2 Решение матричной игры (2х2) icon

2 Решение матричной игры (2х2)




Скачати 161.69 Kb.
Назва2 Решение матричной игры (2х2)
Дата08.09.2012
Розмір161.69 Kb.
ТипРешение

2.5. Решение матричной игры (2х2)


Пусть матричная игра G (2x2) имеет платежную матрицу


Bj


Ai


B1


B2

A1

a11

a12

A2

a21

a22


Предположим, что игра не имеет седловой точки, т.е. . При наличии седловой точки решение очевидно, тогда в соответствии с основной теоремой игра имеет оптимальное решение в смешанных стратегиях: SA=||p1, p2|| и SB=||q1, q2||, где вероятности применения чистых (относительные частоты применения) чистых стратегий удовлетворяют соотношениям

p1+p2=1; (2.11.)

q1+q2=1. (2.12.)

В соответствии с теоремой об активных стратегиях, оптимальная смешанная стратегия обладает тем свойством, что обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш, равный цене игры , независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если он не выходит за пределы своих активных стратегий. В частности, если игрок А использует свою оптимальную смешанную стратегию, а игрок В - свою чистую активную стратегию В1, то цена игры равна

а11р121р2= (2.13.)

а при использовании игроком В чистой активной стратегии В2, выигрыш будет равен

а12р122р2= (2.14.)

Уравнения (11), (13) и (14) образуют систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестным:

р1, р2 и 

Р

ешая ее, легко находим, что


(2.15.)



(2.16.)



(2.17.)


Если игрок В использует свою оптимальную смешанную стартегию, а игрок А - свою чистую активную стратегию А1, то цена игры равна

а11q121q2= (2.18.)

а при использовании игроком А чистой активной стратегии А2, выигрыш будет равен

а21q122q2= (2.19.)

Уравнения (2.12), (2.18) и (2.19) образует систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

q1; q2 и 

Решая ее, легко находим, что




(2.20)



(2.21)



(2.22)


Естественно, что в обоих случаях цена игры (выражения (2.17) и (2.22)) получилась одна и та же.

Чтобы соотношения ((2.15), (2.16), (2.17), (2.20), (2.21), (2.22)) имели смысл, необходимо потребовать, чтобы



или



тогда 0
1<1; 0
2<1; 01<1; 02<1

Нетрудно заметить, что в этих неравенствах отражено предположение об отсутствии в рассматриваемой игре седловой точки. Действительно, ни один из четырех выигрышей а11, а12, а21, а22 не может удовлетворить этим неравенствам, будучи минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце.

Решения системы уравнений (2.15), (2.16), (2.17) и (2.20), (2.21), (2.22), полученные алгебраическим методом, удобно получать и графическим методом (рис. 2.4). Для нахождения вероятностей р1, р2 и цены игры v в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывается вероятность р1[0,1], а по оси ординат - соответствующие этой вероятности - выигрыши игрока А.



Рис. 2.4.

При р1=0, игрок А применяет чистую стратегию ^ А2. Если при этом игрок В применяет чистую стратегию В1, то выигрыш игрока А равен а21 (уравнение (13), а если игрок В применяет чистую стратегию В2, то выигрыш игрока А равен а22 (уравнение (14)). При р1=1, игрок А применяет чистую стратегию А1. Если при этом игрок В применяет чистую стратегию В1, то выигрыш игрока А равен а11, а при применении чистой стратегии В2 - а12. Так как значения р1 лежат в пределах [0,1], то соединяя крайние точки для стратегий В1 и В2 (строя графики функций v=(a11-a21)p1+a22 и v=(a12-a22)p1+a22, получаем значения выигрышей игрока А для всех промежуточных значений р1.

В соответствии с принципом максимина, игрок ^ А должен выбрать такую смешанную стратегию, при которой его минимальный выигрыш максимален. Точка N пересечения отрезков прямых (рис. 4) и определяет как оптимальную цену игры vopt, так и оптимальные вероятности p1opt и p2=1-p1opt, соответствующие оптимальной смешанной стратегии игрока А, т.е. дает решения системы уравнений (2.11), (2.13), (2.14).

Для графического решения системы уравнений (2.12), (2.18), (2.19) отложим по оси абсцисс вероятность q1[0,1], а по оси ординат соответствующие этой вероятности выигрыши игрока В:

v=(a11-a12)q1+a12; (2.23)

v=(a21-a22)q1+a22 (2.24)



Рис. 2.5.

Решением являются координат точки М пересечения прямых, описываемых уравнений (2.23) и (2.24):

q1opt:q2opt=1-q1opt и vopt

Это же следует и из принципа максимина, в соответствии с которым игрок В должен выбрать такую смешанную стратегию, при которой его максимальный проигрыш будет минимами.

Для игры G(2х2) с седловой точкой геометрическая интерпретация решения быть представлена, например, следующим образом (рис.2.6.)



Рис. 2.6.

Стратегия В2 игрока В является для него явно невыгодной, так как, применяя ее, он в любой случае проигрывает больше, чем при применении стратегии В1. В данной игре р1opt=1;р2opt=0; vopt11, т.е. игра имеет седловую точку N и решается в чистых стратегиях. Игрок А должен применять стратегию А1, а игрок В - стратегию В1.

На рис. 2.7 показан случай, в котором решением игры для игрока А является чистая стратегия А2, а для игрока В - стратегия В1.



Рис. 2.7

Игра имеет седловую точку N.

Пример: Найти алгебраическим и геометрическим методами решение игры, платежная матрица которой имеет вид


Bj


Ai


B1


B2


i

A1

4

-2

-2

A2

1

3

1

j

4

3





В данной игре нижняя цена игры =1 не равна верхней цены игры =3, поэтому игра не имеет седловой точки и, в соответствии с основной теоремой матричных игр, имеет оптимальное решение в смешанных стратегиях.

Для игрока А, в соответствии с формулами (2.15) и (2.16), оптимальные вероятности применения стратегий А1 и А2 равны:







Для игрока В, в соответствии с формулами (2.20) и (2.21), оптимальные вероятности применения стратегий В1 и В2 равны:







Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков ; , а цена игры в соответствии с формулой (2.22) равна:



Так как , то игра выгодна для игрока А.

Графическое изображение игры для игрока А показана на рис. 2.8.




Рис. 2.8.

Нижняя граница выигрыша игрока А определяется ломаной CND. Оптимальное решение, определяется точкой N, естественно, дает тоже решение, что и алгебраический метод: .

Географическое изображение игры для игрока В показана на рис.2.9.




Рис. 2.9.

Оптимальное решение определяемое точкой М, дает решение .


ЗАДАЧИ

Определите алгебраическим и геометрическим методами оптимальные решения следующих игр 2х2:


1.




B1

B2




2.




B1

B2




3.




B1

B2




A1

5

2







A1

-3

-6







A1

6

9




A2

-1

0







A2

-4

-5







A2

7

8











































4.




B1

B2




5.




B1

B2




6.




B1

B2




A1

0

7







A1

8

6







A1

0

-1




A2

10

4







A2

4

7







A2

-3

0











































7.




B1

B2




8.




B1

B2




9.




B1

B2




A1

-10

-16







A1

7

9







A1

1

2




A2

-12

-14







A2

13

11







A2

4

3











































10.




B1

B2




11.




B1

B2




12.




B1

B2




A1

-3

-2







A1

0

2







A1

-1

1




A2

0

-2







A2

3

1







A2

2

0











































13.




B1

B2




14.




B1

B2




15.




B1

B2




A1

6

-2







A1

4

-5







A1

5

6




A2

-2

6







A2

-5

4







A2

6

5











































16.




B1

B2




17.




B1

B2




18.




B1

B2




A1

4

7







A1

4

-5







A1

8

-1




A2

5

4







A2

-4

5







A2

1

9











































19.




B1

B2




20.




B1

B2




21.




B1

B2




A1

6

9







A1

1

-3







A1

4

-2




A2

13

11







A2

-8

5







A2

-3

5











































22.




B1

B2




23.




B1

B2




24.




B1

B2




A1

5

8







A1

6

9







A1

2

5




A2

7

6







A2

8

7







A2

3

4











































25.




B1

B2




26.




B1

B2




27.




B1

B2




A1

0

-3







A1

12

3







A1

4

-5




A2

-1

0







A2

9

7







A2

1

-1







Схожі:

2 Решение матричной игры (2х2) icon2. матричные игры описание матричной игры
Наиболее разработанной в теории игр является конечная парная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра двух лиц или двух коалиций),...
2 Решение матричной игры (2х2) icon2. матричные игры описание матричной игры
Наиболее разработанной в теории игр является конечная парная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра двух лиц или двух коалиций),...
2 Решение матричной игры (2х2) icon2. матричные игры описание матричной игры
Наиболее разработанной в теории игр является конечная парная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра двух лиц или двух коалиций),...
2 Решение матричной игры (2х2) icon1 Основы способа наименьших квадратов. 4
Уравнения поправок и нормальные уравнения в матричной записи. Решение нормальных уравнений. 11
2 Решение матричной игры (2х2) iconДокументи
1. /возрастная психология/Абрамова Г. практикум по возраст психологии.doc
2. /возрастная...

2 Решение матричной игры (2х2) iconДокументи
1. /возрастная психология/Абрамова Г. практикум по возраст психологии.doc
2. /возрастная...

2 Решение матричной игры (2х2) iconДокументи
1. /возрастная психология/Абрамова Г. практикум по возраст психологии.doc
2. /возрастная...

2 Решение матричной игры (2х2) iconДокументи
1. /возрастная психология/Абрамова Г. практикум по возраст психологии.doc
2. /возрастная...

2 Решение матричной игры (2х2) icon5. Бескоалиционные игры
Антогонистические игры, которые рассматривались в предыдущих главах книги, описывают конфликты частного вида, которые не всегда адекватны...
2 Решение матричной игры (2х2) icon5. Бескоалиционные игры
Антогонистические игры, которые рассматривались в предыдущих главах книги, описывают конфликты частного вида, которые не всегда адекватны...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи