Основи математичної статистики icon

Основи математичної статистики




НазваОснови математичної статистики
Сторінка1/7
Дата11.09.2012
Розмір0.65 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ



Математична статистика - це наука, що займається методами обробки результатів досвідів або спостережень над випадковими явищами.

Хоча апарат математичної статистики зв'язаний із випадковими явищами, але на відміну від теорії імовірностей методи математичної статистики дозволяють охарактеризувати випадкове явище по його обмеженій вибірці.

Маючи статистичний матеріал n вимірів якогось випадкового розміру (вибірку), необхідно вирішити наступні основні задачі:

1) представити статистичний матеріал у найбільше зручному вигляді;

2) оцінити невідомі характеристики досліджуваного випадкового розміру;

3) перевірити статистичні гіпотези про параметри або природу аналізованої моделі.

Таким чином, математична статистика допомагає досліднику краще розібратися в досвідчених даних, отриманих у результаті спостережень над випадковими явищами: оцінити значимі або не значимих що спостерігаються факти; прийняти або відкинути ті або інші гіпотези про природу явища.

Водночас методи математичної статистики широко застосовуються для опрацювання стистичних даних, що не мають ймовірної природи, тому вони широко застосовуються в багатьох галузях людської діяльності: політиці, економіці, фінансах, медицині, військовій справі й ін.

^

1. Основні поняття математичної статистики. Представлення даних


Результат n незалежних вимірів випадкового розміру X являє собою вибірку (x1, x2, ... , xn) із теоретично безкрайньої генеральної сукупності, розподіл ознаки в який збігається з теоретичним розподілом ймовірностей величини Х. Остання називається розподілом генеральної сукупності, а його параметри - параметрами генеральної сукупності. У більшості додатків теоретична генеральна сукупність є ідеалізація дійсної сукупності, із якого отримана вибірка. Якщо експеримент охоплює генеральну сукупність об'єктів, то отриманий набір експериментальних даних зветься генеральною вибіркою.

Перше, що потрапляє в руки аналітика - це протокол у який зареєстровані: номер досвіду i і значення х1, що прийняла в цьому досвіді випадковий розмір Х. Такий протокол, поданий у виді таблиці або виді вектори, називають первинною статистичною сукупністю. При великому числі досвідів n розгляд і осмислювання таблиць або векторів первинної статистичної сукупності важко, тому роблять її упорядкування. Наприклад, розміщають елементи таблиці або вектори в порядку зростання випадкового розміру. У такий спосіб одержують упорядковану статистичну сукупність. Розмах вибірки є різниця між найбільшим і найменшим значенням х1.

По упорядкованій статистичній сукупності вже можна побудувати статистичну функцію розподілу:



Функція - розривна східчаста функція, рівна нулю лівіше найменшого спостереженого значення випадкового розміру Х и одиниці, правіше найбільшого. Теоретично вона повинна мати n стрибків, де n - число досвідів (розмір вибірки), а величина кожного скачка повинна бути рівної - частоті що спостерігається значення випадкового величини n. Практично, якщо те саме значення спостерігалося декілька разів, що відповідають стрибки зливаються в один, так що загальне число стрибків дорівнює числу різних спостережених значень випадкового розміру. Розмір стрибка в кожній точці дорівнює , де e - число повторень значення в отриманій вибірці.

Очевидно, що інші n досвідів дали б декілька інший графік функції , але загальна тенденція збереглася б. При необмеженому збільшенні n крива буде наближатися (сходитися по імовірності) до функції розподілу cлучайной розміри Х. На практику застосовуються інші, більш прості способи побудови законів розподілу випадкового розміру .

Для того, щоб скласти собі загальне уявлення про закон розподіли випадкового розміру X, нема чого фіксувати кожне спостережене значення і будувати статистичну функцію розподілу. Цим цілям краще служать групований статистичний ряд і гістограма.

Для побудови групованого статистичного ряду вся ділянка осі абсцис, на якому розташовані значення випадкового розміру X, що спостерігалися в досвіді, діляться на ділянки або “розряди”. Довжини розрядів необов’язково брати рівними друг другу: бувають випадки, коли на ділянках осі абсцис, де спостережені значення X розташовуються гущавині, зручніше брати розряди більш дрібними, а там де рідше - більш великими (або об'єднувати два або більш рівних по довжині розрядів в один). Межа розрядів зручно брати “круглими” числами.

^ Групованим статистичним пору називається таблиця, де у верхньому рядку зазначені розряди: від і до, у нижньої - відповідні їм частоти:





























причому

Частота події обчислюється як відношення числа досвідів, у яких випадковий розмір потрапив у -й розряд до загального числа проведених досвідів:

.

Якщо значення випадкового розміру потрапило в точності на межу між розрядами, те її можна віднести або до лівого розряду, або до правого (адже імовірність того, що безупинний випадковий розмір прийме заздалегідь задане значення, дорівнює нулю). Можна використовувати і “симетричне правило”: якщо значення випадкового розміру потрапило в точності на межу розрядів, то розділити його нарівно між сусідніми розрядами і додати по до чисел для обох розрядів.

Число розрядів, на які варто групувати статистичні дані, не повинно бути занадто великим ( тоді ряд розподілу стає занадто невиразним, і частоти в ньому виявляють незакономірні коливання); з іншої сторони воно не повиннео бути занадто малим (при цьому властивості розподілу описуються занадто грубо). Практика показує, що в більшості випадків раціонально вибирати число розрядів порядку .

Групований статистичний ряд часто оформляється графічно у виді так називаної гістограми - статистичного аналога кривої розподілу. Гістограма будується в такий спосіб. По осі абсцис відкладаються розряди і на кожному розряді як його підстава будується прямокутник, площа якого дорівнює частоті даного розряду (висота прямокутника дорівнює частоті даного розряду , розділеної на його довжину ). З способу побудови гістограми випливає, що повна площа її дорівнює одиниці.

Очевидно, що при збільшенні числа досвідів можна вибирати усі більш і більш дрібні розряди, при цьому гістограма буде усі більш наближатися до деякій кривої, що обмежує площа, рівну одиниці.

Ця крива являє собою графік статистичної щільності розподілу розміру Х.

Маючи у своєму розпорядженні групований статистичний ряд, можна приблизно побудувати і статистичну функцію розподілу розміру Х.

У якості тих значень х, для яких обчислюється , природно, узяти межа розрядів. Тоді, очевидно:



З’єдная отримані точки плавної кривої, одержимо наближений графік статистичної функції розподілу.

Приклад. Обмірювано n=100 опорів визначеного виду. У таблиці приведений номер досвіду i і відповідні значення опору (в омах).


i

xi

i

xi

i

xi

i

xi

i

xi

1

87

21

82

41

88

61

108

81

84

2

85

22

111

42

90

62

95

82

105

3

91

23

115

43

101

63

99

83

110

4

102

24

99

44

95

64

92

84

102

5

80

25

96

45

93

65

100

85

104

6

75

26

101

46

32

66

118

86

107

7

94

27

115

47

88

67

103

87

120

8

102

28

100

48

94

68

102

88

108

9

99

29

97

49

98

69

89

89

107

10

101

30

91

50

99

70

90

90

98

11

100

31

87

51

102

71

94

91

96

12

120

32

116

52

101

72

106

92

106

13

122

33

121

53

122

73

112

93

110

14

101

34

101

54

99

74

122

94

115

15

88

35

123

55

97

75

100

95

95

16

80

36

97

56

95

76

92

96

109

17

97

37

95

57

105

77

83

97

111

18

92

38

88

58

112

78

82

98

103

19

91

39

104

59

116

79

111

99

88

20

94

40

111

60

118

80

102

100

108


Маючи первинну статистичну сукупність, одержати упорядковану статистичну сукупність; побудувати групований статистичний ряд із шістьма рівномірними розрядами; гістограму і статистичну функцію розподілу.

Рішення: Упорядкована статистична сукупність має вид:


i

xi

i

xi

i

xi

i

xi

i

xi

1

75

21

92

41

97

61

102

81

111

2

80

22

92

42

98

62

102

82

111

3

80

23

92

43

98

63

102

83

111

4

82

24

92

44

99

64

102

84

111

5

82

25

93

45

99

65

103

85

112

6

84

26

93

46

99

66

103

86

112

7

85

27

94

47

99

67

104

87

115

8

87

28

94

48

99

68

104

88

115

9

87

29

94

49

100

69

105

89

115

10

88

30

95

50

100

70

105

90

116

11

88

31

95

51

100

71

106

91

116

12

88

32

95

52

100

72

106

92

118

13

88

33

95

53

101

73

107

93

118

14

88

34

95

54

101

74

107

94

120

15

89

35

95

55

101

75

108

95

120

16

90

36

96

56

101

76

108

96

121

17

90

37

96

57

101

77

108

97

122

18

91

38

97

58

101

78

109

98

122

19

91

39

97

59

102

79

110

99

122

20

91

40

97

60

102

80

110

100

123


Якщо в таблиці первинної статистичної сукупності те саме значення зустрічається декілька разів, те й у таблиці упорядкованої статистичної сукупності його треба писати стільки ж разом.

Для групованого статистичного ряду виберемо “круглі” межа розрядів: (70-80); (80-90); (90-100); (100-110); (110-120); (120-130).

Підраховуючи кількість значень випадкового розміру, що потрапили в кожний розряд (вважаючи половинки від потрапивших у межу між розрядами) і ділячи це значення на число досвідів n=100, одержимо групований статистичний ряд:


Розряди

70:80

80:90

90:100

Частоти

0,02

0,14

0,34

Розряди

100:110

110:120

120:130

Частоти

0,29

0,15

0,06


Відкладая по осі абсцис розряди і будуючи на кожному розряді як на підставі прямокутник із площею , одержимо гістограму (мал. 1).

Мал. 1


Користуючись групованим статистичним поруч, знаходимо:

F*(70) = 0; F*(80) = 0,02; F*(90) = 0,02 + 0,14 = 0,16;

F*(100) = 0,02 + 0,14 + 0,34 = 0,5; F*(110) = 0,5 + 0,29 = 0,79;

F*(120) = 0,79 + 0,15 = 0,94; F*(130) = 0,94 + 0,06 = 1.

Графік статистичної функції розподілу показаний на мал. 2.

Мал. 2

Для перебування законів розподілу випадкового розміру за результатами досвідів потрібно мати у своєму розпорядженні досить великий статистичний матеріал, порядку декількох сотень досвідів (спостережень). Однак на практику нерідко доводиться мати справу зі статистичним матеріалом дуже обмеженого об'єму - із двома-трьома десятками спостережень, часто навіть менше. Такого обмеженого матеріалу недостатньо, щоб знайти заздалегідь невідомий закон розподілу випадкового розміру, але усі ж він може бути використаний для оцінок найважливіших числових характеристик випадкового розміру: математичного чекання, дисперсії, іноді - вищих моментів.

На практику нерідко буває що вид закону розподілу заздалегідь відомий, а потрібно знайти тільки параметри, від яких він залежить (наприклад m і для Гауссового закону). Нарешті в деяких задачах закон розподілу випадкового розміру взагалі несуттєвий, а потрібно знати тільки її числові характеристики.

Висновки

1. Математична статистика - це наука, що займається методами опрацювання результатів досвідів або спостережень над випадковими явищами. Водночас математичний апарат математичної статистики використовується для різних задач прикладної статистики, у яких необов'язкові допущення про ймовірностну природу оброблюваних даних.

2. Математична статистика вирішує три основні задачі:

- уявлення статистичного матеріалу в найбільше зручному для аналізу виді;

- оцінка невідомих характеристик досліджуваного випадкового розміру по її обмеженій вибірці;

- перевірка статистичних гіпотез про параметри і закони розподіли випадкових розмірів.

3. Основними поняттями математичної статистики є: вибірка, первинна статистична сукупність, упорядкована статистична сукупність, групований статистичний ряд, гістограма, а також статистичні характеристики результатів досвіду - аналоги характеристик випадкового розміру, визначені в теорії імовірностей.
  1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

Основи математичної статистики iconЗавдання для самостійної роботи з „Теорії ймовірностей І математичної статистики” Модуль Елементи математичної статистики
Провести довільний експеримент, результатом якого є вибірка з не менше 30 значень деякої випадкової величини (неперервної)
Основи математичної статистики iconМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни "Теорія ймовірностей і математичної статистики" для студентів спеціальності
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни “Теорія ймовірностей і математичної статистики” / укладач Н. С. Мартинова. –...
Основи математичної статистики iconНових надходжень до бібліотеки травень
Основи теорії ймовірностей та математичної статистики [Текст] : навч посібник для студ. інженерно-технічних та прикладних спец вищ...
Основи математичної статистики iconІ. А. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. Навчальний посібник. Київ: «Слово», 2006 -272с. Опрацювати та закон
Д., Рибалка В.І., Рудоміно-Дусятська І. А. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. Навчальний посібник. – Київ:...
Основи математичної статистики iconІ. А. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. Навчальний посібник. Київ: «Слово», 2006 -272с. Опрацювати та закон
Д., Рибалка В.І., Рудоміно-Дусятська І. А. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. Навчальний посібник. – Київ:...
Основи математичної статистики iconНазва модуля: Вища математика Ч. 3 Код модуля
Звичайні диференціальні рівняння та рівняння математичної фізики. Елементи теорії функцій комплексної змінної та операційного числення....
Основи математичної статистики iconНазва модуля: Вища математика Ч. 3 Код модуля
Звичайні диференціальні рівняння та рівняння математичної фізики. Елементи теорії функцій комплексної змінної та операційного числення....
Основи математичної статистики iconОсновна література Любчак В. О., Назаренко л д. „Основи математичної теорії систем”
Любчак В. О., Назаренко л д. „Основи математичної теорії систем”, Вид-во СумДу, 2008-320с
Основи математичної статистики iconФормат опису модуля
Основи математичної логіки. Основи теорії нечітких множин. Відношення та їх властивості. Види відношень. Основи комбінаторики та...
Основи математичної статистики iconЗавдання для самостійної роботи з „Теорії ймовірностей І математичної статистики” Модуль 4
Провести довільний експеримент, результатом якого є вибірка з не менше 30 значень деякої випадкової величини (неперервної)
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи