола проходить через точки М та N. Знайти її канонічне рівняння.

1.189 Написати рівняння дотичних до гіперболи х2-4у2=16, проведених з точки А(0;-2).

1.190 Знайти відстань від фокуса гіперболи до її асимптот та кут між асимптотами.

1.191 Написати рівняння параболи:

1) що проходить через точки (0;0) та (-1;2) і симетрична відносно осі ох;

2) проходить через точки (0;0) та (2;4) і симетрична відносно осі оу.

1.192 Знайти координати фокуса та рівняння директриси параболи у2=20х. Обчислити відстань точки М до фокуса.

1.193 Скласти рівняння параболи, що симетрична відносно осі ох, яка проходить через точки М(4;-5) та N (6;15).

1.194 На параболі у2=6х знайти точку М, фокальний радіус якої дорівнює 4,5.

1.195 Написати рівняння дотичних до параболи у2=8х, проведених з точки А(0;-2).

1.196 Скласти параметричне рівняння кола, якщо точка М(х;у) описує коло радіуса r з центром на початку координат.

1.197 Дано рівняння еліпса 9х2+16у2=144. Записати його параметричне рівняння.

1.198 Дано параметричні рівняння еліпса х=5cost, y=3sint, t [0;2). Записати його канонічне рівняння.


§5


1.205 Знайти координати центра і радіус сфери, заданої рівнянням

x2+y2+z2-x+2y+1=0

1.206 Скласти рівняння сфери, яка проходить через точки А(1;2;-4), В(1;-3;1) і С(2;2;3), якщо центр знаходиться в площині хоу.


1.207 По якій лінії перетинається конус x2+y2-2z2=0 з площиною у=2?

1.208 Привести до канонічного вигляду рівняння x2-y2-4x+8y-2z=0.

1.209 Яка поверхня визначається рівнянням 4x2-y2+4z2-8x+4y+8z+4=0?


1.210 Який геометричний зміст рівняння х2+y2+z2-yz-xz-ху=0?


§6


1.142. Визначити площу S та периметр трикутника, утвореного прямою 3х-4у-12=0 і осями координат.

1.143. Записати рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку (-1;8).

1.144. Дано вершини трикутника А(1;-2), В(5;4) і С(-2; 0). Записати рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

1.145. Записати рівняння прямих, на яких лежать катети рівнобічного прямокутного трикутника, знаючи рівняння прямої, на якій лежить гіпотенуза 3х-у+5=0 і вершину кута С(4;-1).

х-2у-6=0 і 2х+у-7=0.

1.146. Встановити, які з пар прямих паралельні, співпадають або перетинаються, в останньому випадку знайти їх точку перетину:

1) х+у-3=0 і 2х+3у-8=0

2) у=х+5 і 2х-2у+3=0

3) у= і

1.147. Визначити точку, симетричну з точкою М(8;-9) відносно прямої, яка проходить через точки А(3;-4) і В(-1;-2).

1.148. Записати рівняння прямих, на яких лежать катети рівнобічного прямокутного трикутника, знаючи рівняння прямої на якій лежить гіпотенуза 3х-у+5=0 і вершину прямого кута С(4;-1).

Обчислити величину кута між прямими:

1) у=3х і у=-2х+5;

2) у=4х-7 і у=+2;

3) у=5х-3 і у=5х+8.

1.149. Основа рівнобедреного трикутника лежить на прямій х-2у=0, а одна з бічних сторін на прямій х+у-3=0. Записати рівняння прямої, на якій лежить друга бічна сторона, знаючи, що вона проходить через точку (1;-1).

1.150. Записати рівняння прямої, паралельної і рівновіддаленої від двох паралельних прямих х+у-1=0 і х+у+13=0.

1.151. Записати рівняння прямої, на якій лежить перпендикуляр, встановлений у точці перетину прямих 4х+3у-5=0 і 8х-5у+23=0, до першої прямої.

1.152. Записати рівняння прямої, на якій лежать бісектриси кутів між прямими

3х-4у+7=0 і 5х+12у-1=0.

1.153. При яких значеннях параметра “а” пряма (а+2)х+(а2+9)у+3а2-8а+5=0:

  1. паралельна осі Ох;

  2. паралельна осі Оу;

  3. проходить через початок координат?

1.154. Записати рівняння прямих, на яких розміщені сторони трикутника АВС, знаючи координати вершини А(1;3) та рівняння двох його медіан у-1=0 і х-2у+1=0.

1.155. Записати рівняння сторін трикутника АВС, якщо задано координати однієї із його вершин В(-4;-5) і рівняння прямих, на яких лежать дві його висоти: 5х+3у-4=0 і 3х+8у+13=0.

1.156. Дві сторони квадрата лежать на прямих 5х-12у-65=0, 5х-12у+26=0.

Обчислити площу квадрата.

1.157. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М(2; 3; -1) паралельно площині 5х-3у+2z-10=0.

1.158. Знайти довжину перпендикуляра, який опущений із точки М0(2; 3; -5) на площину 4х-2у+5z-12=0.

1.159. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку Р(2; 0; -1) і Q(1; -1; 3) перпендикулярно площині 3х+2у-z+5=0.

1.160. Знайти рівняння площини, яка проходить через початок координат і через точки Р(4; -2; 1) і Q(2; 4; -3).

1.161. Знайти рівняння площини, яка проходить через лінію перетину площин х+5у+9z+13=0, 3х-у-5z+1=0 і через точку М(0; 2; 1).

1.162. Скласти рівняння площини, яка проходить через лінію перетину площин 2х-у-12z-3=0 і 3х+у-7z-2=0 і перпендикулярно площині х+2у+5z-1=0.

1.163. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М(0; 2; 1) і паралельно векторам і .

1.164. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку N(5; -1; -3) і паралельно прямій



1.165. Обчислити відстань між паралельними прямими ; .

1.166. Задані точки А(-1; 2; 3) і В(2; -3; 1). Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(3; -1; 2) і паралельна вектору .

1.167. Знайти кут між прямими

і

1.168. Задані точки А(1; 1; 1), В(2; 3; 3) і С(3; 3; 2). Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А і перпендикулярно вектором і .

1.169. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму і перпендикулярно площині : 3х+у-z+2=0.

1.170. Знайти рівняння проекції прямої на площину 2х+3у-z-5=0.


^

РОЗДІЛ ІІ. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

ГЛАВА IV: Функції



§4

9. Знайти область визначення функцій:







  1. ;


10. Знайти множину значень функцій:

1.

2.

3.

11. З’ясувати парність (непарність) функцій:



  1. .

  2. .


12. Знайти основні періоди функцій:

1.

2.


^

ГЛАВА V: Границя і неперервність




1). Довести, що при послідовність має границю число 1, починаючи з якого n абсолютна величина різниці між і 1 не перевищує ?

2). Довести, що при послідовність має границю число .

3). Довести, що при послідовність ; ; має границю, рівну 4.

4). Довести, що при послідовність 1; ; ;…..……. є нескінченно малою.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

5). Показати, що при х=4 функція у=має розрив.

6). Показати, що при х=5 функція у= має розрив.

7). Знайти точки розриву функції

8). Які з даних функцій є неперервними в точці х=1?

Якщо є порушення неперервності, встановити характер точки розриву

у=; у=, ;

у=; у=;


^

РОЗДІЛ ІІІ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ГЛАВАVI: Похідні та диференціали




Знайти похідні функцій:

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) ;

33) ; 34)

35) ; 36) .

Знайти похідні функцій і обчислить їх значення при .

37) ; ; 38) ; ;

39) ; ; 40) ; ;

  1. Скласти рівняння дотичної до кривої

а) в точках перетину її з прямою ;

б) паралельно і перпендикулярно цій прямій.

  1. Знайти кут між кривими і прямою .

  2. Тіло рухається прямолінійно по закону , де вимірюється в метрах, а t- в секундах. Знайти швидкість і прискорення тіла в момент .

Знайти похідні від неявних функцій:

44) ; 45) ;

46) ; 47) .

Знайти похідні від функцій заданих параметрично:

48) ; 49) ;

  1. Знайти приріст і диференціал функції в точці при .

  1. Обчислить приріст і диференціал функції в точці при

  1. ;

  2. .

  1. Знайти абсолютну похибку і відносну похибку , які допускаються при заміні приросту функції її диференціалом.

  2. Знайти диференціал заданих функцій:

а) ;

б) ;

в) .

  1. Використовуючи поняття диференціала, обчислити:

а) ;

б);

в) ;

г) .

  1. Використовуючи поняття диференціала, з'ясувати, з якою точністю повинен бути зміряний радіус круга, щоб його площу можна було визначить з точністю до 10%?

Використовуючи поняття диференціала, визначити, на скільки процентів зміниться величина степеня при зміні основи степеня на 5%.

  1. Обсяг продукції (ум.од.) цеху на протязі робочого дня представляє функцію

,

де t - час (годинах). Знайти продуктивність праці через 2 год. після початку роботи.

  1. Залежність між витратами виробництва y (грошові од.) і обсягом продукції, що виробляється x (од.), виражається функцією

.

Визначить середні і граничні витрати при обсязі продукції, що дорівнює 5 од.

  1. Функції попиту g і пропозиції s від ціни p виражаються відповідно рівняннями

і .

Знайти:

а) рівноважну ціну;

б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

в) зміну доходу (в процентах) при підвищені ціни на 5% від рівноважної.

^

ГЛАВА 7: Застосування похідних до дослідження функцій


Обчислити границі, використавши правило Лопіталя:

16) ; 17) ;

18) ; 19) .

Застосовуючи правило Лопіталя, обчислити границі (попередньо приводячи їх до невизначеностей типу або ):

20) ; 21) ;

22) ; 23) ;

24) ; 25) ;

26) ; 27) .

Дослідити на екстремум функції:

28) ; 29) ;

30) ; 31) ;

32) .

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку:

33) .

34) .

35) .

36) Потрібно виділить прямокутну площу землі в 512, загородити її огорожею і розділить огорожею на три рівні частини паралельно одній із сторін площі. Які повинні бути розміри майданчика, щоб на побудову огорожі пішла найменша кількість матеріалів.

37) Вікно має форму прямокутника, завершеного напівкругом. Заданий периметр р цієї фігури. При яких розмірах х і y сторін прямокутника вікно буде пропускати найбільшу кількість світла.

Знайти точки перегину і інтервали випуклості функцій:

38) ; 39) ;

40) ; 41) .

Знайти асимптоти графіків функції:

42) ; 43) ;

44) ; 45) .

Провести повне дослідження заданих функцій і побудувати їх графіки:

46) ; 47) ;

48) ; 49) ;

50) ; 51) ;

52) ; 53) .





Схожі:

Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня iconЗадачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня
Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня iconПрограма з курсу "Вища, математика" Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені
Розв'язок системи "n" рівнянь з "n" невідомими, правило Крамера. Розв'язок І дослідження систем рівнянь першої степені методом повного...
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня iconВища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії
Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня iconКонтрольні запитання І завдання вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії
Сформулюйте теорему про розклад визначника n-го порядку за елементами будь-якого рядка або стовпця
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня icon1. Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першого ступеня: правило Крамера. Метод повного виключення. Обернена матриця. Розвязання матричних рівнянь
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першого ступеня: правило Крамера. Метод повного...
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня iconТематичнийпла н по видах занять з курсу “Загальна математика” спеціальність “Фінанси”, “Маркетинг”
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня iconТематичнийпла н по видах занять з курсу “Загальна математика” спеціальність “Менеджмент організацій”
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня iconНазва модуля: Вища математика Ч. 1 Код модуля
Матриці. Визначники. Системи лінійних алгебричних рівнянь. Векторна алгебра: дії над векторами, скалярний, векторний та мішаний добуток...
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня icon2. Матриці та дії над ними
Добутком матриці на число називається нова матриця, яка відрізняється від матриці тим, що кожний елемент першого рядка матриці помножається...
Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня icon1. Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного виключення. Обернена матриця. Розвязок матричних рівнянь
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи