§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon

§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка




Скачати 60.74 Kb.
Назва§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка
Дата12.09.2012
Розмір60.74 Kb.
ТипДокументи

48101

§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка.


Рассмотрим, во-первых, как изменяются координаты точек плоскости ху при преобразовании параллельного переноса, то есть таких преобразований, при которых сохраняется направление осей (рассматривается прямоугольная декартова система координат), но изменяется положение начала координат.

Пусть на плоскости выбрана некоторая точка М, пусть (х;у) - ее координаты в системе осей х, у с началом О и ( ) - координаты той же точки ^ М в системе осей с началом О (рис. 24). Пусть (a,b) - координаты точки O в системе осей х, у. Очевидно ОО+ОМ=ОМ.



Поскольку при параллельном переносе осей координатный базис не изменяется, то при прибавлении векторов можно складывать их соответствующие координаты. А потому

х=х+а; у=у+b (1)

Мы получили формулы для перехода от «старых» координат точки М к «новым» ее координатам. Из (1) следуют формулы

х=х-а; у=у-b (2),

которые выражают «новые» координаты через «старые».

Пример 1.199 Установить, как изменяется уравнение х2-4х+2у2+8у-10=0 при параллельном переносе осей координат, если начало координат перенесено в точку О'(2;-2).

Решение. Согласно формул (1) имеем х=х+2, у= у-2. Подставляя эти выражения в заданное уравнение, получим

+2)2-4+2)+2-2)2+8-2)-10=0

х2+2у2=22,

Таким образом, исходному уравнению отвечает эллипс с полуосями , с центром симметрии в точке (2;-2) и осями симметрии, параллельными осям координат.

Пример 1.200. С помощью параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду уравнение х2-6х-3у2-6у+2=0.

Решение. Перепишем заданное уравнение в виде

(х-3)2-9-3(у+1)2+3+2=0

Положим х-3=х, у+1= у.
^

Тогда получим


или

Таким образом, исходное уравнение определяет гиперболу с действительной осью 2, воображаемой и центром симметрии в точке (3;-1). Оси симметрии гиперболы параллельны осям координат.

Ранее отмечалось, что уравнение у2=2рх (р>0) определяет параболу, в которой ось симметрии совпадает с осью абсцисс и вершина находится в начале координат. Уравнению х2=2ру или, что одно и то же, уравнению у=ах2 отвечает, очевидно, парабола, у которой ось симметрии совпадает с осью ординат, а вершина, как и ранее, находится в начале координат. Покажем, что к виду у=ах2 можно привести с помощью параллельного переноса осей уравнение y=ax2+bx+c.

Пусть (a1;b1) - координаты нового начала в старой системе координат. Тогда х=х`+а1, у=у`+b1 и уравнение y=ax2+bx+c приобретет вид

y+b1=a(x+a1)2+b(x+a1)+c

или

y=ax2+(2aa1+b)x+aa12+ba1+c-b1


Числа a1 и b1 были пока что произвольные. Выберем их так, чтобы выполнялось равенство

2aa1+b=0 aa12+ba1+c-b1=0

Решая эту систему, получим . Таким образом, если перенести начало координат (при сохранении направления осей координат) в точку О, тогда исходное уравнение y=ax2+bx+c будет иметь вид y=ax2. Но это означает, что исходное уравнение есть уравнением параболы с вершиной в точке О и осью симметрии, параллельной оси ординат.

Рассмотрим теперь преобразование, что включает в себя поворот координатных осей при сохранении положения начала координат. Пусть х, у - старые оси координат, х, у - новые оси (рис. 25) и  - угол поворота, то есть угол между «новой» и одноименной «старой» осью (поскольку мы рассматриваем задачу на плоскости, то можно фиксировать направление отсчета углов; угол высчитывается от положительного направления старой оси против часовой стрелки).



В рассматриваемом случае координатный базис, очевидно, изменяется: вместо базиса - имеем новый базис , при чем угол между равен , угол между равен (или ), угол между равен , угол между и равен . А потому в ортонормированном базисе



Пусть М - произвольная точка плоскости, (х;у) ее старые, а (х; у) новые координаты. Тогда

,

то есть имеем:

(3),

формулы, которые выражают старые координаты через новые.

Решая систему уравнений (3) относительно х и у, получим

(4),

формулы (3) и (4) и есть формулами преобразования поворота координатных осей.

Пример 1.201. Преобразовать уравнение ху=с (с0) (график обратно пропорциональной зависимости), выбрав за новые оси биссектрисы координатных осей.

Решение. Угол поворота  в этом случае равен .

А потому



Таким образом, кривая ху=с (с0) есть равносторонняя гипербола, действительная ось которой направлена по биссектрисе 3-го и 1-го координатных углов, центр симметрии находится в начале координат, и полуоси равняются .

Мы рассматривали отдельно преобразование параллельного переноса и преобразование поворота координатных осей. Возможно, конечно, последовательно провести эти два преобразования, осуществить и поворот, и перенос координатных осей. Укажем, не делая конкретных вычислений, как можно с помощью рассмотренных методов привести общее уравнение кривой 2-го порядка

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (5)

к каноническим уравнениям эллипса, параболы и гиперболы, или к случаям их «вырождения».

Отметим, во-первых, что при преобразованиях уравнения (5) с помощью формул (1) и (3) не может измениться порядок уравнения. Он естественно не сможет повыситься (то есть стать больше, чем 2), поскольку в формулах (1) и (3) х и у выражается линейно через х и у, но не может и понизиться. Действительно, если мы из уравнений (5) с помощью формул (1) и (3) получили бы уравнение вида А1х1у1=0, то, возвращаясь с помощью равенств (2) и (4) к исходным переменным х и у, мы не получили бы уравнения 2-й степени - исходное уравнение (5). Таким образом, порядок (степень) уравнения при наших преобразованиях сохраняется.

С помощью поворота осей всегда можно избавиться от члена с произведением координат.

Действительно, подставляя в (5) вместо х и у их выражения согласно формул (3), получим новое уравнение

A1x2+B1xy+C1y2+D1x+E1y+F=0,

коэффициенты которого и, в частности , коэффициент В1, содержит тригонометрические функции угла . Приравнивая коэффициент В1 к нулю, получим тригонометрическое уравнение. Решая его, найдем значение угла поворота , при котором в уравнение уже не будет входить произведение координат, и которое будет иметь вид

A1x2+C1y2+D1x+E1y+F=0

Если коэффициенты А1 и С1 отличны от нуля, тогда всегда можно, как это показано на примерах 1 и 2, с помощью переноса осей координат (формулы 1) избавиться от членов с первыми степенями переменных координат и привести уравнение (6) к виду

A1x2+C1y2+F1=0 (7)

Но отсюда видно, что мы имеем или эллипс (если А1 и С1 имеют один знак, а F1 противоположный), или воображаемое место точек (если А1, С1 и F1 имеют один и тот же знак; в таком случае говорят, что имеет место случай «вырождения» эллипса в «воображаемое место точек»), или одну точку (если А1 и С1 одного знака и F1 =0 - «вырождение» эллипса в точку), или гиперболу (если А1 и С1 различных знаков і), или две прямые, которые пересекаются (если А1 и C1 разных знаков и F1=0 - «вырождение» гиперболы в 2 прямые, которые пересекаются).

Если ж в уравнении (6) один из коэффициентов А1 и С1, например, С1, превращается в нуль, тогда, как показано в начале параграфа, можно такое уравнение с помощью переноса осей привести к виду y=ax2 при или к виду ax2+d=0 при Е1=0.

В первом случае получаем параболу, во втором «вырождение» параболы (2 параллельные прямые или одна прямая, или воображаемое место точек).

Отсюда следует, что, как уже указывалось выше, любая кривая 2-го порядка есть или эллипс, или гипербола, или парабола, или представляет собой их «вырождение».





Схожі:

§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка
Рассмотрим, во-первых, как изменяются координаты точек плоскости ху при преобразовании параллельного переноса, то есть таких преобразований,...
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
Розглянемо, по-перше, як змінюються координати точок площини ху при перетворенні паралельного переносу, тобто таких перетворень,...
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
Розглянемо, по-перше, як змінюються координати точок площини ху при перетворенні паралельного переносу, тобто таких перетворень,...
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка iconВища математика т. 1
Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка iconВища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії
Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon§3 Линии второго порядка
При этом начнем с рассмотрения различных объектов на координатной плоскости ху и будем тем самым рассматривать уравнения с двумя...
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка icon§3 Линии второго порядка
При этом начнем с рассмотрения различных объектов на координатной плоскости ху и будем тем самым рассматривать уравнения с двумя...
§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка iconУдк 681. 3 Анализ текстуры ультразвуковых снимков с использованием признаков разностной гистограммы второго порядка
В работе разработан и описан подход к анализу текстуры ультразвуковых снимков внутренних органов человека на основе применения признаков...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи