Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 icon

Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998




Скачати 249.75 Kb.
НазваКиевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998
Дата08.09.2012
Розмір249.75 Kb.
ТипДокументи

КИЕВСКИЙ ИНСТИТУТ ИНВЕСТИЦИОННОГО МЕНЕДМЕНТА


ТЕОРИЯ ИГР


Составил: Василевич Л.Ф.


КИЕВ - 1998

удк 519.83 + 519.86


Василевич Л.Ф. Теория игр. КИИМ, 1998


В учебном пособии рассмотрены основные вопросы теории игр в объеме программы для студентов экономических специальностей. Пособие может представлять интерес для работников различных специальностей, занимающихся применением математики к задачам принятия оптимальных решений. Пособие представляет собой конспект лекций. Кроме того, оно содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать для проведения практических занятий.

Тема 1. Основные понятия теории игр и их классификация


1.1. Предмет и задачи теории игр

Первую попытку создать математическую теорию игр предпринял в 1921 г. Э.Борель. Впервые теория игр была систематизировано изложена в монографии Дж.фон Неймана и О.Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение” в 1944 г.

Игра - это идеалищированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что порождает конфликт. Конфликт не обязательно предполагает налигие антогонистических противоречий сторон, но всегда связана с определеного рода разногласиями. Конфликтная ситуация будет антогонистической, если увеличение выиграша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выиграша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антогонизм интересов порождает конфликт, а совпадение интересов совдит игру к координации действий (кооперации).

Примерами конфликтной ситуации являются ситуации, складывающиеся во взаимоотношениях покипателя и продавца; в условиях конкуренции различных фирм; в ходе боевых действий и др. Примерами игр являются и обычные игры: шахматы, шашки, карточные, салонные и др. (отсюда и название “теория игр”).

Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций.

Цель теории игр - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта (определение оптимальных стратегий).

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила, устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правила устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделано, и больше ходов делать не разрешается.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной (“идеальной”) разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник “глуп” и воспользоваться этой глупостью в свою пользу [1].

Еще одним недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные стратегии противника, неизвестно лишь то, какой именно из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень возможных стратегий противника как раз неизвестен, наилучшим решением в конфликтной ситуации нередко будет именно выйти за пределы известных противнику стратегий, “ошарашить” его чем-то совершенно новым, непредвиденным [1].

Теория игр не включает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она определяет наиболее осторожное, “перестраховочное” поведение учасников конфликта.

Кроме того, в теории игр находятся оптимальные стратегии по одному показателю (критерию). В практических ситуациях часто приходится принимать во внимание не одни, а несколько числовых показателей. Стратегия, оптимальная по одному показателю, может быть неоптимальной по другим.

Сознавая эти ограничения и потому не придерживаясь слепо рекомендаций, даваемых теорий игр, можно все же выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.

В настоящее время ведется большая работа, направленная на расширение областей применения теории игр.


^ 1.2. Терминология и классификация игр

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов, выполняемых игроками одновременно или последовательно.

Ходы бывают личными и случайными. Ход называется личным, если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным, если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, бросанием монеты).

Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется партией.

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выиграш или минимально возможный средний прогрыш, независимо от применения стратегий противника.

Повторим, что задача теории игр - нахождение оптимальных стратегий.

Классификация игр представлена на рис. 1.1.

1. В зависимости от видов ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Азартные игры состоят только из случайных ходов - ими теория игр не занимается. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы, или все ходы личные, то такие игры называются стратегическими.

2. В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной - более двух.

3. Участники множественной игры могут образовывать коалиции, как постоянные, так и временные. По характеру взаимоотношений игроков игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные.

Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, и целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального Выигрыша.

Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными.

Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.

1. В зависимости от вида ходов


2. В зависимости от числа игроков


3. По характеру взаимоотношений


4. По количеству стратегий


5. По количеству информации


6. По виду описания игры


7. По сумме выигрышей всех игроков


Рис. 1.1. Классификация игр

В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.

4. По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и бесконечные (множество стратегий каждого игрока бесконечно).

5. По количеству информации, имеющейся у игроков относительно прошлых ходов, игры подразделяются на пары с полной информацией (имеется вся информация о предыдущих ходах) и неполной информацией. Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т.п.

6. По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретных моменты времени. Существуют дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения; поведение объектов описывается дифференциальными уравнениями.

Существуют также рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника.

7. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму выигрышей fi, i=1,N всех N игроков (), то говорят об игре с нулевой суммой. В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой.

Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антогонистической, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно цели этих игроков прямо противоположны.

Конечная парная игра с нулевой суммой називается матричной игрой. Такая игра описывается платежной матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы соответвует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец - номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока).

Конечная парная игра с ненулевой суммой называется биматричной игрокой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.


^ 1.3. Примеры игр

Игра 1. Зачет

Пусть игрок 1 - студент, готовящийся к зачету, а игрок 2 - преподаватель, принимающий зачет. Будем считать, что у студента две стратегии: А1- хорошо подготовиться к зачету; А2 - не подготовиться. У преподавателя имеется тоже две стратегии: В1 - поставить зачет; В2 - не поставить зачет. В основу оценки значений выигрышей игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей.





В1

В2







В1

В2

А1

+ (5)

(оценили по заслугам)

- (-6)

(обидно)




А1

+ (0)

(все нормально)

- (-3)

(проявил несправедливость)

А2

(1)

(удалось словчить)

(0)

(получил по заслугам)




А2

-2

(дал себя обмануть)

- 1

(студент придет еще раз)

Выигрыши студента

Выигрыши преподавателя


Данная игра в соответствии с приведенной выше классификацией является стратегической, парной, бескоалиционной, конечной, с полной информацией, описана в нормальной форме, с ненулевой суммой. Более кратко данную игру можно назвать биматричной.

Задача состоит в определении оптимальных стратегий для студента и для преподавателя.


^ Игра 2. Морра

Игрой “морра” называется игра любого числа лиц, в которой все игроки одновременно показывают (“выбрасывают”) некоторое число пальцев. Каждой ситуации приписываются выигрыши, которые игроки в условиях этой ситуации получают из “банка”. Например, каждый игрок выигрывает показанное им число пальцев, если все остальные игроки показали другое число; от ничего не выигрывает во всем остальных случаях. В соответствии с приведенной классификацией данная игра является стратегической; в общем случае, множественной, в этом случае игра может быть бескоалиционной, коалиционной, и кооперативной, конечной; игрой с нулевой суммой.

В часном случае, когда игра парная - это будет матричная игра (матричная игра всегда является антогонистической).

Что должен делать каждый из игроков, чтобы обеспечить себе максимальный выигрыш?


ТЕСТИ

Верно (В) или неверно (Н)

1. Всякая конфликтная ситуация является антогонистической.

2. Всякая антогонистическая ситуация является конфликтной.

3. Цель теории игр - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.

4. Недостатком теории игр является предположение о полной разумности противников.

5. В теории игр предполагается, что не все возможные стратегии противника известны.

6. Теория игр включает элементы риска, неизбежно сопровождающие разумные решения в реальных конфликтах.

7. В теории игр нахождение оптимальной стратегии осуществляется по многим критериям.

8. Стратегические игры состоят только из личных ходов.

9. В парной игре число стратегии каждого учасника равно двум.

10. Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коалиций без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными.

11. Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.

12. По виду описания игры деляться на игры с полной информацией или игры с неполной информацией.

13. Конечная множественная игра с нулевой суммой называется матричной.

14. Конечная парная игра с нулевой суммой называется биматричной игрой.


(Ответы: 1-Н; 2-В; 3-В; 4-В; 5-Н; 6-Н; 7-Н; 8-Н; 9-Н; 10-В; 11-В; 12-Н; 13-Н; 14-Н.)


Тема 2. Матричные игры


^ 2.1. Описание матричной игры

Наиболее разработанной в теории игр является конечная парная игра с нулевой суммой (антогонистическая игра двух лиц или двух коалиций).

Рассмотрим такую игру ^ G, в которой участвуют два игрока А и В, имеющие антогонистические интересы: выигрыш одного игрока равен проигрышу второго. Так как выигрыш игрока А равен выигрышу игрока В с обратным знаком, мы можем интересоваться только выигрышем а игрока А. Естественно, игрок А хочет максимизировать а, а игрок В - минизировать а. Для простаты отождествим себя мысленно с одним из игроков (пусть это будет игрок А), тогда будем называть игрока В - “противник” (разумеется, никаких реальных преимуществ для А из этого не вытекает).

Пусть у игрока А имеется m возможных стратегий А1, А2, ..., Аm, а у противника - n возможных стратегий В1, В2, ..., Bn (такая игра называется игрой mхn).

Обозначим через aij выигрыш игрока А, в случае, если он воспользуется стратегией Аi и Вj выигрыш aij известен. Тогда мы можем составить прямоугольную таблицу (матрицу), в которой перечислены стратегии игроков и соответствующие выигрыши (рис.2.1).


Bj


Ai


B1


B2


...


Bn

A1

a11

a12

...

a1n

A2

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

...

Am

am1

am2

...

amn


Рис. 2.1.


Если такая таблица составлена, то говорят, что игра ^ G приведено к матричной форме.

Отсюда рассматриваемая игра и получила название матричная. Само по себе приведение игры к такой форме уже может составить трудную задачу, а иногда и невыполнимую, из-за необозримого множества возможных стратегий игроков.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых сводится к решению матричных игр.

^ Игра 1. Угадывание монет

Игра состоит в том, что каждый из двух игроков независимо друг от друга выбирает определенную сторону монеты (“герб” или “решка”), затем одновременно называют свой выбор. Если игроки выбрали одну и ту же сторону монеты, то второй игрок платит первому одну гривню, если разные, то первый платит второму такую же сумму. Легко видеть, что матрица выигрышей (платежна матрица) этой игры имеет вид


Bj


Ai


B1


B2

A1

1

-1

A2

-1

1


Здесь стратегии А1 и В1 - игроки А и В выбирают “герб”, а А2 и В2 - игроки А и В выбирают “решку”.

Нетривиальность сформулированной задачи, как и любой матричной игры, состоит в том, что каждый из игроков делает свой выбор независимо друг от друга.


^ Игра 2. Игра полковника Блотто

Некий полковник Блотто, имея в своем распоряжении 5 условных единиц войска, защищает две равноценные позиции. Его противник численностью 4 условных единиц войска собирается атаковать позиции полковника Блотто. Каждый из противников для защиты и атаки соответствующей позиции может выделять только целое число единиц своего войска. Считается, что если хотя бы на одной из позиций полковник Блотто сосредоточит меньшее число единиц своего войска, чем его противник, то он проигрывает, во всех остальных случаях он выигрывает. Пусть выигрыш полковники Блутто равен 1, а проигрыш - 1, тогда игра сводится к следующей матричной игре:


Bj


Ai


B1


B2


B3


B4


B5

A1

1

-1

-1

-1

-1

A2

1

1

-1

-1

-1

A3

-1

1

1

-1

-1

A4

-1

-1

1

1

-1

A5

-1

-1

-1

1

1

A6

-1

-1

-1

-1

1


Здесь стратегии А1, А2, ..., А6 заключаются в выделении для защиты первой позиции 0, 1, 2, ...,5 условиях единиц войска, соответственно, (остальные единицы войска, естественно, будут защищать вторую позицию). Стратегии В1, В2, ..., В5 заключаются в выделении для атаки на первую позицию 0, 1, ..., 4 единиц войска, соответственно.


^ 2.2. Принцип минимакса в антогонистических играх. Седловая точка

Как отмечалось, важнейшим вопросом в теории игр (в том числе и матричных) является вопрос о выборе оптимальных стратегий для каждого из игроков.

^ Оптимальной стратегией игрока называется такая, которая обеспечивает след максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно и содержит, кроме личных, еще и случайные ходы, оптимальная стратегия обеспечивает максимальный средний выигрыш.

При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что противник является, по мешьшей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все, чтобы добиться своей цели.

Расчет на разумного противника - лишь один из возможных позиций в конфликте, по в теории игр именно она кладется в основу.

При этом для выбора оптимальной стратегии используют принцип минимакса: выбирай ту стратегию, чтобы при наихудшем для нас поведении противника получить максимальный выигрыш.

Принцип минимакса предполагает выбор той стратегии, при которой наш минимальный выигрыш для различных стратегий максимален. Отсюда и название “принцип минимакса”.

Как видно, принцип минимакса - это принцип крайне осторожного игрока, но именно он является основным принципом теории игр.

Для пояснения принципа минимакса рассмотрим пример 1 матричной игры G (4х5) с платежной матрицей, приведенной на рис. 2.

Пример 1.

Bj


Ai


B1


B2


B3


B4


B5


i




A1

5

6

7

4

5

4




A2

3

10

6

5

6

3




A3

12

5

3

9

8

3







A4


6


7


5


6


10


5

максимин

aij

j

12

10

7

9

10

















минимакс

aij














Какой стратегии нам (игроку ^ А) воспользоваться? Есть соблазнительный выигрыш 12, при применении стратегии А3. Но при этом противник может выбрать стратегию В3, и мы получим выигрыш, равный всего трем.

Для определения оптимальной стратегии в соответствии с принципом минимакса, запишем в правом добавочном столбце платежной матрицы минимальное значение i в каждой строке (минимум строки). Из всех значений i (правый столбец) выделим наибольшее. Ему соответствует стратегия А4. Выбрав эту стратегию, мы во всяком случае можем быть уверены, что при любом поведении противника выигрыш будет не менее пяти.

Эта величина - наш гарантированный выигрыш. Он называется нижней ценой игры (или “максимальном” - максимальный из минимальных выигрышей). Будем обозначать его . В нашем примере =aij=5.

Теперь станем на точку зрения противника и порассуждаем за него. Выбирая стратегию, он хотел бы отдать поменьше, но должен рассчитывать на наше, наихудшее для него, поведение.

Припишем к платежной матрице (рис.2.2) нижнюю строку и в ней запишем наихудшее для противника возможные результаты (максимумы столбцов i).

Очевидно, осторожный противник должен выбрать стратегию при которой величина i минимальна. Эта величина называется верхней ценой игры (или “минимаксом” - минимальный из максимальных проигрышей). Будем обозначать ее . В нашем примере =aij=7.

Итак, исходя из принципа осторожности, мы должны выбрать стратегию А4, а противник В3. Такие стратегии называются минимаксными стратегиями (вытекающие из принципа минимакса).

До тех пор, пока обе стороны в нашем примере будут придерживаться своих минимаксных стратегий, выигрыш игрока ^ А и проигрыш игрока В будет равен а43=5.

Легко показать, что нижняя цена игры никогда не превосходит верхней цены игры.

Лемма 1. Пусть задана матрица выигрышей А=ijи определены =aij и =aij.

Тогда

aijaij.

Доказательство. По определению максимума и минимума для любых фиксированных значений i и j имеем

aij aijaij (2.1.)

Поскольку левая часть неравенства (1) не зависит от j, то можем записать

aijaij (2.2.)

Так как правая часть неравенства (1) не зависит от i, то

aij  min aij (2.3.)

Объединяя неравенства (2) и (3), получаем неравенство (1), что и требовалось доказать. Итак, всегда .

Случай =, соответствует наличию у платежной матрицы так называемой седловой точки.

Определение. Точка (i*, j*) называется седловой точкой платежной матрицы ||aij||, если для всех остальных i и j этой матрицы выполняется условие

aij*ai*j*ai*j

Приведем без доказательства следующую теорему.


Теорема 1. Для того чтобы

aij = aij.

необходимо и достаточно, чтобы матрица ||aij|| имела седловую точку. Кроме того, если (i*, j*) - седловая точка матрицы ||aij||, то

ai*j*=aij = aij (2.4.)

Говорят, что матричная игра имеет седловую точку, если соответствующая ей матрица выигрышей (платежная матрица) имеет седловую точку.

Пример 2. Найти решение игры G (3х3), платежная матрица которой имеет следующий вид:

Bj


Ai


B1


B2


B3


i

A1

0

-1

-2

-2

A2

3

2

-1

-1

A3

6

3

0

0

j

6

3

0





Определим i=aij и j=aij и запишем их в таблицу.

Нижняя цена игры =ai =aij =0.

Верхняя цена игры =j =aij =0

Так как ==0, то платежная матрица и матричная игра имеют седловую точку. Оптимальними стратегиями для игрока А является стратегия А3, а для игрока В - В3.

Легко заметить, что отклонение от оптимальной стратегии игрока А приводит к уменьшению его выигрыша, а одностороннее отклонение игрока В - к увеличению его проигрыша.

Могут встречаться случаи, когда платежная матрица имеет несколько седловых точек, однако это не изменит характера рекомендуемых решений, поскольку все ситуации равновесия имеют одну и ту же цену, а следовательно, эквиваленты.

Пример 3. Найти решение игры G (3х4), платежная матрица которой имеет вид:


Bj


Ai


B1


B2


B3


B4


i

A1

7

6

9

6

6

A2

8

4

3

4

3

A3

7

6

8

6

6

j

8

6

9

6





Определим i и j и запишем их в таблицу.

Находим нижнюю и верхнюю цену игры:

=ai =6; =j =6. Видно, что игра имеет четыре седловые точки с соответствующими парами оптимальных стратегий: А1В2; А1В4; А3В2 и А3В4. Цена игры равна 6.


ТЕСТЫ

Верно (В) или неверно (Н)


1. Матричная игра является антогонистической, поскольку выигрыш одного игрока равен проигрышу второго (выигрышу второго с обратным знаком).

2. Название “матричная игра” произошло из-за того, что такая игра описывает платежной функцией в виде матрицы.

3. В матричной игре каждый из игроков делает свой ход независимо от хода противника, предполагая лишь, что противник разумен, как и он сам.

4. Оптимальной стратегией игрока называется такая, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш.

5. Принципом минимакса руководствуются очень азартные и рискованные люди (оптимисты).

6. Принцип минимакса предполагает выбор той стратегии, при которой минимальный выигрыш для различных стратегий максимален.

7. Стратегии, выбираемые из принципа минимакса, называются минимаксными.

8. Нижняя цена матричной игры всегда равна верхней цене.

9. Случай, когда нижняя цена матричной игры равна верхней цене, соответствует наличию у платежной матрицы седловой точки.

10. Платежная матрица игры не может иметь несколько седловых точек.

11. Если платежная матрица игры содержит седловую точку, то ее решение сразу находится по принципу минимакса.


(Ответы: 1-В; 2-В; 3-В; 4-В; 5-Н; 6-В; 7-В; 8-Н; 9-В; 10-Н; 11-В.)


ЗАДАЧИ

1. Составьте платежную матрицу игры Морра, если в ней участвуют два игрока, а максимально возможное количество выбрасываемых пальцев равно i (i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10). Выигрыш равен сумме пальцев выбрашенных игроками.

2. Составьте платежную матрицу игры полковника Блотто, если он имеет в своем распоряжение а условных единиц войска, а противник - в. а=3,4,5,6,7,8,9,10; а соответствующие в=2,3,4,5,6,7,8,9.



Схожі:

Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconКиевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998
Пособие представляет собой конспект лекций. Кроме того, оно содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать...
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconКиевский институт инвестиционного менеджмента
Контрольные задачи для студентов заочной формы обучения из дисциплины “Налоговая система”
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconКиевский институт инвестиционного менеджмента
Использование Украинской системы Internet-коммерции sic (System for Internet Commerce)
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 icon3 июня 2010г г. Киев, ул. Васильковская, 36
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Институт последипломного образования
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconЛ. Ф. Василевич Решение нечётких матричных игр
Таким образом, возникает нечёткая матричная игра. В данной статье предлагается методика решения таких игр и анализа чувствительности...
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconВ. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005 г. 272 с. Воробьев Н. Н. Теория игр лекции
Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005 г. 272 с
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconМинистерство образования и науки краины киевский Институт инвестиционного менеджмента
Реструктуризация рассматривается как комплекс мероприятий чрезвычайного характера, направленного на выживание предприятий в условиях...
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconКонтрольные вопросы по курсу "Исследование операций и теория игр"
Теорема о активных стратегиях. Сведение матричных игр (2 Х n), (m Х 2) к матричной игре (2 Х 2)
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconМинистерство образования и науки украины киевский институт инвестиционного менеджмента кафедра экономики методические указания
Стратегическое управление как концепция управления предприятием разрешает рассмотреть организацию как единое целое, объяснить из...
Киевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998 iconЛекции для экономистов-кибернетиков М.: "Наука".,1985. 271 с. Данилов В. И. Лекции по теории игр: учебное пособие. М.: Российская экономическая школа, 2002. 140 с
Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005 г. 272 с
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи