Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение icon

Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение




Скачати 39.53 Kb.
НазваРаспределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение
Дата12.09.2012
Розмір39.53 Kb.
ТипЗакон

5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ

Биномиальное распределение имеет место в том случае, когда случайная величина Х выражает число появлений некоторого события А при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события А в каждом опыте постоянна и равна р.

Возможными значениями биномиально распределенной случайной величины Х являются 0, 1, 2, …, n, а вероятность того, что Х=m, выражается формулой Бернулли:

, где q=1-p

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, , а дисперсия .

Закон Пуассона (закон редких явлений) являющийся предельным для биномиального закона, когда число опытов неограниченно увеличивается () и одновременно параметр р неограниченно уменьшается (), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным ().

Возможными значениями случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, являются числа 0, 1, 2, …, а вероятность того, что X=m, выражается формулой



Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны между собой и равны параметру , т.е.



Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность распределения



Математическое ожидание равномерного распределения находится посредине отрезка его распределения, т.е.

.

а дисперсия

.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины Х на интервал , вычисляется по формуле:

.

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или «экспоненциальное») распределение, если плотность распределения



Функции распределения для показательного закона имеет вид







^

Плотность распределения показательного закона






Функция распределения показательного закона


Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны между собой и равны , т.е.

.

В некоторых случаях используют коэффициент вариации, , равный отношению среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию:

.

Для показательного закона распределения коэффициент вариации .

Для показательного распределения вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале , определяется формулой

.

Замечательным свойством показательного распределения является то, что при наступлении события случайная величина имеет такой же закон распределения, как и величина Х. Это свойство объясняет, почему показательное распределение имеют такие случайные величины, как время обслуживания клиента, длительность телефонного разговора, время безотказной работы прибора и т.д.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по гауссовому закону (закону Гаусса или по нормальному закону), если ее плотность распределения вероятности имеет вид

,

где и - соответственно математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины Х.

Закон Гаусса играет исключительно важную роль в теорию вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение.

Кривая нормального распределения имеет симметричный вид.

^

Гауссов закон распределения


Вероятность попадания случайной величины, распределенной по закону Гаусса (нормально распределенной) в интервале вычисляется по формуле



где - табулированная функция Лапласа (интеграл вероятностей).

Для функции Лапласа в книгах по теории вероятностей приведены таблицы.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

  1. Ф(0)=0;

  2. Ф()=-Ф(х);

  3. Ф(+)=0,5. (Ф(-)=-0,5).

Закон Гаусса широко распространен в случайных явлениях природы. Он возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х1, Х2, … Хn:

,

причем эти величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы. Тогда, каковы бы ни были законы распределения отдельных величин Х1, Х2, … Хn, закон распределения их суммы Х будет близок к закону Гаусса (причем тем ближе, чем больше число слагаемых n).


ПРИМЕР. Случайная величина распределена по закону Гаусса и имеет параметры и . Найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину больше, чем 3.


РЕШЕНИЕ.



По таблицам функции Лапласа находим . Тогда .

Это – действительно малая вероятность.

Заметим, что само «правило трех сигма» ведет свое начало именно от нормального распределения. Для нормального закона это правило выполняется с очень высокой точностью; применяя его, мы будем ошибаться приблизительно в трех случаях из 1000.

Схожі:

Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение icon6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х
Совокупность n случайных величин (Х1, Х2, … Хn), рассматриваемых совместно, называется системой n случайных величин или n-мерной...
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение icon6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х
Совокупность n случайных величин (Х1, Х2, … Хn), рассматриваемых совместно, называется системой n случайных величин или n-мерной...
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение iconКонтрольные вопросы по курсу "Теория вероятностей" Классификация случайных событий
Законы распределения дискретной случайной величины (ряд распределения, многоугольник распределения, функция распределения)
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение icon2. 4 Законы распределения
В разделе 1 мы рассматривали элементарные примеры случайных величин. В случаях с монетой и кубиком говорили о том, что все возможные...
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение icon4. случайные величины и их законы распределения. Числовые характеристики случайных величин случайной величиной
Случайной величиной называется величина Х, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (но только одно), причем,...
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение icon7. Имитационное моделирование
Во всех случаях используется программный датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале 0,1. Из этих чисел при...
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение iconПриме Найти, при каком аргументе достигается минимум функции
Во всех случаях используется программный датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале 0,1. Из этих чисел при...
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение iconКонтрольные вопросы по дисциплине " теория вероятностей и математическая статистика"
Законы распределения дискретной случайной величины (ряд распределения, многоугольник распределения, функция распределения)
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение iconУстройства комплектные низковольтные распределения и управления Часть 4 дополнительные требования и методы испытаний устройств распределения и управления для строительных площадок
...
Распределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение iconПрограма предмет Загальна фізика
Фізика як наука. Зв’язок фізики з математикою, іншими природни­чими науками, технікою. Методи фізичних досліджень. Вимірювання фізичних...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи