6 задачи и решения icon

6 задачи и решения




Скачати 99.92 Kb.
Назва6 задачи и решения
Дата11.09.2012
Розмір99.92 Kb.
ТипДокументи


6.8. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

6.8.1. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ

1. Через точку (6; 9; – 2) провести плоскость, параллельную плоскости

11x – 2y + 3z = 0. ▄

Общее уравнение плоскости имеет вид

A(x – x0) + B(y – y0) +C(z – z0) = 0,

где (x0,y0,z0) – координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора нормали к плоскости. Исходя из условия задачи, можем в качестве (x0,y0,z0) использовать (6; 9; – 2). Далее заметим, что у двух параллельных плоскостей векторы нормалей также параллельны, в частности, могут и совпадать. Следовательно, плоскость: 11(x – 6) – 2(y – 9) + 3(z + 2) = 0 удовлет-воряет всем условиям задачи.

2. Через точку (5; – 1; – 1) провести прямую, перпендикулярную плоскости 8x + 2y + 4z – 11 = 0. ▄

Общий вид канонического уравнения прямой:

,

где (x0,y0,z0) – некоторая (базовая) точка, через которую проходит заданная прямая, а = (m; n; p) – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор). Поскольку одна точка нам задана, то можем ее принять за базовую, тогда уравнение искомой прямой примет вид

.

Таким образом, нам осталось определить координаты направляющего вектора прямой. Так как по условию прямая должна быть перпендикулярна плоскости 8x + 2y + 4z – 11 = 0, то она сама и ее направляющий вектор должны быть параллельны нормали к этой плоскости (8; 2; 4). Поскольку длина направляющего вектора несущественна, в качестве такого вектора можно взять вектор нормали к плоскости. Окончательно получим уравнение искомой прямой

.

3. Через точку (7; 0; – 3) провести плоскость, перпендикулярную к прямой

. ▄

Общее уравнение плоскости имеет вид

A(x – x0) + B(y – y0) +C(z – z0) = 0,

где (x0,y0,z0) – координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора нормали к плоскости. Исходя из задачи, можем в качестве координат точки на плоскости (x0,y0,z0) использовать заданные координаты (7; 0; – 3). Тогда уравнение плоскости приобретет вид

А(x – 7) + В(y – 0) + С(z + 3) = 0.

Далее, заметим, что поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны, вектор нормали к искомой плоскости параллелен данной прямой. Следовательно, нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой также должны быть параллельны, в частности, могут и совпадать. Чтобы определить координаты направляющего вектора необходимо привести уравнение прямой к каноническому виду, для чего следует в первом отношении (левой части уравнения прямой) числитель и знаменатель разделить на коэффициент при переменной х. Получим уравнение1

.

Следовательно, вектор (– 2; 0; 2) – направляющий вектор исходной прямой – можно использовать в качестве нормали к плоскости. Таким образом, окончательно получим

– 2(x – 7) + 2(z + 2) = 0.

4. Через точку (– 2; 5; 3) провести прямую, параллельную прямой

. ▄

Прежде всего, приведем уравнение данной прямой к каноническому виду

,

где (x0,y0,z0) – некоторая (базовая) точка, через которую проходит заданная прямая, а = (m; n; p) – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор). Для этого поделим числитель и знаменатель первого отношения на коэффициент при x, а второго отношения на коэффициент при y. Получим

.

Поскольку одна точка на искомой прямой нам задана, то можем ее принять за базовую. А так как искомая прямая параллельна данной, то и их направляющие векторы параллельны, в частности, могут и совпадать. Таким образом, получим уравнение искомой прямой

.

5. На плоскости через точку (0; – 3) провести прямую, параллельную прямой



Поскольку направляющий вектор искомой прямой такой же, как у заданной прямой, и базовая точка дана, можем сразу же написать уравнение искомой прямой – оно получится в той же форме, что и уравнение заданной прямой2

.

6. На плоскости через точку (0; –3) провести прямую, перпендикулярную прямой

. ▄

Так как требуется найти уравнение прямой перпендикулярной к данной, то целесообразно искать его в альтернативной форме: если исходная прямая записана через направляющий вектор (как прямая в пространстве), то уравнение искомой прямой целесообразно искать через нормаль (как плоскость в пространстве). Так как прямые перпендикулярны, то нормаль к искомой прямой параллельна направляющему вектору заданной прямой, в частности, эти векторы можно считать равными. Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид: 5x + 4(y + 3) = 0

^ 6.8.2. ВЕКТОРЫ, ДЛИНЫ, ОБЪЕМЫ

1 Вектор спроектировать на прямую L (вычислить длину проекции).

L:

Вычислить проекцию вектора на прямую значит найти проекцию данного вектора на какой-либо вектор, параллельный прямой; в качестве такого вектора можно взять координаты направляющего вектор прямой. Если уравнение прямой записано в каноническом виде

,

то координаты направляющего вектора равны (m; n; p), в противном случае надо уравнение привести к каноническому виду. В случае прямой L необходимо числитель и знаменатель в первом отношении поделить на 2. Получим:

.

Теперь задача проектирования вектора на прямую сведена к задаче проектирования вектора на вектор. Длина проекции вектора на вектор

.

2. Вычислить угол между произведением [] и прямой

; причем

Векторное произведение двух векторов вычисляется как определитель, в первой строке которого стоят базисные векторы, а во второй и третьей строке – координаты векторов-сомножителей.

Угол между вектором и прямой вычисляется как угол между вектором и направляющим вектором прямой . Используя скалярное произведение, получим



Т. е. угол между векторным произведением и прямой равен 0.46 рад.

3. Определить площадь треугольника ABC:

. ▄

Площадь треугольника вычисляется как половина площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения. Поэтому по трем вершинам треугольника вычислим координаты векторов-сторон .

;



4. Определить объём параллелепипеда ABCD A1B1C1D1



Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю определителя, по столбцам которого стоят координаты этих векторов. По заданным четырем не лежащим в одной плоскости вершинам параллелепипеда можем построить три необходимых вектора. Для этого выберем одну вершину (например, А) в качестве начала, тогда в качестве трех порождающих параллелепипед векторов возьмем , координаты которых вычисляются как разности координат конечной и начальной точек.

.

Теперь мы можем вычислить объем как модуль определителя3

.

Отметим, что таким же способом решается вопрос о независимости трех данных трехмерных векторов (столбцов высоты три). Если три вектора зависимы, то они лежат в одной плоскости. Тогда объем параллелепипеда, построенный на этих векторах, равен нулю (параллелепипед сплющился в параллелограмм). То есть, нужно вычислить определитель, по столбцам(строкам) которого стоят координаты векторов, и если он не равен 0, то вектора независимы, иначе – зависимы.

Вопрос о принадлежности четырех данных точек одной плоскости решается вполне аналогично. Выбрав одну из них в качестве начальной, по четырем точкам строим три вектора, вычисляя разности соответствующих координат. Таким образом, вопрос о принадлежности четырех точек одной плоскости сводится к уже изложенному вопросу о независимости трех векторов.

5. Провести плоскость через следующие три точки



Напомним, что уравнение плоскости имеет вид:

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0,

где (x0,y0,z0) – координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора-нормали к плоскости. Таким образом, задача нахождения уравнения плоскости сводится к определению вектора-нормали и какой-либо точки, принадлежащей плоскости. В качестве такой точки можно взять любую из данных, например, A. Для нахождения нормали воспользуемся тем, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, в которой они лежат. В качестве таких векторов возьмем .



Мы вычислили определитель путем разложения по элементам третьей строки – это наиболее удобно, поскольку она содержит два нуля. Далее, мы учли что jk = 0i + 1j – 1k; отсюда и получился приведенный выше вектор столбец. Теперь, располагая координатами точки и нормали, напишем уравнение искомой плоскости

0(x-2) + 1(y-1) – (z-0) =0  (y-1) – z = y – z – 1 = 0.

6. Определить угол между двумя плоскостями




Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями, который вычисляется через скалярное произведение аналогично тому, как это было сделано в примере 2 настоящего раздела. Отметим, что отсутствие переменной z во втором уравнении означает, что третья координата вектора-нормали равна нулю.




7. Определить угол между двумя прямыми:




Легко заметить (см. предыдущую задачу), что по форме эти уравнения похожи на уравнение плоскости в пространстве. Следовательно, речь идет об уравнениях прямых на плоскости, которые заданы с помощью вектора-нормали; нормаль к первой прямой – вектор , а ко второй – вектор . Аналогично предыдущему угол между двумя прямыми равен углу между нормалями к ним, который в свою очередь вычисляется через скалярное произведение



Задача определения угла между прямой и плоскостью также решается подобным образом – она сводится к нахождению угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой . Отметим важное отличие – угол между прямой и плоскостью не равен углу между и , а дополняет его до .

^ 6.8.2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Дана квадратичная форма F(x1,x2) = a11x12 + a12x1x2 + a22x22. Выяснить, является ли она положительно определенной методом Сильвестра и методом собственных значений.

1. В соответствии с критерием Сильвестра, для того, чтобы квадратичная форма F была положительно (или отрицательно), определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные (диагональные) миноры матрицы формы А были одного знака

4

Пусть F(x1,x2) = 11x12 + 8x1x2 + 5x22. Прежде всего, запишем матрицу А квадратичной формы. В этой матрице элементы a11, a12 совпадают с одноименными коэффициентами квадратичной формы, но a12 и a21 получим, деля коэффициент a12 формы на 2.

Вычислим ее главные миноры:

Т. к. оба главных минора больше 0, то по критерию Сильвестра форма положительно определена.

2. Для того, чтобы форма F(x1,x2) была положительно (отрицательно) определена, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы А были вещественны и положительны (отрицательны). Решая характеристическое уравнение det(A – E) = 0, получим



Т. к. все собственные числа матрицы А больше нуля, форма положительно определена.



1 В уравнении прямой может появиться 0 в знаменателе (на 0 можно делить!), т. к. реального деления не происходит. 0 в знаменателе указывает на то, что прямая перпендикулярна оси (в данном случае – оси Y), и координата y вдоль прямой не изменяется, оставаясь равной –1. Т. е., если 0 оказался в знаменателе отношения, то и в числителе такого отношения должен стоять 0.

2 Напомним, что для прямой на плоскости есть две формы канонического уравнения – через нормаль и через параллельный (направляющий) вектор.

3 Мы вычисляем определитель путем разложения по элементам третьего столбца.

4 Здесь показано, как выглядит критерий для положительно определенной формы; при отрицательной определенности знаки неравенств чередуются, причем .


Схожі:

6 задачи и решения icon1. Работа посвящена проблеме создания системы управления технологическим процессом производства сложных минеральных удобрений
Информационный обзор существующих технологий решения этой задачи показывает, что нейросетевая технология является одним из наиболее...
6 задачи и решения icon2 Выбор метода решения задачи
Появление такого рода акцентов в процессе проектирования и разработки корпоративных систем приводит к необходимости решения следующей...
6 задачи и решения iconАлгоритм муравья для решения задачи коммивояжера
Для кооперации агенты используют «фермент», оставляемый на гранях транспортной сети, в процессе поиска оптимального решения. Алгоритм...
6 задачи и решения iconРешение прямой задачи представлено следующими симплекс-таблицами: бп
Получение оптимального решения двойственной задачи с помощью симплекс-таблиц прямой задачи
6 задачи и решения iconРешение прямой задачи представлено следующими симплекс-таблицами: бп
Получение оптимального решения двойственной задачи с помощью симплекс-таблиц прямой задачи
6 задачи и решения iconРешение по методу Денавита Хартенберга было очень громоздким и потому решили его упростить. Как известно, решение прямой задачи намного проще решения обратной, потому очертим метод решения только обратной задачи
Украине внедряются разные типы роботов и станков. Это позволяет предприятиям уменьшить процентное соотношение брака продукции и увеличить...
6 задачи и решения iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
6 задачи и решения iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
6 задачи и решения iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
6 задачи и решения iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи