Для случаев, когда icon

Для случаев, когда




Скачати 137.71 Kb.
НазваДля случаев, когда
Дата09.09.2012
Розмір137.71 Kb.
ТипДокументи

Для определения ситуаций, приемлемых одновременно как для первого, так и для второго игроков, удобно все найденные приемлемые ситуации представить на единичном квадрате (рис. 5.3).


P3

1




P2


P1


q

1



Рис. 5.3.


Для случаев, когда а11 + а22а12а21  0 и b11 + b22b12b21  0 приемлемые ситуации игроков 1 и 2 составляют трехзвенные зигзаги. Причем, ситуации равновесия во вполне смешанных стратегиях игрока 2 совпадают с поведением игрока 1 в матричной игре с матрицей выигрыша А, а поведение игрока 1 – с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей В.

Таким образом, описанное равновесное поведение игроков оказывается ориентированным не столько на максимализацию собственного выигрыша, сколько на минимизацию выигрыша противника. Так, “антогонизм поведения” может возникнуть и при отсутствии “антогонизма интересов”.

В приведенном на рис. 5.3. решении игры являются три ситуации, соответствующие точкам Р1, Р2, Р3.

Если бы зигзаги приемлемых ситуаций были одинаковой ориентации, как показано на рис. 5.4, то пересечение приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2 состояло бы из одной точки Р.

P


1


P


q

1

Рис. 5.4.


При решении биматричных игр большей размерности необходимо решать большую систему линейных неравенств, определяемых выражениями (5.6), (5.7) и (5.8), (5.9), а затем таким же конечно-рациональным путем находить точки пересечения приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2.

Причем, любая конечная бескоалиционная игра имеет конечное и нечетное чисто ситуаций равновесия (решений игры).


5.5. пример решения биматричной игры

Формулировка игры “Борьба за рынки”

Небольшая фирма (игрок 1) намерена сбыть крупную партию товара на одном из двух рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок 2). Для этого оно может предпринять на одном из рынков соответствующие действия (например, развернуть рекламную кампанию). Господствующий на рынках игрок 2 может попытаться воспрепятствовать этому, предприняв на одном из двух рынков предупредительные меры. Игрок 1, не встретивший на рынке препятствий, захватывает его; встретившись с сопротивлением – терпит поражение. Выборы фирмами рынков являются их стратегиями.

Пусть проникновение игрока 1 на первый рынок более выгодно для него, чем проникновение на второй, но борьба за первый рынок требует больших средств. Например, победа игрока 1 на первом рынке принесет ему вдвое больший выигрыш, чем на втором, но зато поражение на первом рынке полностью его разоряет (проигрыш равен 10), а игрока 2 избавляет от конкурента (выигрыш равен 5).

Описанная биматричная игра может быть задана матрицами выигрышей



Решение игры. В соответствии с выражениями (5.6) и (5.7) приемлемыми ситуациями для игрока 1 будут те, которые удовлетворяют условиям



Рассмотрим три случая.

а) р=1 (X=|1, 0|). В соответствии с выражением (5.10) имеем



Откуда .

б) р = 0 (X=|0, 1|). В соответствии с выражением (5.11) имеем



или .

в) 0 р1 (X=|р, 1 – р|). В соответствии с выражением (5.12) или в развернутом виде (5.19) получаем



Приемлемые ситуации для игрока 2 в соответствии с выражениями (5.26), (5.27) и 5.27 следующие:

а)

б)

в)

Множества всех приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2 изображены на рис. 5.5 (для игрока 2 соответствующее множество показано пунктиром).


Р


1


2/9


0

3/14

1

q

Рис. 5.5.

Задачи приемлемых ситуаций пересекаются в единственной точке , которая и оказывается единственной ситуацией равновесия.


5.6. Метастратегии и метарасширения

Смешанные стратегии определяются как случайные величины, реализующиеся в виде чистых стратегий. Дальнейшее расширение понятия стратегии сводится к пониманию новых, обобщенных стратегий, как функции, в которой исходные стратегии принимаются константами. В качестве аргументов, от которых целесообразно рассматривать функции – стратегии, можно брать стратегии других игроков.

Далее мы ограничимся случаем, когда каждый раз рассматривается функция от стратегии только одного игрока.

Определение 8. В бескоалиционной игре всякая функция Fkij : Xk  Xj (которая исходя из стратегии Xk игрока k определяет стратегию Xj игрока j называется метастратегией игрока j (в ответ на стратегию игрока k).

Содержательно всякую метастратегию Fkj можно понимать как способ выбора игроком j некоторой своей стратегии в зависимости от получаемой им информации о стратегии, выбираемой игроком k. Если рассматривать ситуацию в бескоалиционной игре как некоторое соглашение, некоторый договор между игроками, а общую стратегию – как принимаемое на себя в договоре обязательство, то метастратегию можно понимать как своего рода условное обязательство: “в случае если игрок k поступит так-то, я, игрок і, выбираю такую-то свою стратегию, а если этак-то, то такую-то”.

Очевидно, множество всех метастратегий і в ответ на стратегию k можно изобразить в степени множеств .

Определение 9. Бескоалиционные игры G, с тем же множеством игроков I, что и игра  называется метаигрой над игрой  (метарасширением игры Г), если про некоторых j, kI



и для любой метастратегии yiYi и любого игрока іI

,

где xk – стратегия игрока k, входящая в ситуацию j, Н – функция выигрышей в игре Г.

Очевидно, процесс образования метаигр (метарасширений игр) поддается неограниченному интегрированию: от метаигры можно переходить к ее метаигре (называемой второй метаигрой), от нее к третьей метаигре и т.д. В этом отношении метарасширения игр отличаются большим разнообразием, им смешанные расширения.

Для метастратегических расширений докажем следующие важные теоремы.

Теорема 3. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем первом метарасширении ситуации равновесия.

Доказанная теорема не противоречит той возможности, что ситуацией равновесия может обладать уже сама исходная игра Г.

Теорема 4. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем третьем метарасширении ситуацию, которая является одновременно ситуацией равновесия и оптимальной по Парето.

Пример. Биматричная игра 2х2 имеет следующие матрицы выигрышей игроков А и В:



В соответствии с выражениями (5.17), (5.18) и (5.ё5) находим приемлемые ситуации (X,Y) игрока 1:

а) (q может быть в любом интервале [0, 1];

б) (ситуация невозможна);

в) (ситуация невозможна).

В соответствии с выражениями (5.25), (5.27) и (5.28) находим приемлемые ситуации (X,Y) игрока 2:

а) (р может быть любым в интервале [0, 1];

б) (ситуация невозможна);

в) (ситуация невозможна);

Д
Р
ля наглядности на рис. 5.6 изображены зигзаги, описывающие и невозможные ситуации за пределами допустимых изменений вероятностей p,q).


Р

1


-1

1

q


-1

Рис. 5.6.


Единственной ситуацией равновесия в рассматриваемой игре оказывается ситуация (1,1). В этой ситуации каждый из участников теряет 8. Вместе с тем очевидно, что в ситуации (0,0) каждый игрок теряет лишь по единице. Однако эта ситуация неустойчива, каждый игрок, изменяя в ней произвольным образом свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.

М
Н1
ножество всех реализуемых векторов выигрышей для рассматриваемой игры имеет вид, изображенный на рис. 5.7.

–10


Н2



–10

Рис. 5.7.


Очевидно, что ситуации с выигрышами (–1,–1), (–10,0), (0,–10) являются оптимальными по Парето. При этом первая из них, в которой получаются наибольшие выигрыши (–1,–1) для каждого из игроков лучше, чем равновесная.

Противоречие между осуществимостью ситуации, выражаемой в виде равновесности и ее выгодности, которой соответствует оптимальность по Парето, имеет по существу ту же природу, что и противоречие между максиминным и минамаксным выигрышами. Поэтому оно должно разрешаться при помощи аналогичных приемов, состоящих в расширении уже имеющихся стратегий, т.е. к переходу к метарасширениям.

Первая метастратегия игрока 2 состоит в выборе им своей второй стратегии в ответ на вторую стратегию игрока 1 и первой стратегии в ответ на первую.

Вторая метастратегия игрока 1 состоит в выборе им второй своей стратегии, если игрок 2 выберет ту же стратегию, что и 1 и в выборе им своей первой стратегии во всех остальных случаях.

Содержательно это можно представить себе так, что игрок 2 исходит из тезиса “око за око”, а игрок 1 – из более изощренных соображений, которые можно расценить как эгоцентризм (“поддерживать тех, кто действует так же, как я) и ксенофобию (“выступаю против всех тех, кто действует иначе, чем я”).


ТЕСТЫ

Верно (В) или неверно (Н)?


1. В бескоалиционных играх могут рассматривать конфликты двух и более игроков.

2. В бескоалиционных играх могут рассматриваться конфликты только с нулевой суммой.

3. Конечная бескоалиционная игра двух игроков с ненулевой суммой называется биматричной игрой.

4. В бескоалиционных играх принцип максимина не всегда является принципом, по которому находится решение игры.

5. Ситуация в бескоалиционной игре, приемлемая для всех игроков, называется ситуацией равновесия.

6. В бескоалиционных играх как оптимальные следует квалифицировать не действия того или иного игрока, а совокупность действий всех игроков.

7. В бескоалиционной игре решение игры – это, чаще, нахождение ситуаций равновесия.

Игроку в бескоалиционной игре может быть выгодным информировать противника о своей стратегии.

9. В оптимальной по Парето ситуации игроки могут совместными усилиями увеличить выигрыш какого-либо из игроков, сохранив выигрыши всех остальных игроков.

10. Ситуация равновесия не отличается от ситуации оптимальной по Парето.

11. Ситуации оптимальные по Парето находить труднее, чем ситуации равновесия в той же бескоалиционной игре.

12. В бескоалиционной игре кооперация игроков может быть им невыгодна.

13. В теореме Нэша утверждается, что в каждой бескоалиционной игре существует хотя бы одна ситуация равновесия в классе смешанных стратегий.

14. Любая конечная бескоалиционная игра имеет конечное и четное число ситуаций равновесия.

15. Метастратегия понимается как способ выбора игроком j своей стратегии в зависимости от получаемой им информации о стратегии, выбираемой игроком k.

16. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своей первом метарасширении ситуации равновесия.

17. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своей третьем метарасширении ситуацию, которая является одновременно ситуацией равновесия и оптимальной по Парето.

Ответы: 1 – В; 2 – Н; 3 – В; 4 – В; 5 – В; 6 – В; 7 – В; 8 – В; 9 – Н; 10 – Н; 11 – Н; 12 – В; 13 – В; 14 – Н; 15 – В; 16 – В; 17 – В.


ЗАДАЧИ

І. Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые на Нэшу для следующих биматричных игр:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

ІІ. Решить бескоалиционную игру “Экологический конфликт”.

Формулировка игры. Два промышленных предприятия (А и В), расположенные вблизи обширного водоема, берут из него воду для технических нужд и после использования сбрасывают ее обратно в водоем. Если суммарный объем сбрасываемой (загрязненной) воды не превышает некоторого предела , то происходит ее естественное очищение, и общий водные ресурс сохраняется. Если же указанный предел нарушен, то загрязненность водоема интенсивно растет. Возникает проблема его восстановления за счет предприятия и уплаты штрафов, общая стоимость чего составляет .

Чтобы избежать неприятных последствий, приходится строить очистные сооружения, состоящие из отдельных стандартных блоков, рассчитанных на определенные объемы пропускаемой через них воды (пусть каждый блок восстанавливает 25% используемой воды). Затраты на приобретение, монтаж и эксплуатацию одного блока равна С.

Суть конфликта, возникающего между предприятиями, сводится к их стремлению обеспечить себе благоприятные условия деятельности путем более свободного расходования природной воды. Это отрицательно влияем на состояние источника и через него – на ход производства, качество продукции обоих предприятий. Все оказывается взаимосвязанным, и появляется заинтересованность в поиске решений, приемлемых для конфликтующих сторон, хотя никакой договоренности между ними быть не может.

Математическая модель. Данный конфликт можно представить как бескоалиционную игру двух лиц следующим образом.

Пусть количество воды, потребляемой каждым предприятием в его технологическом цикле равно единице (100 т, 10 цистерн, и т.д.). Количество очищаемой воды составляет 1 – х на предприятии А; 1 – y на предприятии В, где чистые стратегии игрока А  = |0; 0,25; 0,5; 0,75; 1|, в зависимости от числа применяемых очистных блоков. Чистые стратегии игрока В Y = |0; 0,25; 0,5; 0,75; 1|.

Расходы предприятия А составляют:

4С(1 – х), если х + у  ;

4С(1 – х) + , если х + у  ,

а расходы предприятия В –

4С(1 – у), если х + у  ;

4С(1 – у) + , если х + у  .

Данные формулы позволяют составить платежные матрицы игроков А и В. Для случая имеем

В

А


у4


у3


у2


у1


у0


х4









4С+

2С+

4С+

С+

4С+




х3





3С+

3С+

3С+

2С+

3С+

С+

3С+




х2

2С+

4С+

2С+

3С+

2С+

2С+

2С+

С+

2С+




х1

С+

4С+

С+

3С+

С+

2С+

С+

С+

С+




х0



4С+



3С+



2С+



С+






Индекс при чистых стратегиях игроков указывает на количество используемых очистных блоков (например х3 – предприятие А использует 3 очистных блока; у0 – предприятие В не использует ни одного очистного блока).

Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации равновесия по Нэшу при следующих исходных данных:

9. С  ; 10. С  ;

11. 5С = ; 12. 5С = ; ;

13. 4С = ; ; 14. 2С = ; ;

15. 2С = ;; 16. С = 3; ;

17. С = 2; ; 18. С = ; ;

19. С = ; ; 20. С = 4; .

Найти множества всех ситуаций равновесия в следующих биматричных играх:

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

Схожі:

Для случаев, когда iconДля случаев, когда
Для определения ситуаций, приемлемых одновременно как для первого, так и для второго игроков, удобно все найденные приемлемые ситуации...
Для случаев, когда iconТесты по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Используя общую теорему повторения опытов, можно найти вероятность того, что событие а появится в n опытах ровно m раз для случаев,...
Для случаев, когда iconVii менингеальный синдром в клинике инфекционных болезней. Дифференциальная диагностика серозных и гнойных менингитов. Онгм. Менингококковая инфекция продолжительность
Актуальность темы. Менингококковую инфекцию в виде спорадических случаев или небольших эпидемических вспышек регистрируют во всех...
Для случаев, когда iconА. Ф. Хохловым положение о кураторе академической группы
Вузе является куратор академической группы, особенно на 1-2 курсах обучения, когда происходит адаптация вчерашнего школьника к новым...
Для случаев, когда iconV. “Детские” капельные инфекции у взрослых. Корь. Краснуха. Вирусная паротитная болезнь Продолжительность
Проблем здравоохранения не только в странах, которые развиваются, но и в ряде развитых стран. В мире ежегодно регистрируется свыше...
Для случаев, когда iconУдк 338. 48-44(47+57-87) А. Д. Попов
Такие ограничения действительно имели место, и когда речь шла о служебных поездках, и когда человек отправлялся за рубеж с личными...
Для случаев, когда iconКонституция сирийской арабской республики
Арабская нация смогла сыграть великую роль в строительстве человеческой цивилизации, когда она была единой. Когда узы ее национальной...
Для случаев, когда iconSdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума)
Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума). Если в окружении точки вторая производная непрерывная, причем, а, то функция имеет...
Для случаев, когда iconТеорема 4 (второй достаточный признак экстремума)
Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума). Если в окружении точки вторая производная непрерывная, причем, а, то функция имеет...
Для случаев, когда iconТемы рефератов по дисциплине «Основы охраны труда» специальности «Менеджмент организаций» для 5 курса заочной формы обучения
Производственный травматизм и профессиональные заболевания (расследование случаев, анализ, профилактика, пути предупреждения)
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи