Основи теорії імовірностей icon

Основи теорії імовірностей




Скачати 174.38 Kb.
НазваОснови теорії імовірностей
Дата11.09.2012
Розмір174.38 Kb.
ТипЗакон

Основи теорії імовірностей


Теорія імовірностей - це математична наука, що вивчає закономірності у випадкових подіях.

1. Основні поняття теорії імовірностей. Операції над випадковими подіями.

Випадкове явище - це таке явище, що при кількаразовому відтворенні одного і такого ж досвіду (іспити, експерименту) протікає щораз декілька по іншому.

Приклади випадкових явищ: стрілянина по цілі; погода; продаж акцій і ін.

Випадковою подією (далі просто подією) називається усякий факт, що у результаті досвіду може відбутися або не відбутися.

Приклади випадкових подій:

1) досвід - кидання монети; подія А - поява герба;

2) досвід - постріл по мішені; подія B - улучення;

3) досвід - виявлення попиту покупців на якійсь товар; подія D - не менше 25% покупців цей товар оцінюють позитивно.

Декілька подій у даному досвіді утворять повну групу подій , якщо в результаті досвіду повинно з'явитися хоча б одне з них.

Приклади подій, що утворять повну групу:

1) курс акцій на наступному тижні "упаде", "зросте", "залишиться колишнім";

2) поява "1", "2", "3", "4", "5", "6" при киданні гральної кістки;

Декілька подій у даному досвіді називаються неспільними, якщо ніякі з них не можуть з'явитися разом.

Приклади неспільних подій:

1) "поява туза" і "поява десятки" при вийманні однієї карти з колоди;

2) "купівельний попит на -ий товар" зростає і "купівельний попит на N-ий товар" зменшиться.

Зображуючи випадкову подію геометричною множиною точок області , то неспільні події A і B зобразяться підмножинами , що не перетинаються , ( мал.1 )



Декілька подій у даному досвіді називаються спільними, якщо хоча б два з них можуть відбутися одночасно ( мал. 2)



Подія B називають слідством події А (А B), якщо з появи події А випливають появи події B ( мал.3 )

( мал.3 )

Кожний із можливих взаємовиключних виходів досвіду називають елементарним (нерозкладним) подією. З елементарних подій можна утворити складові (розкладені) події. Подія С називається складовим, якщо можна зазначити принаймні дві такі елементарних події і , що зі здійснення кожного з них окремо випливає факт здійснення події С.

Приклад: подія С "випадання парного числа очок при однократному киданні гральної кістки" - перебуває з трьох елементарних подій: "випасло 2", "випасло 4", "випасло 6".

Елементарні події, що входять до складу складової події, називаються що сприяють.

Рівноможливими подіями в даному досвіді є такі події, що за умовами симетрії є підстави вважати, що жодне з них не є об'єктивно більш можливим, чим інше.

Приклад: випадання кожної грані гральної кістки.

Достовірна подія визначається як подія, що перебуває з усіх можливих елементарних подій, тобто в результаті аналізованого випадкового експерименту обов'язково відбудеться одне з елементарних подій , I=1,2, ... , а отже, той факт, що подія відбудеться, вірогідно.

Неможливе (порожнє) подія - це подія, що не містить жодної елементарної події і, отже, при реалізації досліджуваного випадкового експерименту його здійснення неможливо.

У теорії імовірностей над подіями роблять різні операції, тісно зв'язані з алгеброю логіки. Основними операціями є сума (об'єднання), твір (перетинання), різниця й узяття доповнення.

Сумою або об'єднанням подій А1, А2, ... Аn називається така подія С ( С= або С= ), що перебуває в здійсненні хоча б одного з цих подій. Геометрична інтепретація суми подій показане на мал.4

мал.4

Приклад: якщо досвід перебуває з трьох пострілів по мішені, і дані події: "А0 - жодного влучення", "А1 - рівно одне влучення", "А2 - рівно два влучення", "А3 - рівно три влучення", те С=А0+А1+А2 - є подія "не більш двох улучень"; У=А2+А3 - "не менше двох улучень".

Твором або перетинанням подій А1, А2, ... , Аn називається така подія С ( С= ), що перебуває в обов'язковому спільному настанні всіх подій А1, А2, ... Аn. Геометрична інтепретація твору подій показане на мал.5.

мал.5

На мові елементарних подій твір подій А1, А2, ... , Аn визначається як подія С , що перебуває тільки з тих елементарних подій, що одночасно входять у всі розглянуті події.

Приклад: купується три лотерейних квитки і розглядаються події "В1 - перший квиток без виграшу", "В2 - другий квиток без виграшу", "В3 - третій квиток без виграшу", те подія У=В1В2В3 перебуває в тому, усі три квитки виявляться без виграшу.

Операції додавання і твори над подіями володіють поруч властивостей, аналогічних властивостям звичайних додавання і множення чисел:

1. Пересувна властивість:

А+У=У+А; А*У=У*А.

2. Сполучна властивість:

(А+У)+С=А+(У+С); (А*У)*С=А*(У*С).

3. Розподільна властивість:

А*(У+С)=А*У+А*С.

Однак деякі операції над подіями не рівнозначні операціям над числами, зокрема, для подій


А+А=А; А*А=А.

Різницею подій А и В називається подія С (С=А-В), що перебувають у тому що подія У не відбувається. Геометрична інтепретація різниці подій показане на мал.6

мал.6

Подія = називається доповненням до А або протилежних А (мал.7).

мал.7

Очевидно, що - це неможлива подія, а протилежні події А и являють собою найпростіший випадок повної групи подій.

Складові події можна представити у виді комбінацій елементарних або більш простих подій, застосовуючи розглянуті вище операції.

Приклад: при витягуванні трьох лотерейних квитків можливі наступні елементарні події:

А1, А2, А3 - виграш першого, другого, третього квитка, відповідно;

, - програш першого, другого, третього квитка, відповідно.

Розглянемо складову подію У, що перебувають у тому, що з трьох квитків тільки один може виявитися виграшним. Очевидно, що подія У можна представити в наступній комбінації:

У=

З визначення суми, твори, різниці, доповнення подій і їхніх властивостей випливають наступні формули:




Використовуючи ці формули, що легко перевіряються самостійно, можна представляти складові події в більш простому аналітичному виді.

Виводи:

1. Поняттями теорії імовірностей є випадкове явище; випадкова подія, повна група подій, елементарна подія, складова подія, несумісні події, сумісні події, достовірна подія, неможлива подія, протилежна подія, равноможливі події.


2. Основними операціями над випадковими подіями є сума (об'єднання), твір (перетинання), різниця і доповнення.


3. Будь-яку складову подію можна представити у виді комбінацій елементарних подій або більш простих подій.


Тести і задачі до глави №1.

1. Якою подією є поява або "червової" або "бубнової", або "трефової", або "пікової" масті при вилученні однієї карти з колоди в 36 листів?

а) складовим; б) елементарним; в) утворюючу повну групу подій;

г) неможливим;

д) достовірним.

ВІДПОВІДЬ: а), в), д).


2. Чи є подія "хоча б разом при чотириразовому киданні гральної кістки з'явиться шістка" складовим?

а) так; б) немає.

ВІДПОВІДЬ: а).


3. Якщо до повної групи подій додати будь-які інші події, чи порушиться повнота подій?

а) так; б) немає.

ВІДПОВІДЬ: б).


4. При киданні гральної кістки події А - "поява парного числа очок" подіями , що сприяють , є

: а) випадання "1", "3", "5";

б) випадання "2", "4", "6".

ВІДПОВІДЬ: б)


5. При витягуванні однієї карти з колоди 36 карт, які події є рівноможливими?

а) вілучення "туза" і вілучення "дами";

б) вілучення "піки" і вілучення "десятки";

в) вілучення "трефи" і вілучення "бубони".

ВІДПОВІДЬ: а), в).


6. Кидають дві гральні кістки. Нехай А - подія, що перебувають у тому, що сума очок непарна; У - подія, що полягає в тому, що хоча б на одній із кісток випасла двійка. Опишіть подію С=А*У


7. Якщо , те що означає подія А+(В-А)?

^ ВІДПОВІДЬ: В.


8. Нехай А, У, С - трьох довільні події. Напишіть вираження для події, що перебуває в тому, що відбулися хоча б дві події.

ВІДПОВІДЬ: .


9. Нехай А, У, С - трьох довільних події. Напишіть вираження для події, що перебуває в тому, що відбулася одна подія.

ВІДПОВІДЬ:


10. Довести, що подія (А+У)*( неможливо.


11. Нехай А, У, С - випадкові події. З'ясувати зміст рівності А+У+С=В.


ОТВЕТ:


2. Імовірність випадкової події.

Основні теореми теорії імовірностей.


Однієї з найважливіших характеристик випадкової події є його імовірність, що у більшості практичних задач зв'язують з емпіричним поняттям частоти події.

Частотою Р події А в даної серії іспитів називається відношення числа іспитів m, у яких з'явилося дана подія, до загального числа іспитів n:



Частота подій має наступні властивості:

1. Частота випадкової події А є позитивне число, укладене між нулем і одиницею:



2. Частота достовірної події дорівнює одиниці.

3. Частота неможливої події дорівнює нулю.

4. Частота суми двох несумісних подій А и В дорівнює сумі частот цих подій:



5. Частота твору двох подій дорівнює творові частоти одного з них на умовну частоту іншого.

Умовною частотою називають частоту однієї події, обчислену за умови настання іншої події, позначають Отже,



Імовірністю події А називається постійне число, біля якого групуються частоти цієї події в міру збільшення кількості досвідів (статистичне визначення імовірності події).

При невеликому числі досвідів, частота події носить значною мірою випадковий характер. Нехай, наприклад, досвід - кидання монети, подія А - "поява герба". На мал.7 зображена залежність поява герба від числа досвідів n (логарифмічна шкала по осі абсцис).

мал.7

З мал.7 видно, що в міру збільшення n частота виявляє тенденцію стабілізуватися, наближаясь крізь ряд випадкових відхилень до постійного розміру, рівної 0,5 (це і є імовірність поява герба в однім досвіді).

Хоча імовірність події в самій своїй основі зв'язана з досвідченим, практичним поняттям частоти події, однак для її визначення не завжди є можливість провести велике число досвідів.

Якщо простір , зв'язаний із досвідом, перебуває з кінцевого числа равноможливих елементарних подій те імовірність будь-якої випадкової події А в такому досвіді дорівнює відношенню числа m елементарних подій , що сприяють йому , до їхнього загального числа n (класичне визначення імовірності подій):



Якщо простір містить безкінечна множина елементарних подій, то може бути використане геометричне визначення імовірності, коли імовірність улучення точки в будь-яку область пропорційна мірі цієї частини (довжині, площі, об'єму) і не залежить від її розташування і форми.

Якщо геометрична міра всієї області S, а геометрична міра частини цієї області, влучення в який сприяє даній події А, є , , те імовірність події



У загальному випадку, коли множина елементарних подій є безупинним, будується аксіоматична теорія імовірностей.

При цьому для того, щоб теорія імовірностей добре погодилася з досвідом, аксіоми теорії імовірностей уводяться таким чином, щоб імовірність події мала основні властивості частоти події.

Імовірністю події Р(А) події А називається визначена на дійсна функція, що задовольняє трьом аксіомам:


Аксіома 1. Імовірність події А є позитивн число:



Аксіома 2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці:



Аксіома 3. Імовірність суми попарно несумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій:



З аксіом 1, 2, 3 випливає, що зокрема, імовірність неможливої події дорівнює нулю. Важливо відзначити, що безупинному ймовірному просторі з рівностей Р(А)=1 або Р(А)=0 не випливає, що А є достовірним або відповідно неможливою подією. З аксіоми 3 випливає зв'язок між імовірностями прямого або протилежного подій:



Вводима далі аксіома 4 визначає умовну імовірність.

Аксіома 4. Умовна імовірність Р(А/У) події А за умови, що вже має місце подія У, визначається за допомогою формули:

Р(АВ)=Р(У)*Р(А/У)=Р(А)*Р(У/А).

Дві події А и В називаються залежними, якщо імовірність кожного з них змінюється в зв'язку з настанням або не настанням іншого. У противному випадку події А и В називаються незалежними.

Імовірність твору двох незалежних подій дорівнює творові цих подій:

Р(АВ)=Р(А)*Р(У).

Задача на обчислення частоти подій і їхніх імовірностей.


Задача 1. Серед 250 виготовлених деталей виявилося п'ять, що не відповідають стандарту. Визначити частоту появи деталей, що не відповідають стандарту.

РІШЕННЯ: З визначення частоти одержуємо, що




Задача 2. Серед 25 студентів групи, у якій десять дівчин, розігрується п'ять квитків . Визначити імовірність того, що серед власників виявляться дві дівчини.

РІШЕННЯ: Число всіх равноможливих випадків розподілити п'ять квитків серед 25 студентів дорівнює числу сполучень Число груп по трьох юнаком із 15, що можуть одержати квитки, дорівнює С. Кожна така трійка може сполучитися з будьякою парою з десятьох дівчин, а число таких пар дорівнює С. Таким чином, число груп по п'ятьох студентів, у кожну з який будуть входити троє юнаком і дві дівчини, дорівнює творові Цей твір дорівнює числу сприяючих розглянутій події випадків. З класичного визначення імовірності події, одержуємо:




Задача 3. У будь-які моменти інтервалу часу Т равноможливі надходження двох телефонних дзвоників. Абонент не зуміє відповісти на обидва дзвоники, якщо різниця між моментами надходження сигналів буде менше . Визначити імовірність Р(А) того, що абонент не зуміє відповісти на обидва дзвоники.

РІШЕННЯ: Зобразимо випадкові моменти надходження дзвоників у виді декартових координатах на площині. Областю можливих значень є квадрат площею (мал.8). Абонент не зуміє відповісти на два дзвоники, якщо

мал. 8

Дана область лежить між прямимі Площа цієї області Використовуючи геометричне визначення імовірності, одержуємо:



При визначенні імовірності складових подій використовують основні теореми теорії імовірностей, що є слідством приведених вище аксиом і визначень.


Теорема додавання імовірностей.

Імовірність появи якогось одного з декількох несумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій:

P(A+B+...+L)=P(A)+P(B)+...+P(L).

Слідство 1. Сума імовірностей подій, що утворять повну групу, дорівнює одиниці.

Слідство 2. Імовірність події, протилежного даному, дорівнює різниці між одиницею й імовірністю даної події, тобто



Теорема додавання імовірностей справедлива тільки для несумісних подій. У випадку, коли події А и в спільні, імовірність суми цих подій виражається формулою

Р(А+У)=Р(А)+Р(У)-Р(АВ).


Теорема множення імовірностей.

Імовірність твору подій ABC...KL дорівнює творові імовірностей цих подій, причому імовірність кожної наступної події обчислюється за умови, що всі попередні мали місце, тобто

P(ABC...KL)=P(A)*P(B/A)*P(C/AB)*...*P(L/ABC...K).

Зокрема, імовірність твору двох подій А и В

Р(АВ)=Р(А)*Р(У/А)=Р(У)*Р(А/У).

Слідство. Імовірність твору незалежних подій дорівнює творові їхніх імовірностей:

P(ABC... KL)=P(A)*P(B)*P(C)*... *P(L).

Відзначимо, що імовірність появи хоча б однієї події із сукупності будь-якого числа спільних подій легше робити, якщо перейти до протилежних подій. Тоді імовірність появи хоча б одного зі спільних подій А, У, С,... ,L дорівнює різниці між одиницею й імовірністю твору протилежних подій



Розглянемо типові задачі на застосування теорем додавання і множення імовірностей.

Задача 1. Мішень перебуває з трьох зон. Імовірність влучення в першу зону при однім пострілі дорівнює 0,15; у другу - 0,23; у третю - 0,17. Знайти імовірність промаху.

РІШЕННЯ: Позначимо подію - промах, А - влучення в мішень. Тоді де - улучення відповідно в першу, другу і третю зони. По теоремі додавання імовірностей:

)

відкіля .


Задача 2. У урні 2 білих і три чорних кулі. З урни виймають підряд дві кулі. Знайти імовірність того, що обидві кулі білі.

РІШЕННЯ: Позначим: подія А - поява двох білих куль. Подія А являє собою твір двох подій:

А=

де - поява білої кулі при першому вилучинні;

- поява білої кулі при другому вилучинні.

По теоремі множення імовірностей



На практику рідко зустрічаються задачі, у котрих потрібно застосовувати тільки теорему множення або додавання імовірностей. Звичайно обидві теореми доводиться застосовувати спільно.


Задача 3. У урні 5 білих куль і 2 чорних. З неї вилучаються один за іншим дві кулі. Знайти імовірність того, що вони будуть різних кольорів.

РІШЕННЯ: Подія С= кулі різних кольорів розпадається на суму двох несумісних подій:



де перша куля біла, друга чорна ,

перша куля чорна, другий біла .

Імовірності подій знайдемо по теоремі множення імовірностей.



де куля біла ,

куля чорна .

По теоремі додавання імовірностей

.

Слідством обох основних теорем - теореми додавання імовірностей і теореми множення імовірностей - є так називана формула повної імовірності.


Формула повної імовірності.

Якщо подія А може відбутися тільки разом з одним із подій утворюючу повну групу несумісних подій (гіпотез), те імовірність Р(А) появи події визначається по формулі повної імовірності:



де - імовірність гіпотези - умовна імовірність події А при цій гіпотезі.

Задача: Є три однакові на вид урни: у першій урні 2 білих кулі і 1 чорна куля; у другий - 3 білих і один чорний; у третьої - 2 білих і 2 чорних кулі. Хтось вибирає навмання одну з урн і виймає з неї куля. Знайти імовірність того, що ця куля білий.

РІШЕННЯ: Розглянемо три гіпотези:

Н - вибір першої урни;

Н - вибір другої урни;

Н - вибір третьої урни,

і подія А - поява білої кулі.

Тому що гіпотези, за умовою задачі, рівноможливі, те



Умовні імовірності події А при цих гіпотезах відповідно рівні:



По формулі повної імовірності:




Теорема гіпотез (формула Байєса).

Слідством теореми множення і формули повної імовірності є теорема гіпотез або формула Байєса.

Якщо імовірності несумісних гіпотез утворюючу повну групу подій, до досвіду були а в результаті досвіду з'явилася подія А, те умовна імовірність з обліком появи події А обчислюється по формулі Байєса:



У окремому випадку, якщо всі гіпотези до досвіду мають однакову імовірність формула Байєса приймає вид:




Задача. Два стрільці незалежно один від іншого стріляють по одній мішені, роблячи кожний по однім пострілі. Імовірність влучення в мішень для першого стрільця 0,8, для другого - 0,4. Після стрілянини в мішені виявлена одна пробоїна. Знайти імовірність того, що ця пробоїна належить першому стрільцю.

РОЗВ'ЯЗАННЯ: До досвіду можливі наступні гіпотези:

Н - ні перший, ні другий стрілець не потрапить;

Н - обидва стрільці потраплять;

Н - перший потрапить, а другий немає;

Н - перший стрілець не потрапить, а другий потрапить.

Імовірності цих гіпотез:



Умовні імовірності спостереженої події А при цих гіпотезах рівні:



Імовірність того, що пробоїна належить першому стрільцю відповідно до теореми гіпотез дорівнює:




Теорема про повторення досвідів.

При практичному застосуванні теорії імовірностей часто доводиться зустрічатися з задачами, у яких той самий досвід або аналогічні досвіди повторюються неодноразово. Причому інтерес представляє не подія А в кожному досвіді, а загальне число появи події А в серії досвідів. Досвіди називаються незалежними, якщо імовірність виходу кожного досвіду не залежить від виходів інших досвідів. Якщо досвіди робляться в однакових умовах, то імовірність події А у всіх досвідах однакова. Якщо умови різні, те імовірність змінюється від досвіду до досвіду.

Приватна теорема про повторення досвідів формулюється в такий спосіб.

Якщо імовірність p настання події А в кожному з n незалежних досвідів постійна, те імовірність того, що в n досвідах подія А наступить m разом визначається формулою:



де - число сполучень із n елементів по m, q=1-p.

Це формула виражає біномиальне розподіл імовірностей, тому що всі імовірності Р є членами розкладання бінома

Імовірність появи події А не менше m разом при n досвідах обчислюється по формулі:


^

Імовірність появи події А хоча б один раз при n досвідах




Найімовірніше число настання події А в n досвідах, у кожному з який воно може наступити з імовірністю p (і не наступити з імовірністю q=1-p), визначається з подвійної нерівності



Якщо подія А в кожному досвіді може наступити з імовірністю p, те кількість n досвідів, що необхідно зробити для того, щоб із заданою імовірністю Рзад. можна було стверджувати, що дана подія А відбудеться принаймні один раз, знаходиться по формулі:



Приватна теорема про повторення досвідів стосується того випадку, коли імовірність події А у всіх досвідах та сама. На практику часто доводиться зустрічатися з більш складним випадком, коли досвіди робиться в неоднакових умовах, і імовірність події від досвіду до досвіду змінюється.

Спосіб обчислення імовірності заданого числа появ події в таких умовах дасть загальна теорема про повторення досвідів.

Якщо робляться n незалежних досвідів у різних умовах, причому імовірність появи події А в i-м досвіді дорівнює те імовірність Р того, що подія А в n досвідах з'явиться m разом, дорівнює коефіцієнту при Z у розкладанні по ступенях Z виробляючої функції де

Задача 1. Імовірність виготовлення стандартного виробу дорівнює 0,95. Яка імовірність того, що серед десятьох виробів не більш одного нестандартного?

РІШЕННЯ: Нехай подія А перебуває в тому, що серед десятьох виробів немає жодного нестандартного виробу, а подія У - у тому, що серед десятьох виробів тільки одне нестандартне. Тоді шукана імовірність p=P(A+B). Події А и В несімісні, тому p=P(A)+P(B). Застосовуючи приватну теорему про повторення досвідів, знайдемо:




Задача 2. При сталому технологічному процесі 80% усій зробленій продукції виявляється продукцією вищого сорту. Знайти найімовірніше число виробів вищого сорту в партії з 250 виробів.

РІШЕННЯ: Підставляючи відповідні числа в нерівність одержуємо Оскільки може бути тільки цілим числом, те


Висновки:

1. Сучасна аксіоматична концепція теорії імовірностей не суперечить запропонованим раніше статистичному, класичному і геометричному визначенням імовірності події.


2. У загальному (безупинному) імовірнісним просторі на відміну від дискретного можуть існувати можливі події, що володіють нульовою імовірністю появи. Відповідно протилежні до них події (їхній доповнення) хоча і не можуть бути названі достовірними, але мають імовірність здійснення, рівну одиниці.


3. Основні правила обчислення імовірності складових подій задаються теоремами додавання, множення, Байєса і формулою повної імовірності.


4. Приватна і загальна теореми про повторення досвідів дозволяють визначити імовірність того, що в n досвідах подія наступить m разом для випадку незалежних і залежних досвідів, відповідно.


Тести і задачі до глави №2.

1. На складі зберігається 500 акумуляторів. Відомо, що після року збереження 20 штук виходить із ладу. Потрібно знайти імовірність того, що навмання узятий після року акумулятор виявиться справним, якщо відомо, що після 6 місяців збереження було вилучено 5 акумуляторів, що стали несправними.

ВІДПОВІДЬ:


2. У барабані револьвера сім гнізд, із них у п'ятьох закладені патрони. Барабан доводиться в обертання, у результаті чого проти стовбура випадковим способом виявляється одне з гнізд. Після цього натискається спусковий гачок; якщо осередок порожня - пострілу не відбувається. Знайти імовірність того, що, повторивши такий досвід два рази підряд, ми обидва рази не вистрілимо.

ВІДПОВІДЬ:


3. З п'ятьох літер розрізної абетки складене слово "книга". Дитина, що не вміє читати, розсипав ці літери і потім зібрала їх у довільному порядку. Знайти імовірність того, що в нього утворилося слово "книга".

ВІДПОВІДЬ:


4. У урні а білих куль і в чорних. З урни витягується одна куля, відзначається його колір і куля повертається в урну. Після цього з урни береться ще одна куля. Знайти імовірність того, що обидві вийняті кулі будуть білими.

ВІДПОВІДЬ:


5. При вмиканні запалювання двигун починає працювати з імовірністю p. Знайти імовірність того, що двигун почне працювати при другому вмиканні запалювання.

ВІДПОВІДЬ: (1-p)*p.


6. У урні п'ять перенумерованих куль із номерами 1,2,3,4,5. З урни один за іншим витягуються всі п'ять куль. Знайти імовірність того, що їхнього номера будуть йти в зростаючому порядку.

ВІДПОВІДЬ:




Схожі:

Основи теорії імовірностей iconФормат опису модуля
Основи математичної логіки. Основи теорії нечітких множин. Відношення та їх властивості. Види відношень. Основи комбінаторики та...
Основи теорії імовірностей iconМатематичні основи інформатики
Основи теорії чисел: прості числа, ділення із залишком, найбільший спільний дільник, взаємно прості числа. Основи алгебри: многочлени...
Основи теорії імовірностей iconОснови економічної теорії як навчальна дисципліна. Метою викладання дисципліни „Основи економічної теорії ”
Метою викладання дисципліни „Основи економічної теорії ” є опанування студентами системи категорій та найактуальніших теоретичних...
Основи теорії імовірностей iconФізичні основи теорії відносності
Особливу увагу звернуто на принцип відносності в електродинаміці. Показано, що незвичні ефекти теорії відносності логічно витікають...
Основи теорії імовірностей iconОснови теорії ймовірності
Учбово-методичний комплекс з курсу “Основи теорії ймовірностей для студентів факультету комп’ютерних наук заочної форми навчання
Основи теорії імовірностей iconОснови економічної теорії”
Програма І робоча програма дисципліни „Основи економічної теорії” для студентів 3 курсу заочної форми навчання спеціальності 070800...
Основи теорії імовірностей iconОснови економічної теорії”
Програма І робоча програма дисципліни „Основи економічної теорії” для студентів 3 курсу денної форми навчання спеціальності 070800...
Основи теорії імовірностей iconФізичні основи
Особливу увагу звернуто на принцип відносності в електродинаміці. Показано, що незвичні ефекти теорії відносності логічно витікають...
Основи теорії імовірностей iconОснови мовної комунікації Методичні вказівки Теоретичний курс «Основи теорії мовної комунікації»
Теоретичний курс «Основи теорії мовної комунікації» ставить собі за мету ознайомити судентів із загальними засадами мовної комунікації,...
Основи теорії імовірностей iconОснови теорії мовної комунікації
С. О. Швачко д філол н., професор, зав кафедри теорії та практики перекладу Сумського державного університету
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи